Theorem xrex 10048

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	|- RR* e. _V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8181	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2		reex 8129	. . 3 |- RR e. _V
3		pnfxr 8195	. . . 4 |- +oo e. RR*
4		mnfxr 8199	. . . 4 |- -oo e. RR*
5		prexg 4294	. . . 4 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> { +oo , -oo } e. _V )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 |- { +oo , -oo } e. _V
7	2, 6	unex 4531	. 2 |- ( RR u. { +oo , -oo } ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2302	1 |- RR* e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   u. cun 3195   {cpr 3667   RRcr 7994   +oocpnf 8174   -oocmnf 8175   RR*cxr 8176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181

This theorem is referenced by:  ixxval  10088  ixxf  10090  ixxex  10091  blfn  14509  cnfldstr  14516  cnfldle  14525  znval  14594  znle  14595  znbaslemnn  14597  ispsmet  14991  isxmet  15013  xmetunirn  15026  blfvalps  15053  blex  15055