Theorem xrex 9977

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	|- RR* e. _V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8110	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2		reex 8058	. . 3 |- RR e. _V
3		pnfxr 8124	. . . 4 |- +oo e. RR*
4		mnfxr 8128	. . . 4 |- -oo e. RR*
5		prexg 4254	. . . 4 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> { +oo , -oo } e. _V )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 |- { +oo , -oo } e. _V
7	2, 6	unex 4487	. 2 |- ( RR u. { +oo , -oo } ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2277	1 |- RR* e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2175   _Vcvv 2771   u. cun 3163   {cpr 3633   RRcr 7923   +oocpnf 8103   -oocmnf 8104   RR*cxr 8105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-uni 3850  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110

This theorem is referenced by:  ixxval  10017  ixxf  10019  ixxex  10020  blfn  14255  cnfldstr  14262  cnfldle  14271  znval  14340  znle  14341  znbaslemnn  14343  ispsmet  14737  isxmet  14759  xmetunirn  14772  blfvalps  14799  blex  14801