Theorem xrex 10135

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	|- RR* e. _V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8260	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2		reex 8209	. . 3 |- RR e. _V
3		pnfxr 8274	. . . 4 |- +oo e. RR*
4		mnfxr 8278	. . . 4 |- -oo e. RR*
5		prexg 4307	. . . 4 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> { +oo , -oo } e. _V )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 |- { +oo , -oo } e. _V
7	2, 6	unex 4544	. 2 |- ( RR u. { +oo , -oo } ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2304	1 |- RR* e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   u. cun 3199   {cpr 3674   RRcr 8074   +oocpnf 8253   -oocmnf 8254   RR*cxr 8255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260

This theorem is referenced by:  ixxval  10175  ixxf  10177  ixxex  10178  blfn  14630  cnfldstr  14637  cnfldle  14646  znval  14715  znle  14716  znbaslemnn  14718  ispsmet  15117  isxmet  15139  xmetunirn  15152  blfvalps  15179  blex  15181