Theorem xrex 9813

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	|- RR* e. _V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 7958	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2		reex 7908	. . 3 |- RR e. _V
3		pnfxr 7972	. . . 4 |- +oo e. RR*
4		mnfxr 7976	. . . 4 |- -oo e. RR*
5		prexg 4196	. . . 4 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> { +oo , -oo } e. _V )
6	3, 4, 5	mp2an 424	. . 3 |- { +oo , -oo } e. _V
7	2, 6	unex 4426	. 2 |- ( RR u. { +oo , -oo } ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2243	1 |- RR* e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   u. cun 3119   {cpr 3584   RRcr 7773   +oocpnf 7951   -oocmnf 7952   RR*cxr 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958

This theorem is referenced by:  ixxval  9853  ixxf  9855  ixxex  9856  ispsmet  13117  isxmet  13139  xmetunirn  13152  blfvalps  13179  blex  13181