Theorem xrex 10008

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	|- RR* e. _V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8141	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2		reex 8089	. . 3 |- RR e. _V
3		pnfxr 8155	. . . 4 |- +oo e. RR*
4		mnfxr 8159	. . . 4 |- -oo e. RR*
5		prexg 4266	. . . 4 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> { +oo , -oo } e. _V )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 |- { +oo , -oo } e. _V
7	2, 6	unex 4501	. 2 |- ( RR u. { +oo , -oo } ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2279	1 |- RR* e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   u. cun 3168   {cpr 3639   RRcr 7954   +oocpnf 8134   -oocmnf 8135   RR*cxr 8136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-uni 3860  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141

This theorem is referenced by:  ixxval  10048  ixxf  10050  ixxex  10051  blfn  14398  cnfldstr  14405  cnfldle  14414  znval  14483  znle  14484  znbaslemnn  14486  ispsmet  14880  isxmet  14902  xmetunirn  14915  blfvalps  14942  blex  14944