Theorem xrex 10237

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	|- RR* e. _V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8354	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2		reex 8303	. . 3 |- RR e. _V
3		pnfxr 8368	. . . 4 |- +oo e. RR*
4		mnfxr 8372	. . . 4 |- -oo e. RR*
5		prexg 4344	. . . 4 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> { +oo , -oo } e. _V )
6	3, 4, 5	mp2an 430	. . 3 |- { +oo , -oo } e. _V
7	2, 6	unex 4582	. 2 |- ( RR u. { +oo , -oo } ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2311	1 |- RR* e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   {cpr 3706   RRcr 8168   +oocpnf 8347   -oocmnf 8348   RR*cxr 8349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354

This theorem is referenced by:  ixxval  10277  ixxf  10279  ixxex  10280  blfn  14860  cnfldstr  14867  cnfldle  14876  znval  14943  znle  14944  znbaslemnn  14946  ispsmet  15347  isxmet  15369  xmetunirn  15382  blfvalps  15409  blex  15411