Theorem xrex 10189

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	|- RR* e. _V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8312	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2		reex 8261	. . 3 |- RR e. _V
3		pnfxr 8326	. . . 4 |- +oo e. RR*
4		mnfxr 8330	. . . 4 |- -oo e. RR*
5		prexg 4325	. . . 4 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> { +oo , -oo } e. _V )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 |- { +oo , -oo } e. _V
7	2, 6	unex 4562	. 2 |- ( RR u. { +oo , -oo } ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2305	1 |- RR* e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   u. cun 3209   {cpr 3690   RRcr 8126   +oocpnf 8305   -oocmnf 8306   RR*cxr 8307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312

This theorem is referenced by:  ixxval  10229  ixxf  10231  ixxex  10232  blfn  14699  cnfldstr  14706  cnfldle  14715  znval  14784  znle  14785  znbaslemnn  14787  ispsmet  15188  isxmet  15210  xmetunirn  15223  blfvalps  15250  blex  15252