Theorem xrex 9827

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	|- RR* e. _V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 7970	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2		reex 7920	. . 3 |- RR e. _V
3		pnfxr 7984	. . . 4 |- +oo e. RR*
4		mnfxr 7988	. . . 4 |- -oo e. RR*
5		prexg 4205	. . . 4 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> { +oo , -oo } e. _V )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 |- { +oo , -oo } e. _V
7	2, 6	unex 4435	. 2 |- ( RR u. { +oo , -oo } ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2248	1 |- RR* e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2146   _Vcvv 2735   u. cun 3125   {cpr 3590   RRcr 7785   +oocpnf 7963   -oocmnf 7964   RR*cxr 7965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-rex 2459  df-v 2737  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-uni 3806  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970

This theorem is referenced by:  ixxval  9867  ixxf  9869  ixxex  9870  ispsmet  13403  isxmet  13425  xmetunirn  13438  blfvalps  13465  blex  13467