Theorem xrex 9858

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	|- RR* e. _V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 7998	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2		reex 7947	. . 3 |- RR e. _V
3		pnfxr 8012	. . . 4 |- +oo e. RR*
4		mnfxr 8016	. . . 4 |- -oo e. RR*
5		prexg 4213	. . . 4 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> { +oo , -oo } e. _V )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 |- { +oo , -oo } e. _V
7	2, 6	unex 4443	. 2 |- ( RR u. { +oo , -oo } ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2250	1 |- RR* e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   u. cun 3129   {cpr 3595   RRcr 7812   +oocpnf 7991   -oocmnf 7992   RR*cxr 7993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998

This theorem is referenced by:  ixxval  9898  ixxf  9900  ixxex  9901  ispsmet  13862  isxmet  13884  xmetunirn  13897  blfvalps  13924  blex  13926