Theorem xrex 10208

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	|- RR* e. _V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8328	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2		reex 8277	. . 3 |- RR e. _V
3		pnfxr 8342	. . . 4 |- +oo e. RR*
4		mnfxr 8346	. . . 4 |- -oo e. RR*
5		prexg 4330	. . . 4 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> { +oo , -oo } e. _V )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 |- { +oo , -oo } e. _V
7	2, 6	unex 4567	. 2 |- ( RR u. { +oo , -oo } ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2307	1 |- RR* e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   u. cun 3212   {cpr 3695   RRcr 8142   +oocpnf 8321   -oocmnf 8322   RR*cxr 8323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-uni 3920  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328

This theorem is referenced by:  ixxval  10248  ixxf  10250  ixxex  10251  blfn  14825  cnfldstr  14832  cnfldle  14841  znval  14910  znle  14911  znbaslemnn  14913  ispsmet  15314  isxmet  15336  xmetunirn  15349  blfvalps  15376  blex  15378