ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrex Unicode version

Theorem xrex 9526
Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrex  |-  RR*  e.  _V

Proof of Theorem xrex
StepHypRef Expression
1 df-xr 7722 . 2  |-  RR*  =  ( RR  u.  { +oo , -oo } )
2 reex 7672 . . 3  |-  RR  e.  _V
3 pnfxr 7736 . . . 4  |- +oo  e.  RR*
4 mnfxr 7740 . . . 4  |- -oo  e.  RR*
5 prexg 4091 . . . 4  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\ -oo  e.  RR* )  ->  { +oo , -oo }  e.  _V )
63, 4, 5mp2an 420 . . 3  |-  { +oo , -oo }  e.  _V
72, 6unex 4320 . 2  |-  ( RR  u.  { +oo , -oo } )  e.  _V
81, 7eqeltri 2185 1  |-  RR*  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1461   _Vcvv 2655    u. cun 3033   {cpr 3492   RRcr 7540   +oocpnf 7715   -oocmnf 7716   RR*cxr 7717
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-rex 2394  df-v 2657  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-uni 3701  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722
This theorem is referenced by:  ixxval  9566  ixxf  9568  ixxex  9569  ispsmet  12306  isxmet  12328  xmetunirn  12341  blfvalps  12368  blex  12370
  Copyright terms: Public domain W3C validator