Theorem xrex 9783

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	|- RR* e. _V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 7928	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2		reex 7878	. . 3 |- RR e. _V
3		pnfxr 7942	. . . 4 |- +oo e. RR*
4		mnfxr 7946	. . . 4 |- -oo e. RR*
5		prexg 4183	. . . 4 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> { +oo , -oo } e. _V )
6	3, 4, 5	mp2an 423	. . 3 |- { +oo , -oo } e. _V
7	2, 6	unex 4413	. 2 |- ( RR u. { +oo , -oo } ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2237	1 |- RR* e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2135   _Vcvv 2721   u. cun 3109   {cpr 3571   RRcr 7743   +oocpnf 7921   -oocmnf 7922   RR*cxr 7923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-uni 3784  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928

This theorem is referenced by:  ixxval  9823  ixxf  9825  ixxex  9826  ispsmet  12864  isxmet  12886  xmetunirn  12899  blfvalps  12926  blex  12928