Theorem xrex 9925

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	|- RR* e. _V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8060	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2		reex 8008	. . 3 |- RR e. _V
3		pnfxr 8074	. . . 4 |- +oo e. RR*
4		mnfxr 8078	. . . 4 |- -oo e. RR*
5		prexg 4241	. . . 4 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> { +oo , -oo } e. _V )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 |- { +oo , -oo } e. _V
7	2, 6	unex 4473	. 2 |- ( RR u. { +oo , -oo } ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2266	1 |- RR* e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   u. cun 3152   {cpr 3620   RRcr 7873   +oocpnf 8053   -oocmnf 8054   RR*cxr 8055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-uni 3837  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060

This theorem is referenced by:  ixxval  9965  ixxf  9967  ixxex  9968  blfn  14050  cnfldstr  14057  cnfldle  14066  znval  14135  znle  14136  znbaslemnn  14138  ispsmet  14502  isxmet  14524  xmetunirn  14537  blfvalps  14564  blex  14566