Theorem xrex 10090

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	|- RR* e. _V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8217	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2		reex 8165	. . 3 |- RR e. _V
3		pnfxr 8231	. . . 4 |- +oo e. RR*
4		mnfxr 8235	. . . 4 |- -oo e. RR*
5		prexg 4301	. . . 4 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> { +oo , -oo } e. _V )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 |- { +oo , -oo } e. _V
7	2, 6	unex 4538	. 2 |- ( RR u. { +oo , -oo } ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2304	1 |- RR* e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   u. cun 3198   {cpr 3670   RRcr 8030   +oocpnf 8210   -oocmnf 8211   RR*cxr 8212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217

This theorem is referenced by:  ixxval  10130  ixxf  10132  ixxex  10133  blfn  14564  cnfldstr  14571  cnfldle  14580  znval  14649  znle  14650  znbaslemnn  14652  ispsmet  15046  isxmet  15068  xmetunirn  15081  blfvalps  15108  blex  15110