Theorem xrex 9632

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	|- RR* e. _V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 7797	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2		reex 7747	. . 3 |- RR e. _V
3		pnfxr 7811	. . . 4 |- +oo e. RR*
4		mnfxr 7815	. . . 4 |- -oo e. RR*
5		prexg 4128	. . . 4 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> { +oo , -oo } e. _V )
6	3, 4, 5	mp2an 422	. . 3 |- { +oo , -oo } e. _V
7	2, 6	unex 4357	. 2 |- ( RR u. { +oo , -oo } ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2210	1 |- RR* e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   u. cun 3064   {cpr 3523   RRcr 7612   +oocpnf 7790   -oocmnf 7791   RR*cxr 7792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797

This theorem is referenced by:  ixxval  9672  ixxf  9674  ixxex  9675  ispsmet  12481  isxmet  12503  xmetunirn  12516  blfvalps  12543  blex  12545