Theorem xrex 9978

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	|- RR* e. _V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8111	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2		reex 8059	. . 3 |- RR e. _V
3		pnfxr 8125	. . . 4 |- +oo e. RR*
4		mnfxr 8129	. . . 4 |- -oo e. RR*
5		prexg 4255	. . . 4 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> { +oo , -oo } e. _V )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 |- { +oo , -oo } e. _V
7	2, 6	unex 4488	. 2 |- ( RR u. { +oo , -oo } ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2278	1 |- RR* e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   u. cun 3164   {cpr 3634   RRcr 7924   +oocpnf 8104   -oocmnf 8105   RR*cxr 8106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111

This theorem is referenced by:  ixxval  10018  ixxf  10020  ixxex  10021  blfn  14313  cnfldstr  14320  cnfldle  14329  znval  14398  znle  14399  znbaslemnn  14401  ispsmet  14795  isxmet  14817  xmetunirn  14830  blfvalps  14857  blex  14859