Theorem xrex 9295

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	|- RR* e. _V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 7516	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2		reex 7466	. . 3 |- RR e. _V
3		pnfxr 7530	. . . 4 |- +oo e. RR*
4		mnfxr 7534	. . . 4 |- -oo e. RR*
5		prexg 4036	. . . 4 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> { +oo , -oo } e. _V )
6	3, 4, 5	mp2an 417	. . 3 |- { +oo , -oo } e. _V
7	2, 6	unex 4264	. 2 |- ( RR u. { +oo , -oo } ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2160	1 |- RR* e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   u. cun 2997   {cpr 3445   RRcr 7339   +oocpnf 7509   -oocmnf 7510   RR*cxr 7511

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-uni 3652  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516

This theorem is referenced by:  ixxval  9304  ixxf  9306  ixxex  9307