Theorem xrex 9526

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	|- RR* e. _V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 7722	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2		reex 7672	. . 3 |- RR e. _V
3		pnfxr 7736	. . . 4 |- +oo e. RR*
4		mnfxr 7740	. . . 4 |- -oo e. RR*
5		prexg 4091	. . . 4 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> { +oo , -oo } e. _V )
6	3, 4, 5	mp2an 420	. . 3 |- { +oo , -oo } e. _V
7	2, 6	unex 4320	. 2 |- ( RR u. { +oo , -oo } ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2185	1 |- RR* e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1461   _Vcvv 2655   u. cun 3033   {cpr 3492   RRcr 7540   +oocpnf 7715   -oocmnf 7716   RR*cxr 7717

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-rex 2394  df-v 2657  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-uni 3701  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722

This theorem is referenced by:  ixxval  9566  ixxf  9568  ixxex  9569  ispsmet  12306  isxmet  12328  xmetunirn  12341  blfvalps  12368  blex  12370