ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrex Unicode version

Theorem xrex 9668
Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrex  |-  RR*  e.  _V

Proof of Theorem xrex
StepHypRef Expression
1 df-xr 7827 . 2  |-  RR*  =  ( RR  u.  { +oo , -oo } )
2 reex 7777 . . 3  |-  RR  e.  _V
3 pnfxr 7841 . . . 4  |- +oo  e.  RR*
4 mnfxr 7845 . . . 4  |- -oo  e.  RR*
5 prexg 4140 . . . 4  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\ -oo  e.  RR* )  ->  { +oo , -oo }  e.  _V )
63, 4, 5mp2an 423 . . 3  |-  { +oo , -oo }  e.  _V
72, 6unex 4369 . 2  |-  ( RR  u.  { +oo , -oo } )  e.  _V
81, 7eqeltri 2213 1  |-  RR*  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1481   _Vcvv 2689    u. cun 3073   {cpr 3532   RRcr 7642   +oocpnf 7820   -oocmnf 7821   RR*cxr 7822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-uni 3744  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827
This theorem is referenced by:  ixxval  9708  ixxf  9710  ixxex  9711  ispsmet  12529  isxmet  12551  xmetunirn  12564  blfvalps  12591  blex  12593
  Copyright terms: Public domain W3C validator