Theorem xrex 10269

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	|- RR* e. _V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8365	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2		reex 8314	. . 3 |- RR e. _V
3		pnfxr 8379	. . . 4 |- +oo e. RR*
4		mnfxr 8383	. . . 4 |- -oo e. RR*
5		prexg 4349	. . . 4 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> { +oo , -oo } e. _V )
6	3, 4, 5	mp2an 430	. . 3 |- { +oo , -oo } e. _V
7	2, 6	unex 4587	. 2 |- ( RR u. { +oo , -oo } ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2311	1 |- RR* e. _V

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   {cpr 3710   RRcr 8179   +oocpnf 8358   -oocmnf 8359   RR*cxr 8360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365

This theorem is used by:  ixxval  10309  ixxf  10311  ixxex  10312  blfn  14972  cnfldstr  14979  cnfldle  14988  znval  15055  znle  15056  znbaslemnn  15058  ispsmet  15515  isxmet  15537  xmetunirn  15550  blfvalps  15577  blex  15579