Theorem xrex 9214

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	|- RR* e. _V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 7447	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2		reex 7397	. . 3 |- RR e. _V
3		pnfxr 7461	. . . 4 |- +oo e. RR*
4		mnfxr 7465	. . . 4 |- -oo e. RR*
5		prexg 4005	. . . 4 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> { +oo , -oo } e. _V )
6	3, 4, 5	mp2an 417	. . 3 |- { +oo , -oo } e. _V
7	2, 6	unex 4233	. 2 |- ( RR u. { +oo , -oo } ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2157	1 |- RR* e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1436   _Vcvv 2614   u. cun 2984   {cpr 3426   RRcr 7270   +oocpnf 7440   -oocmnf 7441   RR*cxr 7442

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-rex 2361  df-v 2616  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-uni 3631  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447

This theorem is referenced by:  ixxval  9223  ixxf  9225  ixxex  9226