Theorem xrex 9931

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	|- RR* e. _V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8065	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2		reex 8013	. . 3 |- RR e. _V
3		pnfxr 8079	. . . 4 |- +oo e. RR*
4		mnfxr 8083	. . . 4 |- -oo e. RR*
5		prexg 4244	. . . 4 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> { +oo , -oo } e. _V )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 |- { +oo , -oo } e. _V
7	2, 6	unex 4476	. 2 |- ( RR u. { +oo , -oo } ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2269	1 |- RR* e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   u. cun 3155   {cpr 3623   RRcr 7878   +oocpnf 8058   -oocmnf 8059   RR*cxr 8060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065

This theorem is referenced by:  ixxval  9971  ixxf  9973  ixxex  9974  blfn  14107  cnfldstr  14114  cnfldle  14123  znval  14192  znle  14193  znbaslemnn  14195  ispsmet  14559  isxmet  14581  xmetunirn  14594  blfvalps  14621  blex  14623