Theorem nn0ex 9301

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	|- NN0 e. _V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9296	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnex 9042	. . 3 |- NN e. _V
3		c0ex 8066	. . . 4 |- 0 e. _V
4	3	snex 4229	. . 3 |- { 0 } e. _V
5	2, 4	unex 4488	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2278	1 |- NN0 e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   u. cun 3164   {csn 3633   0cc0 7925   NNcn 9036   NN0cn0 9295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-i2m1 8030

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-int 3886  df-inn 9037  df-n0 9296

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10578  nnenom  10579  uzennn  10581  xnn0nnen  10582  wrdexg  11005  expcnvap0  11813  expcnvre  11814  expcnv  11815  geolim  11822  mertenslem2  11847  eftlub  12001  bitsfval  12253  bitsf  12257  1arith  12690  znnen  12769  psrval  14428  fnpsr  14429  psrbag  14431  psrbasg  14436  psrelbas  14437  psrplusgg  14440  psraddcl  14442  psr0cl  14443  psr0lid  14444  psrnegcl  14445  psrlinv  14446  psrgrp  14447  psr1clfi  14450  mplsubgfilemm  14460  mplsubgfilemcl  14461  plyval  15204  elply2  15207  plyf  15209  elplyr  15212  plyaddlem1  15219  plyaddlem  15221  plymullem  15222  plyco  15231  plycj  15233  plyrecj  15235