Theorem nn0ex 9272

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	|- NN0 e. _V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9267	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnex 9013	. . 3 |- NN e. _V
3		c0ex 8037	. . . 4 |- 0 e. _V
4	3	snex 4219	. . 3 |- { 0 } e. _V
5	2, 4	unex 4477	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2269	1 |- NN0 e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   u. cun 3155   {csn 3623   0cc0 7896   NNcn 9007   NN0cn0 9266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-i2m1 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-int 3876  df-inn 9008  df-n0 9267

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10542  nnenom  10543  uzennn  10545  xnn0nnen  10546  wrdexg  10963  expcnvap0  11684  expcnvre  11685  expcnv  11686  geolim  11693  mertenslem2  11718  eftlub  11872  bitsfval  12124  bitsf  12128  1arith  12561  znnen  12640  psrval  14296  fnpsr  14297  psrbag  14299  psrbasg  14303  psrelbas  14304  psrplusgg  14306  psraddcl  14308  psr0cl  14309  psr0lid  14310  psrnegcl  14311  psrlinv  14312  psrgrp  14313  psr1clfi  14316  plyval  15052  elply2  15055  plyf  15057  elplyr  15060  plyaddlem1  15067  plyaddlem  15069  plymullem  15070  plyco  15079  plycj  15081  plyrecj  15083