Theorem nn0ex 9522

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	|- NN0 e. _V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9517	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnex 9263	. . 3 |- NN e. _V
3		c0ex 8284	. . . 4 |- 0 e. _V
4	3	snex 4303	. . 3 |- { 0 } e. _V
5	2, 4	unex 4567	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2307	1 |- NN0 e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   u. cun 3212   {csn 3694   0cc0 8143   NNcn 9257   NN0cn0 9516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-i2m1 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-uni 3920  df-int 3955  df-inn 9258  df-n0 9517

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10822  nnenom  10823  uzennn  10825  xnn0nnen  10826  wrdexg  11263  expcnvap0  12216  expcnvre  12217  expcnv  12218  geolim  12225  mertenslem2  12250  eftlub  12404  bitsfval  12656  bitsf  12660  1arith  13093  znnen  13236  psrval  14943  fnpsr  14944  psrbag  14946  psrbagaddclfi  14954  psrbasg  14958  psrelbas  14959  psrplusgg  14962  psraddcl  14964  psr0cl  14965  psr0lid  14966  psrnegcl  14967  psrlinv  14968  psrgrp  14969  psr1clfi  14972  mplsubgfilemm  14982  mplsubgfilemcl  14983  plyval  15726  elply2  15729  plyf  15731  elplyr  15734  plyaddlem1  15741  plyaddlem  15743  plymullem  15744  plyco  15753  plycj  15755  plyrecj  15757  clwwlknonmpo  16552  depindlem1  16630  depindlem2  16631