Theorem nn0ex 9375

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	|- NN0 e. _V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9370	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnex 9116	. . 3 |- NN e. _V
3		c0ex 8140	. . . 4 |- 0 e. _V
4	3	snex 4269	. . 3 |- { 0 } e. _V
5	2, 4	unex 4532	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2302	1 |- NN0 e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   u. cun 3195   {csn 3666   0cc0 7999   NNcn 9110   NN0cn0 9369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-i2m1 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889  df-int 3924  df-inn 9111  df-n0 9370

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10655  nnenom  10656  uzennn  10658  xnn0nnen  10659  wrdexg  11082  expcnvap0  12013  expcnvre  12014  expcnv  12015  geolim  12022  mertenslem2  12047  eftlub  12201  bitsfval  12453  bitsf  12457  1arith  12890  znnen  12969  psrval  14630  fnpsr  14631  psrbag  14633  psrbasg  14638  psrelbas  14639  psrplusgg  14642  psraddcl  14644  psr0cl  14645  psr0lid  14646  psrnegcl  14647  psrlinv  14648  psrgrp  14649  psr1clfi  14652  mplsubgfilemm  14662  mplsubgfilemcl  14663  plyval  15406  elply2  15409  plyf  15411  elplyr  15414  plyaddlem1  15421  plyaddlem  15423  plymullem  15424  plyco  15433  plycj  15435  plyrecj  15437