Theorem nn0ex 9303

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	|- NN0 e. _V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9298	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnex 9044	. . 3 |- NN e. _V
3		c0ex 8068	. . . 4 |- 0 e. _V
4	3	snex 4230	. . 3 |- { 0 } e. _V
5	2, 4	unex 4489	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2278	1 |- NN0 e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   u. cun 3164   {csn 3633   0cc0 7927   NNcn 9038   NN0cn0 9297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-i2m1 8032

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-int 3886  df-inn 9039  df-n0 9298

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10580  nnenom  10581  uzennn  10583  xnn0nnen  10584  wrdexg  11007  expcnvap0  11846  expcnvre  11847  expcnv  11848  geolim  11855  mertenslem2  11880  eftlub  12034  bitsfval  12286  bitsf  12290  1arith  12723  znnen  12802  psrval  14461  fnpsr  14462  psrbag  14464  psrbasg  14469  psrelbas  14470  psrplusgg  14473  psraddcl  14475  psr0cl  14476  psr0lid  14477  psrnegcl  14478  psrlinv  14479  psrgrp  14480  psr1clfi  14483  mplsubgfilemm  14493  mplsubgfilemcl  14494  plyval  15237  elply2  15240  plyf  15242  elplyr  15245  plyaddlem1  15252  plyaddlem  15254  plymullem  15255  plyco  15264  plycj  15266  plyrecj  15268