Theorem nn0ex 8589

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	|- NN0 e. _V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 8584	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnex 8340	. . 3 |- NN e. _V
3		c0ex 7403	. . . 4 |- 0 e. _V
4	3	snex 3987	. . 3 |- { 0 } e. _V
5	2, 4	unex 4233	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2157	1 |- NN0 e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1436   _Vcvv 2614   u. cun 2984   {csn 3425   0cc0 7271   NNcn 8334   NN0cn0 8583

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-i2m1 7371

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2616  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-uni 3631  df-int 3666  df-inn 8335  df-n0 8584

This theorem is referenced by:  nn0ennn  9743  nnenom  9744  eucialgcvga  10834  eucialg  10835  znnen  11005