Theorem nn0ex 8881

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	|- NN0 e. _V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 8876	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnex 8630	. . 3 |- NN e. _V
3		c0ex 7678	. . . 4 |- 0 e. _V
4	3	snex 4067	. . 3 |- { 0 } e. _V
5	2, 4	unex 4320	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2185	1 |- NN0 e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1461   _Vcvv 2655   u. cun 3033   {csn 3491   0cc0 7541   NNcn 8624   NN0cn0 8875

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-i2m1 7644

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-v 2657  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-uni 3701  df-int 3736  df-inn 8625  df-n0 8876

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10093  nnenom  10094  uzennn  10096  expcnvap0  11157  expcnvre  11158  expcnv  11159  geolim  11166  mertenslem2  11191  eftlub  11241  znnen  11750