Theorem nn0ex 9336

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	|- NN0 e. _V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9331	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnex 9077	. . 3 |- NN e. _V
3		c0ex 8101	. . . 4 |- 0 e. _V
4	3	snex 4245	. . 3 |- { 0 } e. _V
5	2, 4	unex 4506	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2280	1 |- NN0 e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   u. cun 3172   {csn 3643   0cc0 7960   NNcn 9071   NN0cn0 9330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-i2m1 8065

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-uni 3865  df-int 3900  df-inn 9072  df-n0 9331

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10615  nnenom  10616  uzennn  10618  xnn0nnen  10619  wrdexg  11042  expcnvap0  11928  expcnvre  11929  expcnv  11930  geolim  11937  mertenslem2  11962  eftlub  12116  bitsfval  12368  bitsf  12372  1arith  12805  znnen  12884  psrval  14543  fnpsr  14544  psrbag  14546  psrbasg  14551  psrelbas  14552  psrplusgg  14555  psraddcl  14557  psr0cl  14558  psr0lid  14559  psrnegcl  14560  psrlinv  14561  psrgrp  14562  psr1clfi  14565  mplsubgfilemm  14575  mplsubgfilemcl  14576  plyval  15319  elply2  15322  plyf  15324  elplyr  15327  plyaddlem1  15334  plyaddlem  15336  plymullem  15337  plyco  15346  plycj  15348  plyrecj  15350