Theorem nn0ex 8649

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	|- NN0 e. _V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 8644	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnex 8400	. . 3 |- NN e. _V
3		c0ex 7461	. . . 4 |- 0 e. _V
4	3	snex 4011	. . 3 |- { 0 } e. _V
5	2, 4	unex 4257	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2160	1 |- NN0 e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   u. cun 2995   {csn 3441   0cc0 7329   NNcn 8394   NN0cn0 8643

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-i2m1 7429

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649  df-int 3684  df-inn 8395  df-n0 8644

This theorem is referenced by:  nn0ennn  9805  nnenom  9806  expcnvap0  10857  expcnvre  10858  expcnv  10859  geolim  10866  eucialgcvga  11133  eucialg  11134  znnen  11304