Theorem nn0ex 9498

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	|- NN0 e. _V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9493	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnex 9239	. . 3 |- NN e. _V
3		c0ex 8264	. . . 4 |- 0 e. _V
4	3	snex 4297	. . 3 |- { 0 } e. _V
5	2, 4	unex 4561	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2305	1 |- NN0 e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2203   _Vcvv 2812   u. cun 3208   {csn 3688   0cc0 8123   NNcn 9233   NN0cn0 9492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-i2m1 8228

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-uni 3914  df-int 3949  df-inn 9234  df-n0 9493

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10791  nnenom  10792  uzennn  10794  xnn0nnen  10795  wrdexg  11228  expcnvap0  12181  expcnvre  12182  expcnv  12183  geolim  12190  mertenslem2  12215  eftlub  12369  bitsfval  12621  bitsf  12625  1arith  13058  znnen  13138  psrval  14801  fnpsr  14802  psrbag  14804  psrbagaddclfi  14812  psrbasg  14816  psrelbas  14817  psrplusgg  14820  psraddcl  14822  psr0cl  14823  psr0lid  14824  psrnegcl  14825  psrlinv  14826  psrgrp  14827  psr1clfi  14830  mplsubgfilemm  14840  mplsubgfilemcl  14841  plyval  15584  elply2  15587  plyf  15589  elplyr  15592  plyaddlem1  15599  plyaddlem  15601  plymullem  15602  plyco  15611  plycj  15613  plyrecj  15615  clwwlknonmpo  16410  depindlem1  16488  depindlem2  16489