Theorem nn0ex 8976

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	|- NN0 e. _V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 8971	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnex 8719	. . 3 |- NN e. _V
3		c0ex 7753	. . . 4 |- 0 e. _V
4	3	snex 4104	. . 3 |- { 0 } e. _V
5	2, 4	unex 4357	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2210	1 |- NN0 e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   u. cun 3064   {csn 3522   0cc0 7613   NNcn 8713   NN0cn0 8970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-i2m1 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-int 3767  df-inn 8714  df-n0 8971

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10199  nnenom  10200  uzennn  10202  expcnvap0  11264  expcnvre  11265  expcnv  11266  geolim  11273  mertenslem2  11298  eftlub  11385  znnen  11900