Theorem nn0ex 9120

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	|- NN0 e. _V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9115	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnex 8863	. . 3 |- NN e. _V
3		c0ex 7893	. . . 4 |- 0 e. _V
4	3	snex 4164	. . 3 |- { 0 } e. _V
5	2, 4	unex 4419	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2239	1 |- NN0 e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   u. cun 3114   {csn 3576   0cc0 7753   NNcn 8857   NN0cn0 9114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-i2m1 7858

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-int 3825  df-inn 8858  df-n0 9115

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10368  nnenom  10369  uzennn  10371  expcnvap0  11443  expcnvre  11444  expcnv  11445  geolim  11452  mertenslem2  11477  eftlub  11631  1arith  12297  znnen  12331