Theorem nn0ex 9386

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	|- NN0 e. _V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9381	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnex 9127	. . 3 |- NN e. _V
3		c0ex 8151	. . . 4 |- 0 e. _V
4	3	snex 4269	. . 3 |- { 0 } e. _V
5	2, 4	unex 4532	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2302	1 |- NN0 e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   u. cun 3195   {csn 3666   0cc0 8010   NNcn 9121   NN0cn0 9380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-i2m1 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889  df-int 3924  df-inn 9122  df-n0 9381

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10667  nnenom  10668  uzennn  10670  xnn0nnen  10671  wrdexg  11095  expcnvap0  12029  expcnvre  12030  expcnv  12031  geolim  12038  mertenslem2  12063  eftlub  12217  bitsfval  12469  bitsf  12473  1arith  12906  znnen  12985  psrval  14646  fnpsr  14647  psrbag  14649  psrbasg  14654  psrelbas  14655  psrplusgg  14658  psraddcl  14660  psr0cl  14661  psr0lid  14662  psrnegcl  14663  psrlinv  14664  psrgrp  14665  psr1clfi  14668  mplsubgfilemm  14678  mplsubgfilemcl  14679  plyval  15422  elply2  15425  plyf  15427  elplyr  15430  plyaddlem1  15437  plyaddlem  15439  plymullem  15440  plyco  15449  plycj  15451  plyrecj  15453