Theorem nn0ex 9571

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	|- NN0 e. _V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9566	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnex 9311	. . 3 |- NN e. _V
3		c0ex 8320	. . . 4 |- 0 e. _V
4	3	snex 4322	. . 3 |- { 0 } e. _V
5	2, 4	unex 4587	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2311	1 |- NN0 e. _V

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   {csn 3709   0cc0 8179   NNcn 9305   NN0cn0 9565

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-i2m1 8284

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-inn 9306  df-n0 9566

This theorem is used by:  nn0ennn  10872  nnenom  10873  uzennn  10875  xnn0nnen  10876  wrdexg  11317  expcnvap0  12271  expcnvre  12272  expcnv  12273  geolim  12280  mertenslem2  12305  eftlub  12459  bitsfval  12711  bitsf  12715  1arith  13148  znnen  13291  psrval  15052  fnpsr  15053  psrbag  15055  psrbagaddclfi  15063  psrbasg  15067  psrelbas  15068  psrplusgg  15071  psraddcl  15073  psr0cl  15074  psr0lid  15075  psrnegcl  15076  psrlinv  15077  psrgrp  15078  psr1clfi  15081  mplsubgfilemm  15091  mplsubgfilemcl  15092  plyval  15835  elply2  15838  plyf  15840  elplyr  15843  plyaddlem1  15850  plyaddlem  15852  plymullem  15853  plyco  15862  plycj  15864  plyrecj  15866  clwwlknonmpo  16681  depindlem1  16759  depindlem2  16760