Theorem nn0ex 9111

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	|- NN0 e. _V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9106	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnex 8854	. . 3 |- NN e. _V
3		c0ex 7884	. . . 4 |- 0 e. _V
4	3	snex 4158	. . 3 |- { 0 } e. _V
5	2, 4	unex 4413	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2237	1 |- NN0 e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2135   _Vcvv 2721   u. cun 3109   {csn 3570   0cc0 7744   NNcn 8848   NN0cn0 9105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-i2m1 7849

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-uni 3784  df-int 3819  df-inn 8849  df-n0 9106

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10358  nnenom  10359  uzennn  10361  expcnvap0  11429  expcnvre  11430  expcnv  11431  geolim  11438  mertenslem2  11463  eftlub  11617  znnen  12268