Theorem nn0ex 9552

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	|- NN0 e. _V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9547	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnex 9293	. . 3 |- NN e. _V
3		c0ex 8314	. . . 4 |- 0 e. _V
4	3	snex 4320	. . 3 |- { 0 } e. _V
5	2, 4	unex 4585	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2311	1 |- NN0 e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   {csn 3708   0cc0 8173   NNcn 9287   NN0cn0 9546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-i2m1 8278

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-uni 3934  df-int 3969  df-inn 9288  df-n0 9547

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10853  nnenom  10854  uzennn  10856  xnn0nnen  10857  wrdexg  11298  expcnvap0  12252  expcnvre  12253  expcnv  12254  geolim  12261  mertenslem2  12286  eftlub  12440  bitsfval  12692  bitsf  12696  1arith  13129  znnen  13272  psrval  15033  fnpsr  15034  psrbag  15036  psrbagaddclfi  15044  psrbasg  15048  psrelbas  15049  psrplusgg  15052  psraddcl  15054  psr0cl  15055  psr0lid  15056  psrnegcl  15057  psrlinv  15058  psrgrp  15059  psr1clfi  15062  mplsubgfilemm  15072  mplsubgfilemcl  15073  plyval  15816  elply2  15819  plyf  15821  elplyr  15824  plyaddlem1  15831  plyaddlem  15833  plymullem  15834  plyco  15843  plycj  15845  plyrecj  15847  clwwlknonmpo  16652  depindlem1  16730  depindlem2  16731