Theorem nn0ex 9249

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	|- NN0 e. _V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9244	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnex 8990	. . 3 |- NN e. _V
3		c0ex 8015	. . . 4 |- 0 e. _V
4	3	snex 4215	. . 3 |- { 0 } e. _V
5	2, 4	unex 4473	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2266	1 |- NN0 e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   u. cun 3152   {csn 3619   0cc0 7874   NNcn 8984   NN0cn0 9243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-i2m1 7979

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-uni 3837  df-int 3872  df-inn 8985  df-n0 9244

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10507  nnenom  10508  uzennn  10510  xnn0nnen  10511  wrdexg  10928  expcnvap0  11648  expcnvre  11649  expcnv  11650  geolim  11657  mertenslem2  11682  eftlub  11836  1arith  12508  znnen  12558  psrval  14163  fnpsr  14164  psrbag  14166  psrbasg  14170  psrelbas  14171  psrplusgg  14173  psraddcl  14175  plyval  14911  elply2  14914  plyf  14916  elplyr  14919  plyaddlem1  14926  plyaddlem  14928  plymullem  14929  plyco  14937  plycj  14939  plyrecj  14941