Theorem nn0ex 9141

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	|- NN0 e. _V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9136	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnex 8884	. . 3 |- NN e. _V
3		c0ex 7914	. . . 4 |- 0 e. _V
4	3	snex 4171	. . 3 |- { 0 } e. _V
5	2, 4	unex 4426	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2243	1 |- NN0 e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   u. cun 3119   {csn 3583   0cc0 7774   NNcn 8878   NN0cn0 9135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-i2m1 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-inn 8879  df-n0 9136

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10389  nnenom  10390  uzennn  10392  expcnvap0  11465  expcnvre  11466  expcnv  11467  geolim  11474  mertenslem2  11499  eftlub  11653  1arith  12319  znnen  12353