Theorem sspwuni 3905

Description: Subclass relationship for power class and union. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
sspwuni	|- ( A C_ ~P B <-> U. A C_ B )

Proof of Theorem sspwuni

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2692	. . . 4 |- x e. _V
2	1	elpw 3521	. . 3 |- ( x e. ~P B <-> x C_ B )
3	2	ralbii 2444	. 2 |- ( A. x e. A x e. ~P B <-> A. x e. A x C_ B )
4		dfss3 3092	. 2 |- ( A C_ ~P B <-> A. x e. A x e. ~P B )
5		unissb 3774	. 2 |- ( U. A C_ B <-> A. x e. A x C_ B )
6	3, 4, 5	3bitr4i 211	1 |- ( A C_ ~P B <-> U. A C_ B )

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 1481   A.wral 2417   C_ wss 3076   ~Pcpw 3515   U.cuni 3744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-uni 3745

This theorem is referenced by:  pwssb  3906  elpwpw  3907  elpwuni  3910  rintm  3913  dftr4  4039  iotass  5113  tfrlemibfn  6233  tfr1onlembfn  6249  tfrcllembfn  6262  uniixp  6623  fipwssg  6875  unirnioo  9786  restid  12170  topgele  12235  topontopn  12243  unitg  12270  epttop  12298  resttopon  12379  txuni2  12464  txdis  12485  unirnblps  12630  unirnbl  12631