Theorem uniuni 4380

Description: Expression for double union that moves union into a class builder. (Contributed by FL, 28-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniuni	|- U. U. A = U. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) }

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem uniuni

Dummy variables v z u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 3747	. . . . . 6 |- ( u e. U. A <-> E. y ( u e. y /\ y e. A ) )
2	1	anbi2i 453	. . . . 5 |- ( ( z e. u /\ u e. U. A ) <-> ( z e. u /\ E. y ( u e. y /\ y e. A ) ) )
3	2	exbii 1585	. . . 4 |- ( E. u ( z e. u /\ u e. U. A ) <-> E. u ( z e. u /\ E. y ( u e. y /\ y e. A ) ) )
4		19.42v 1879	. . . . . . 7 |- ( E. y ( z e. u /\ ( u e. y /\ y e. A ) ) <-> ( z e. u /\ E. y ( u e. y /\ y e. A ) ) )
5	4	bicomi 131	. . . . . 6 |- ( ( z e. u /\ E. y ( u e. y /\ y e. A ) ) <-> E. y ( z e. u /\ ( u e. y /\ y e. A ) ) )
6	5	exbii 1585	. . . . 5 |- ( E. u ( z e. u /\ E. y ( u e. y /\ y e. A ) ) <-> E. u E. y ( z e. u /\ ( u e. y /\ y e. A ) ) )
7		excom 1643	. . . . . 6 |- ( E. u E. y ( z e. u /\ ( u e. y /\ y e. A ) ) <-> E. y E. u ( z e. u /\ ( u e. y /\ y e. A ) ) )
8		anass 399	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. u /\ u e. y ) /\ y e. A ) <-> ( z e. u /\ ( u e. y /\ y e. A ) ) )
9		ancom 264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. u /\ u e. y ) /\ y e. A ) <-> ( y e. A /\ ( z e. u /\ u e. y ) ) )
10	8, 9	bitr3i 185	. . . . . . 7 |- ( ( z e. u /\ ( u e. y /\ y e. A ) ) <-> ( y e. A /\ ( z e. u /\ u e. y ) ) )
11	10	2exbii 1586	. . . . . 6 |- ( E. y E. u ( z e. u /\ ( u e. y /\ y e. A ) ) <-> E. y E. u ( y e. A /\ ( z e. u /\ u e. y ) ) )
12		exdistr 1882	. . . . . 6 |- ( E. y E. u ( y e. A /\ ( z e. u /\ u e. y ) ) <-> E. y ( y e. A /\ E. u ( z e. u /\ u e. y ) ) )
13	7, 11, 12	3bitri 205	. . . . 5 |- ( E. u E. y ( z e. u /\ ( u e. y /\ y e. A ) ) <-> E. y ( y e. A /\ E. u ( z e. u /\ u e. y ) ) )
14		eluni 3747	. . . . . . . 8 |- ( z e. U. y <-> E. u ( z e. u /\ u e. y ) )
15	14	bicomi 131	. . . . . . 7 |- ( E. u ( z e. u /\ u e. y ) <-> z e. U. y )
16	15	anbi2i 453	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ E. u ( z e. u /\ u e. y ) ) <-> ( y e. A /\ z e. U. y ) )
17	16	exbii 1585	. . . . 5 |- ( E. y ( y e. A /\ E. u ( z e. u /\ u e. y ) ) <-> E. y ( y e. A /\ z e. U. y ) )
18	6, 13, 17	3bitri 205	. . . 4 |- ( E. u ( z e. u /\ E. y ( u e. y /\ y e. A ) ) <-> E. y ( y e. A /\ z e. U. y ) )
19		vex 2692	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
20	19	uniex 4367	. . . . . . . . . 10 |- U. y e. _V
21		eleq2 2204	. . . . . . . . . 10 |- ( v = U. y -> ( z e. v <-> z e. U. y ) )
22	20, 21	ceqsexv 2728	. . . . . . . . 9 |- ( E. v ( v = U. y /\ z e. v ) <-> z e. U. y )
23		exancom 1588	. . . . . . . . 9 |- ( E. v ( v = U. y /\ z e. v ) <-> E. v ( z e. v /\ v = U. y ) )
24	22, 23	bitr3i 185	. . . . . . . 8 |- ( z e. U. y <-> E. v ( z e. v /\ v = U. y ) )
25	24	anbi2i 453	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ z e. U. y ) <-> ( y e. A /\ E. v ( z e. v /\ v = U. y ) ) )
26		19.42v 1879	. . . . . . 7 |- ( E. v ( y e. A /\ ( z e. v /\ v = U. y ) ) <-> ( y e. A /\ E. v ( z e. v /\ v = U. y ) ) )
27		ancom 264	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ ( z e. v /\ v = U. y ) ) <-> ( ( z e. v /\ v = U. y ) /\ y e. A ) )
28		anass 399	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. v /\ v = U. y ) /\ y e. A ) <-> ( z e. v /\ ( v = U. y /\ y e. A ) ) )
29	27, 28	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. A /\ ( z e. v /\ v = U. y ) ) <-> ( z e. v /\ ( v = U. y /\ y e. A ) ) )
30	29	exbii 1585	. . . . . . 7 |- ( E. v ( y e. A /\ ( z e. v /\ v = U. y ) ) <-> E. v ( z e. v /\ ( v = U. y /\ y e. A ) ) )
31	25, 26, 30	3bitr2i 207	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ z e. U. y ) <-> E. v ( z e. v /\ ( v = U. y /\ y e. A ) ) )
32	31	exbii 1585	. . . . 5 |- ( E. y ( y e. A /\ z e. U. y ) <-> E. y E. v ( z e. v /\ ( v = U. y /\ y e. A ) ) )
33		excom 1643	. . . . 5 |- ( E. y E. v ( z e. v /\ ( v = U. y /\ y e. A ) ) <-> E. v E. y ( z e. v /\ ( v = U. y /\ y e. A ) ) )
34		exdistr 1882	. . . . . 6 |- ( E. v E. y ( z e. v /\ ( v = U. y /\ y e. A ) ) <-> E. v ( z e. v /\ E. y ( v = U. y /\ y e. A ) ) )
35		vex 2692	. . . . . . . . . 10 |- v e. _V
36		eqeq1 2147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = v -> ( x = U. y <-> v = U. y ) )
37	36	anbi1d 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = v -> ( ( x = U. y /\ y e. A ) <-> ( v = U. y /\ y e. A ) ) )
38	37	exbidv 1798	. . . . . . . . . 10 |- ( x = v -> ( E. y ( x = U. y /\ y e. A ) <-> E. y ( v = U. y /\ y e. A ) ) )
39	35, 38	elab 2832	. . . . . . . . 9 |- ( v e. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) } <-> E. y ( v = U. y /\ y e. A ) )
40	39	bicomi 131	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( v = U. y /\ y e. A ) <-> v e. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) } )
41	40	anbi2i 453	. . . . . . 7 |- ( ( z e. v /\ E. y ( v = U. y /\ y e. A ) ) <-> ( z e. v /\ v e. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) } ) )
42	41	exbii 1585	. . . . . 6 |- ( E. v ( z e. v /\ E. y ( v = U. y /\ y e. A ) ) <-> E. v ( z e. v /\ v e. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) } ) )
43	34, 42	bitri 183	. . . . 5 |- ( E. v E. y ( z e. v /\ ( v = U. y /\ y e. A ) ) <-> E. v ( z e. v /\ v e. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) } ) )
44	32, 33, 43	3bitri 205	. . . 4 |- ( E. y ( y e. A /\ z e. U. y ) <-> E. v ( z e. v /\ v e. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) } ) )
45	3, 18, 44	3bitri 205	. . 3 |- ( E. u ( z e. u /\ u e. U. A ) <-> E. v ( z e. v /\ v e. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) } ) )
46	45	abbii 2256	. 2 |- { z | E. u ( z e. u /\ u e. U. A ) } = { z | E. v ( z e. v /\ v e. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) } ) }
47		df-uni 3745	. 2 |- U. U. A = { z | E. u ( z e. u /\ u e. U. A ) }
48		df-uni 3745	. 2 |- U. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) } = { z | E. v ( z e. v /\ v e. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) } ) }
49	46, 47, 48	3eqtr4i 2171	1 |- U. U. A = U. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   {cab 2126   U.cuni 3744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rex 2423  df-v 2691  df-uni 3745

This theorem is referenced by: (None)