Theorem mopnval 14610

Description: An open set is a subset of a metric space which includes a ball around each of its points. Definition 1.3-2 of [Kreyszig] p. 18. The object ( MetOpen ` D ) is the family of all open sets in the metric space determined by the metric D. By mopntop 14612, the open sets of a metric space form a topology J, whose base set is U. J by mopnuni 14613. (Contributed by NM, 1-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnval.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
mopnval	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )

Proof of Theorem mopnval

Dummy variable d is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopnval.1	. 2 |- J = ( MetOpen ` D )
2		df-mopn 14043	. . 3 |- MetOpen = ( d e. U. ran *Met |-> ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) )
3		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( d = D -> ( ball ` d ) = ( ball ` D ) )
4	3	rneqd 4891	. . . 4 |- ( d = D -> ran ( ball ` d ) = ran ( ball ` D ) )
5	4	fveq2d 5558	. . 3 |- ( d = D -> ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )
6		xmetrel 14511	. . . . . . . 8 |- Rel *Met
7		relelfvdm 5586	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
8	6, 7	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
9	8	elexd 2773	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. _V )
10		fvssunirng 5569	. . . . . 6 |- ( X e. _V -> ( *Met ` X ) C_ U. ran *Met )
11	9, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( *Met ` X ) C_ U. ran *Met )
12	11	sseld 3178	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D e. ( *Met ` X ) -> D e. U. ran *Met ) )
13	12	pm2.43i 49	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D e. U. ran *Met )
14		blbas 14601	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ran ( ball ` D ) e. TopBases )
15		tgcl 14232	. . . 4 |- ( ran ( ball ` D ) e. TopBases -> ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) e. Top )
16	14, 15	syl 14	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) e. Top )
17	2, 5, 13, 16	fvmptd3 5651	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( MetOpen ` D ) = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )
18	1, 17	eqtrid 2238	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   U.cuni 3835   dom cdm 4659   ran crn 4660   Rel wrel 4664   ` cfv 5254   topGenctg 12865   *Metcxmet 14032   ballcbl 14034   MetOpencmopn 14037   Topctop 14165   TopBasesctb 14210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-map 6704  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-xadd 9839  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-topgen 12871  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-bl 14042  df-mopn 14043  df-top 14166  df-bases 14211

This theorem is referenced by:  mopntopon  14611  elmopn  14614  blssopn  14653  metss  14662  xmettxlem  14677  xmettx  14678  metcnp3  14679  tgioo  14714