Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mopnval Unicode version

Theorem mopnval 12517
 Description: An open set is a subset of a metric space which includes a ball around each of its points. Definition 1.3-2 of [Kreyszig] p. 18. The object is the family of all open sets in the metric space determined by the metric . By mopntop 12519, the open sets of a metric space form a topology , whose base set is by mopnuni 12520. (Contributed by NM, 1-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnval.1
Assertion
Ref Expression
mopnval

Proof of Theorem mopnval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopnval.1 . 2
2 df-mopn 12066 . . 3
3 fveq2 5387 . . . . 5
43rneqd 4736 . . . 4
54fveq2d 5391 . . 3
6 xmetrel 12418 . . . . . . . 8
7 relelfvdm 5419 . . . . . . . 8
86, 7mpan 418 . . . . . . 7
98elexd 2671 . . . . . 6
10 fvssunirng 5402 . . . . . 6
119, 10syl 14 . . . . 5
1211sseld 3064 . . . 4
1312pm2.43i 49 . . 3
14 blbas 12508 . . . 4
15 tgcl 12139 . . . 4
1614, 15syl 14 . . 3
172, 5, 13, 16fvmptd3 5480 . 2
181, 17syl5eq 2160 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1314   wcel 1463  cvv 2658   wss 3039  cuni 3704   cdm 4507   crn 4508   wrel 4512  cfv 5091  ctg 12041  cxmet 12055  cbl 12057  cmopn 12060  ctop 12070  ctb 12115 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-map 6510  df-sup 6837  df-inf 6838  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-xneg 9510  df-xadd 9511  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-topgen 12047  df-psmet 12062  df-xmet 12063  df-bl 12065  df-mopn 12066  df-top 12071  df-bases 12116 This theorem is referenced by:  mopntopon  12518  elmopn  12521  blssopn  12560  metss  12569  xmettxlem  12584  xmettx  12585  metcnp3  12586  tgioo  12621
 Copyright terms: Public domain W3C validator