ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mopnval Unicode version

Theorem mopnval 12853
Description: An open set is a subset of a metric space which includes a ball around each of its points. Definition 1.3-2 of [Kreyszig] p. 18. The object  ( MetOpen `  D
) is the family of all open sets in the metric space determined by the metric  D. By mopntop 12855, the open sets of a metric space form a topology 
J, whose base set is 
U. J by mopnuni 12856. (Contributed by NM, 1-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnval.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
mopnval  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )

Proof of Theorem mopnval
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopnval.1 . 2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
2 df-mopn 12402 . . 3  |-  MetOpen  =  ( d  e.  U. ran  *Met  |->  ( topGen `  ran  ( ball `  d )
) )
3 fveq2 5468 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  ( ball `  d )  =  ( ball `  D
) )
43rneqd 4815 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  ran  ( ball `  d )  =  ran  ( ball `  D
) )
54fveq2d 5472 . . 3  |-  ( d  =  D  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  d ) )  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) ) )
6 xmetrel 12754 . . . . . . . 8  |-  Rel  *Met
7 relelfvdm 5500 . . . . . . . 8  |-  ( ( Rel  *Met  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  ->  X  e.  dom  *Met )
86, 7mpan 421 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
98elexd 2725 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  _V )
10 fvssunirng 5483 . . . . . 6  |-  ( X  e.  _V  ->  ( *Met `  X ) 
C_  U. ran  *Met )
119, 10syl 14 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( *Met `  X ) 
C_  U. ran  *Met )
1211sseld 3127 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D  e.  U. ran  *Met ) )
1312pm2.43i 49 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D  e.  U. ran  *Met )
14 blbas 12844 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ran  ( ball `  D )  e. 
TopBases )
15 tgcl 12475 . . . 4  |-  ( ran  ( ball `  D
)  e.  TopBases  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e. 
Top )
1614, 15syl 14 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e. 
Top )
172, 5, 13, 16fvmptd3 5561 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( MetOpen
`  D )  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) ) )
181, 17syl5eq 2202 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1335    e. wcel 2128   _Vcvv 2712    C_ wss 3102   U.cuni 3772   dom cdm 4586   ran crn 4587   Rel wrel 4591   ` cfv 5170   topGenctg 12377   *Metcxmet 12391   ballcbl 12393   MetOpencmopn 12396   Topctop 12406   TopBasesctb 12451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-map 6595  df-sup 6928  df-inf 6929  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-xneg 9679  df-xadd 9680  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-topgen 12383  df-psmet 12398  df-xmet 12399  df-bl 12401  df-mopn 12402  df-top 12407  df-bases 12452
This theorem is referenced by:  mopntopon  12854  elmopn  12857  blssopn  12896  metss  12905  xmettxlem  12920  xmettx  12921  metcnp3  12922  tgioo  12957
  Copyright terms: Public domain W3C validator