Theorem mopnval 12650

Description: An open set is a subset of a metric space which includes a ball around each of its points. Definition 1.3-2 of [Kreyszig] p. 18. The object ( MetOpen ` D ) is the family of all open sets in the metric space determined by the metric D. By mopntop 12652, the open sets of a metric space form a topology J, whose base set is U. J by mopnuni 12653. (Contributed by NM, 1-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnval.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
mopnval	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )

Proof of Theorem mopnval

Dummy variable d is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopnval.1	. 2 |- J = ( MetOpen ` D )
2		df-mopn 12199	. . 3 |- MetOpen = ( d e. U. ran *Met |-> ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) )
3		fveq2 5429	. . . . 5 |- ( d = D -> ( ball ` d ) = ( ball ` D ) )
4	3	rneqd 4776	. . . 4 |- ( d = D -> ran ( ball ` d ) = ran ( ball ` D ) )
5	4	fveq2d 5433	. . 3 |- ( d = D -> ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )
6		xmetrel 12551	. . . . . . . 8 |- Rel *Met
7		relelfvdm 5461	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
8	6, 7	mpan 421	. . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
9	8	elexd 2702	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. _V )
10		fvssunirng 5444	. . . . . 6 |- ( X e. _V -> ( *Met ` X ) C_ U. ran *Met )
11	9, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( *Met ` X ) C_ U. ran *Met )
12	11	sseld 3101	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D e. ( *Met ` X ) -> D e. U. ran *Met ) )
13	12	pm2.43i 49	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D e. U. ran *Met )
14		blbas 12641	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ran ( ball ` D ) e. TopBases )
15		tgcl 12272	. . . 4 |- ( ran ( ball ` D ) e. TopBases -> ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) e. Top )
16	14, 15	syl 14	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) e. Top )
17	2, 5, 13, 16	fvmptd3 5522	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( MetOpen ` D ) = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )
18	1, 17	syl5eq 2185	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   U.cuni 3744   dom cdm 4547   ran crn 4548   Rel wrel 4552   ` cfv 5131   topGenctg 12174   *Metcxmet 12188   ballcbl 12190   MetOpencmopn 12193   Topctop 12203   TopBasesctb 12248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-map 6552  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-xneg 9589  df-xadd 9590  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-topgen 12180  df-psmet 12195  df-xmet 12196  df-bl 12198  df-mopn 12199  df-top 12204  df-bases 12249

This theorem is referenced by:  mopntopon  12651  elmopn  12654  blssopn  12693  metss  12702  xmettxlem  12717  xmettx  12718  metcnp3  12719  tgioo  12754