Theorem mopnval 14762

Description: An open set is a subset of a metric space which includes a ball around each of its points. Definition 1.3-2 of [Kreyszig] p. 18. The object ( MetOpen ` D ) is the family of all open sets in the metric space determined by the metric D. By mopntop 14764, the open sets of a metric space form a topology J, whose base set is U. J by mopnuni 14765. (Contributed by NM, 1-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnval.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
mopnval	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )

Proof of Theorem mopnval

Dummy variable d is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopnval.1	. 2 |- J = ( MetOpen ` D )
2		df-mopn 14179	. . 3 |- MetOpen = ( d e. U. ran *Met |-> ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) )
3		fveq2 5561	. . . . 5 |- ( d = D -> ( ball ` d ) = ( ball ` D ) )
4	3	rneqd 4896	. . . 4 |- ( d = D -> ran ( ball ` d ) = ran ( ball ` D ) )
5	4	fveq2d 5565	. . 3 |- ( d = D -> ( topGen ` ran ( ball ` d ) ) = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )
6		xmetrel 14663	. . . . . . . 8 |- Rel *Met
7		relelfvdm 5593	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
8	6, 7	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
9	8	elexd 2776	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. _V )
10		fvssunirng 5576	. . . . . 6 |- ( X e. _V -> ( *Met ` X ) C_ U. ran *Met )
11	9, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( *Met ` X ) C_ U. ran *Met )
12	11	sseld 3183	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D e. ( *Met ` X ) -> D e. U. ran *Met ) )
13	12	pm2.43i 49	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D e. U. ran *Met )
14		blbas 14753	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ran ( ball ` D ) e. TopBases )
15		tgcl 14384	. . . 4 |- ( ran ( ball ` D ) e. TopBases -> ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) e. Top )
16	14, 15	syl 14	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) e. Top )
17	2, 5, 13, 16	fvmptd3 5658	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( MetOpen ` D ) = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )
18	1, 17	eqtrid 2241	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   U.cuni 3840   dom cdm 4664   ran crn 4665   Rel wrel 4669   ` cfv 5259   topGenctg 12956   *Metcxmet 14168   ballcbl 14170   MetOpencmopn 14173   Topctop 14317   TopBasesctb 14362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-map 6718  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-xneg 9864  df-xadd 9865  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-topgen 12962  df-psmet 14175  df-xmet 14176  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-top 14318  df-bases 14363

This theorem is referenced by:  mopntopon  14763  elmopn  14766  blssopn  14805  metss  14814  xmettxlem  14829  xmettx  14830  metcnp3  14831  tgioo  14874