Theorem blex 13181

Description: A ball is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 4-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
blex	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) e. _V )

Proof of Theorem blex

Dummy variables r x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blfval 13180	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) = ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) )
2		xmetrel 13137	. . . 4 |- Rel *Met
3		relelfvdm 5528	. . . 4 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
4	2, 3	mpan 422	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
5		xrex 9813	. . 3 |- RR* e. _V
6		mpoexga 6191	. . 3 |- ( ( X e. dom *Met /\ RR* e. _V ) -> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) e. _V )
7	4, 5, 6	sylancl 411	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) e. _V )
8	1, 7	eqeltrd 2247	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2141   {crab 2452   _Vcvv 2730   class class class wbr 3989   dom cdm 4611   Rel wrel 4616   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   e. cmpo 5855   RR*cxr 7953   < clt 7954   *Metcxmet 12774   ballcbl 12776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-bl 12784

This theorem is referenced by:  blbas  13227  metrest  13300  xmettxlem  13303  xmettx  13304  tgioo  13340