Theorem blex 14830

Description: A ball is a set. Also see blfn 14284 in case you just know D is a set, not D e. ( *Met ` X ). (Contributed by Jim Kingdon, 4-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
blex	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) e. _V )

Proof of Theorem blex

Dummy variables r x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blfval 14829	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) = ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) )
2		xmetrel 14786	. . . 4 |- Rel *Met
3		relelfvdm 5607	. . . 4 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
4	2, 3	mpan 424	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
5		xrex 9977	. . 3 |- RR* e. _V
6		mpoexga 6297	. . 3 |- ( ( X e. dom *Met /\ RR* e. _V ) -> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) e. _V )
7	4, 5, 6	sylancl 413	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) e. _V )
8	1, 7	eqeltrd 2281	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2175   {crab 2487   _Vcvv 2771   class class class wbr 4043   dom cdm 4674   Rel wrel 4679   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   e. cmpo 5945   RR*cxr 8105   < clt 8106   *Metcxmet 14269   ballcbl 14271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-map 6736  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-psmet 14276  df-xmet 14277  df-bl 14279

This theorem is referenced by:  blbas  14876  metrest  14949  xmettxlem  14952  xmettx  14953  tgioo  14997