Theorem blex 14566

Description: A ball is a set. Also see blfn 14050 in case you just know D is a set, not D e. ( *Met ` X ). (Contributed by Jim Kingdon, 4-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
blex	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) e. _V )

Proof of Theorem blex

Dummy variables r x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blfval 14565	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) = ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) )
2		xmetrel 14522	. . . 4 |- Rel *Met
3		relelfvdm 5587	. . . 4 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
4	2, 3	mpan 424	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
5		xrex 9925	. . 3 |- RR* e. _V
6		mpoexga 6267	. . 3 |- ( ( X e. dom *Met /\ RR* e. _V ) -> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) e. _V )
7	4, 5, 6	sylancl 413	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) e. _V )
8	1, 7	eqeltrd 2270	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   {crab 2476   _Vcvv 2760   class class class wbr 4030   dom cdm 4660   Rel wrel 4665   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   e. cmpo 5921   RR*cxr 8055   < clt 8056   *Metcxmet 14035   ballcbl 14037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-map 6706  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-bl 14045

This theorem is referenced by:  blbas  14612  metrest  14685  xmettxlem  14688  xmettx  14689  tgioo  14733