Theorem blex 14944

Description: A ball is a set. Also see blfn 14398 in case you just know D is a set, not D e. ( *Met ` X ). (Contributed by Jim Kingdon, 4-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
blex	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) e. _V )

Proof of Theorem blex

Dummy variables r x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blfval 14943	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) = ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) )
2		xmetrel 14900	. . . 4 |- Rel *Met
3		relelfvdm 5626	. . . 4 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
4	2, 3	mpan 424	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
5		xrex 10008	. . 3 |- RR* e. _V
6		mpoexga 6316	. . 3 |- ( ( X e. dom *Met /\ RR* e. _V ) -> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) e. _V )
7	4, 5, 6	sylancl 413	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) e. _V )
8	1, 7	eqeltrd 2283	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2177   {crab 2489   _Vcvv 2773   class class class wbr 4054   dom cdm 4688   Rel wrel 4693   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   e. cmpo 5964   RR*cxr 8136   < clt 8137   *Metcxmet 14383   ballcbl 14385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-map 6755  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-psmet 14390  df-xmet 14391  df-bl 14393

This theorem is referenced by:  blbas  14990  metrest  15063  xmettxlem  15066  xmettx  15067  tgioo  15111