ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blex Unicode version

Theorem blex 13758
Description: A ball is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 4-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
blex  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( ball `  D )  e. 
_V )

Proof of Theorem blex
Dummy variables  r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blfval 13757 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( ball `  D )  =  ( x  e.  X ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } ) )
2 xmetrel 13714 . . . 4  |-  Rel  *Met
3 relelfvdm 5546 . . . 4  |-  ( ( Rel  *Met  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  ->  X  e.  dom  *Met )
42, 3mpan 424 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
5 xrex 9852 . . 3  |-  RR*  e.  _V
6 mpoexga 6210 . . 3  |-  ( ( X  e.  dom  *Met  /\  RR*  e.  _V )  ->  ( x  e.  X ,  r  e. 
RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r } )  e. 
_V )
74, 5, 6sylancl 413 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
x  e.  X , 
r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } )  e.  _V )
81, 7eqeltrd 2254 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( ball `  D )  e. 
_V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 2148   {crab 2459   _Vcvv 2737   class class class wbr 4002   dom cdm 4625   Rel wrel 4630   ` cfv 5215  (class class class)co 5872    e. cmpo 5874   RR*cxr 7987    < clt 7988   *Metcxmet 13309   ballcbl 13311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6647  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-psmet 13316  df-xmet 13317  df-bl 13319
This theorem is referenced by:  blbas  13804  metrest  13877  xmettxlem  13880  xmettx  13881  tgioo  13917
  Copyright terms: Public domain W3C validator