ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ismet Unicode version
Theorem ismet 15368
Description: Express the predicate " D is a metric". (Contributed by NM, 25-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismet |- ( X e. A -> ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, z, D   x, X, y, z
Allowed substitution hints:   A( x, y, z)
Proof of Theorem ismet
Dummy variables d t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2833 . . . . 5 |- ( X e. A -> X e. _V )
2 fnmap 6919 . . . . . . . 8 |- ^m Fn ( _V X. _V )
3 reex 8303 . . . . . . . 8 |- RR e. _V
4 sqxpexg 4888 . . . . . . . 8 |- ( X e. _V -> ( X X. X ) e. _V )
5 fnovex 6108 . . . . . . . 8 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ RR e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( RR ^m ( X X. X ) ) e. _V )
62, 3, 4, 5mp3an12i 1382 . . . . . . 7 |- ( X e. _V -> ( RR ^m ( X X. X ) ) e. _V )
7 rabexg 4274 . . . . . . 7 |- ( ( RR ^m ( X X. X ) ) e. _V -> { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } e. _V )
86, 7syl 14 . . . . . 6 |- ( X e. _V -> { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } e. _V )
9 xpeq12 4788 . . . . . . . . . 10 |- ( ( t = X /\ t = X ) -> ( t X. t ) = ( X X. X ) )
109anidms 401 . . . . . . . . 9 |- ( t = X -> ( t X. t ) = ( X X. X ) )
1110oveq2d 6091 . . . . . . . 8 |- ( t = X -> ( RR ^m ( t X. t ) ) = ( RR ^m ( X X. X ) ) )
12 raleq 2749 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = X -> ( A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) <-> A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) )
1312anbi2d 468 . . . . . . . . . 10 |- ( t = X -> ( ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) <-> ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) ) )
1413raleqbi1dv 2761 . . . . . . . . 9 |- ( t = X -> ( A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) <-> A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) ) )
1514raleqbi1dv 2761 . . . . . . . 8 |- ( t = X -> ( A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) ) )
1611, 15rabeqbidv 2816 . . . . . . 7 |- ( t = X -> { d e. ( RR ^m ( t X. t ) ) | A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } = { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
17 df-met 14854 . . . . . . 7 |- Met = ( t e. _V |-> { d e. ( RR ^m ( t X. t ) ) | A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
1816, 17fvmptg 5775 . . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } e. _V ) -> ( Met ` X ) = { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
198, 18mpdan 425 . . . . 5 |- ( X e. _V -> ( Met ` X ) = { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
201, 19syl 14 . . . 4 |- ( X e. A -> ( Met ` X ) = { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
2120eleq2d 2308 . . 3 |- ( X e. A -> ( D e. ( Met ` X ) <-> D e. { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } ) )
22 oveq 6081 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( x d y ) = ( x D y ) )
2322eqeq1d 2247 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( x d y ) = 0 <-> ( x D y ) = 0 ) )
2423bibi1d 233 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) <-> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) ) )
25 oveq 6081 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d x ) = ( z D x ) )
26 oveq 6081 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d y ) = ( z D y ) )
2725, 26oveq12d 6093 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( ( z d x ) + ( z d y ) ) = ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
2822, 27breq12d 4138 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) <-> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) )
2928ralbidv 2550 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) <-> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) )
3024, 29anbi12d 477 . . . . 5 |- ( d = D -> ( ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) <-> ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) )
31302ralbidv 2574 . . . 4 |- ( d = D -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) )
3231elrab 2982 . . 3 |- ( D e. { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } <-> ( D e. ( RR ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) )
3321, 32bitrdi 196 . 2 |- ( X e. A -> ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D e. ( RR ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) ) )
34 sqxpexg 4888 . . . 4 |- ( X e. A -> ( X X. X ) e. _V )
35 elmapg 6925 . . . 4 |- ( ( RR e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( D e. ( RR ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR ) )
363, 34, 35sylancr 418 . . 3 |- ( X e. A -> ( D e. ( RR ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR ) )
3736anbi1d 469 . 2 |- ( X e. A -> ( ( D e. ( RR ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) ) )
3833, 37bitrd 188 1 |- ( X e. A -> ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   class class class wbr 4125   X. cxp 4767   Fn wfn 5367   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   ^m cmap 6912   RRcr 8168   0cc0 8169   + caddc 8172   <_ cle 8351   Metcmet 14846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-map 6914  df-met 14854
This theorem is referenced by:  ismeti  15370  metflem  15373  ismet2  15378
  Copyright terms: Public domain W3C validator