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Theorem ismet 12552
Description: Express the predicate " D is a metric." (Contributed by NM, 25-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismet  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, z, D    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem ismet
Dummy variables  d  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2700 . . . . 5  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  _V )
2 fnmap 6557 . . . . . . . 8  |-  ^m  Fn  ( _V  X.  _V )
3 reex 7778 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
4 sqxpexg 4663 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  _V  ->  ( X  X.  X )  e. 
_V )
5 fnovex 5812 . . . . . . . 8  |-  ( (  ^m  Fn  ( _V 
X.  _V )  /\  RR  e.  _V  /\  ( X  X.  X )  e. 
_V )  ->  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  e. 
_V )
62, 3, 4, 5mp3an12i 1320 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  e. 
_V )
7 rabexg 4079 . . . . . . 7  |-  ( ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  e.  _V  ->  { d  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X
) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x d y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  (
( z d x )  +  ( z d y ) ) ) }  e.  _V )
86, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( X  e.  _V  ->  { d  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X
) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x d y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  (
( z d x )  +  ( z d y ) ) ) }  e.  _V )
9 xpeq12 4566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  =  X  /\  t  =  X )  ->  ( t  X.  t
)  =  ( X  X.  X ) )
109anidms 395 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  X  ->  (
t  X.  t )  =  ( X  X.  X ) )
1110oveq2d 5798 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  ( RR  ^m  ( t  X.  t ) )  =  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) ) )
12 raleq 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  X  ->  ( A. z  e.  t 
( x d y )  <_  ( (
z d x )  +  ( z d y ) )  <->  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) )
1312anbi2d 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  X  ->  (
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  t  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) )  <->  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) ) )
1413raleqbi1dv 2637 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  X  ->  ( A. y  e.  t 
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  t  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) )  <->  A. y  e.  X  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) ) )
1514raleqbi1dv 2637 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  ( A. x  e.  t  A. y  e.  t 
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  t  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) ) )
1611, 15rabeqbidv 2684 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  { d  e.  ( RR  ^m  ( t  X.  t
) )  |  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( ( x d y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  t  ( x d y )  <_  (
( z d x )  +  ( z d y ) ) ) }  =  {
d  e.  ( RR 
^m  ( X  X.  X ) )  | 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) } )
17 df-met 12197 . . . . . . 7  |-  Met  =  ( t  e.  _V  |->  { d  e.  ( RR  ^m  ( t  X.  t ) )  |  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  t  (
x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) } )
1816, 17fvmptg 5505 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  { d  e.  ( RR 
^m  ( X  X.  X ) )  | 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) }  e.  _V )  ->  ( Met `  X )  =  {
d  e.  ( RR 
^m  ( X  X.  X ) )  | 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) } )
198, 18mpdan 418 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  ( Met `  X )  =  { d  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) } )
201, 19syl 14 . . . 4  |-  ( X  e.  A  ->  ( Met `  X )  =  { d  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) } )
2120eleq2d 2210 . . 3  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  D  e.  { d  e.  ( RR 
^m  ( X  X.  X ) )  | 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) } ) )
22 oveq 5788 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
x d y )  =  ( x D y ) )
2322eqeq1d 2149 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( x d y )  =  0  <->  (
x D y )  =  0 ) )
2423bibi1d 232 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( x d y )  =  0  <-> 
x  =  y )  <-> 
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) ) )
25 oveq 5788 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
z d x )  =  ( z D x ) )
26 oveq 5788 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
z d y )  =  ( z D y ) )
2725, 26oveq12d 5800 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( z d x )  +  ( z d y ) )  =  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
2822, 27breq12d 3950 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( x d y )  <_  ( (
z d x )  +  ( z d y ) )  <->  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
2928ralbidv 2438 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ( A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( (
z d x )  +  ( z d y ) )  <->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
3024, 29anbi12d 465 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) )  <->  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
31302ralbidv 2462 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
3231elrab 2844 . . 3  |-  ( D  e.  { d  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) }  <-> 
( D  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
3321, 32syl6bb 195 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
34 sqxpexg 4663 . . . 4  |-  ( X  e.  A  ->  ( X  X.  X )  e. 
_V )
35 elmapg 6563 . . . 4  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  ( X  X.  X
)  e.  _V )  ->  ( D  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  <-> 
D : ( X  X.  X ) --> RR ) )
363, 34, 35sylancr 411 . . 3  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X
) )  <->  D :
( X  X.  X
) --> RR ) )
3736anbi1d 461 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  (
( D  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )  <-> 
( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
3833, 37bitrd 187 1  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   {crab 2421   _Vcvv 2689   class class class wbr 3937    X. cxp 4545    Fn wfn 5126   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782    ^m cmap 6550   RRcr 7643   0cc0 7644    + caddc 7647    <_ cle 7825   Metcmet 12189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-map 6552  df-met 12197
This theorem is referenced by:  ismeti  12554  metflem  12557  ismet2  12562
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