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Theorem ismet 12885
Description: Express the predicate " D is a metric." (Contributed by NM, 25-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismet |- ( X e. A -> ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, z, D   x, X, y, z
Allowed substitution hints:   A( x, y, z)
Proof of Theorem ismet
Dummy variables d t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2732 . . . . 5 |- ( X e. A -> X e. _V )
2 fnmap 6612 . . . . . . . 8 |- ^m Fn ( _V X. _V )
3 reex 7878 . . . . . . . 8 |- RR e. _V
4 sqxpexg 4714 . . . . . . . 8 |- ( X e. _V -> ( X X. X ) e. _V )
5 fnovex 5866 . . . . . . . 8 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ RR e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( RR ^m ( X X. X ) ) e. _V )
62, 3, 4, 5mp3an12i 1330 . . . . . . 7 |- ( X e. _V -> ( RR ^m ( X X. X ) ) e. _V )
7 rabexg 4119 . . . . . . 7 |- ( ( RR ^m ( X X. X ) ) e. _V -> { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } e. _V )
86, 7syl 14 . . . . . 6 |- ( X e. _V -> { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } e. _V )
9 xpeq12 4617 . . . . . . . . . 10 |- ( ( t = X /\ t = X ) -> ( t X. t ) = ( X X. X ) )
109anidms 395 . . . . . . . . 9 |- ( t = X -> ( t X. t ) = ( X X. X ) )
1110oveq2d 5852 . . . . . . . 8 |- ( t = X -> ( RR ^m ( t X. t ) ) = ( RR ^m ( X X. X ) ) )
12 raleq 2659 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = X -> ( A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) <-> A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) )
1312anbi2d 460 . . . . . . . . . 10 |- ( t = X -> ( ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) <-> ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) ) )
1413raleqbi1dv 2667 . . . . . . . . 9 |- ( t = X -> ( A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) <-> A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) ) )
1514raleqbi1dv 2667 . . . . . . . 8 |- ( t = X -> ( A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) ) )
1611, 15rabeqbidv 2716 . . . . . . 7 |- ( t = X -> { d e. ( RR ^m ( t X. t ) ) | A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } = { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
17 df-met 12530 . . . . . . 7 |- Met = ( t e. _V |-> { d e. ( RR ^m ( t X. t ) ) | A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
1816, 17fvmptg 5556 . . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } e. _V ) -> ( Met ` X ) = { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
198, 18mpdan 418 . . . . 5 |- ( X e. _V -> ( Met ` X ) = { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
201, 19syl 14 . . . 4 |- ( X e. A -> ( Met ` X ) = { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
2120eleq2d 2234 . . 3 |- ( X e. A -> ( D e. ( Met ` X ) <-> D e. { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } ) )
22 oveq 5842 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( x d y ) = ( x D y ) )
2322eqeq1d 2173 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( x d y ) = 0 <-> ( x D y ) = 0 ) )
2423bibi1d 232 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) <-> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) ) )
25 oveq 5842 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d x ) = ( z D x ) )
26 oveq 5842 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d y ) = ( z D y ) )
2725, 26oveq12d 5854 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( ( z d x ) + ( z d y ) ) = ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
2822, 27breq12d 3989 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) <-> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) )
2928ralbidv 2464 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) <-> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) )
3024, 29anbi12d 465 . . . . 5 |- ( d = D -> ( ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) <-> ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) )
31302ralbidv 2488 . . . 4 |- ( d = D -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) )
3231elrab 2877 . . 3 |- ( D e. { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } <-> ( D e. ( RR ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) )
3321, 32bitrdi 195 . 2 |- ( X e. A -> ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D e. ( RR ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) ) )
34 sqxpexg 4714 . . . 4 |- ( X e. A -> ( X X. X ) e. _V )
35 elmapg 6618 . . . 4 |- ( ( RR e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( D e. ( RR ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR ) )
363, 34, 35sylancr 411 . . 3 |- ( X e. A -> ( D e. ( RR ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR ) )
3736anbi1d 461 . 2 |- ( X e. A -> ( ( D e. ( RR ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) ) )
3833, 37bitrd 187 1 |- ( X e. A -> ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1342   e. wcel 2135   A.wral 2442   {crab 2446   _Vcvv 2721   class class class wbr 3976   X. cxp 4596   Fn wfn 5177   -->wf 5178   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   ^m cmap 6605   RRcr 7743   0cc0 7744   + caddc 7747   <_ cle 7925   Metcmet 12522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-map 6607  df-met 12530
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