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Theorem ismet 14523
Description: Express the predicate " D is a metric". (Contributed by NM, 25-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismet |- ( X e. A -> ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, z, D   x, X, y, z
Allowed substitution hints:   A( x, y, z)
Proof of Theorem ismet
Dummy variables d t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2771 . . . . 5 |- ( X e. A -> X e. _V )
2 fnmap 6711 . . . . . . . 8 |- ^m Fn ( _V X. _V )
3 reex 8008 . . . . . . . 8 |- RR e. _V
4 sqxpexg 4776 . . . . . . . 8 |- ( X e. _V -> ( X X. X ) e. _V )
5 fnovex 5952 . . . . . . . 8 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ RR e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( RR ^m ( X X. X ) ) e. _V )
62, 3, 4, 5mp3an12i 1352 . . . . . . 7 |- ( X e. _V -> ( RR ^m ( X X. X ) ) e. _V )
7 rabexg 4173 . . . . . . 7 |- ( ( RR ^m ( X X. X ) ) e. _V -> { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } e. _V )
86, 7syl 14 . . . . . 6 |- ( X e. _V -> { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } e. _V )
9 xpeq12 4679 . . . . . . . . . 10 |- ( ( t = X /\ t = X ) -> ( t X. t ) = ( X X. X ) )
109anidms 397 . . . . . . . . 9 |- ( t = X -> ( t X. t ) = ( X X. X ) )
1110oveq2d 5935 . . . . . . . 8 |- ( t = X -> ( RR ^m ( t X. t ) ) = ( RR ^m ( X X. X ) ) )
12 raleq 2690 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = X -> ( A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) <-> A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) )
1312anbi2d 464 . . . . . . . . . 10 |- ( t = X -> ( ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) <-> ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) ) )
1413raleqbi1dv 2702 . . . . . . . . 9 |- ( t = X -> ( A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) <-> A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) ) )
1514raleqbi1dv 2702 . . . . . . . 8 |- ( t = X -> ( A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) ) )
1611, 15rabeqbidv 2755 . . . . . . 7 |- ( t = X -> { d e. ( RR ^m ( t X. t ) ) | A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } = { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
17 df-met 14044 . . . . . . 7 |- Met = ( t e. _V |-> { d e. ( RR ^m ( t X. t ) ) | A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
1816, 17fvmptg 5634 . . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } e. _V ) -> ( Met ` X ) = { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
198, 18mpdan 421 . . . . 5 |- ( X e. _V -> ( Met ` X ) = { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
201, 19syl 14 . . . 4 |- ( X e. A -> ( Met ` X ) = { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
2120eleq2d 2263 . . 3 |- ( X e. A -> ( D e. ( Met ` X ) <-> D e. { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } ) )
22 oveq 5925 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( x d y ) = ( x D y ) )
2322eqeq1d 2202 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( x d y ) = 0 <-> ( x D y ) = 0 ) )
2423bibi1d 233 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) <-> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) ) )
25 oveq 5925 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d x ) = ( z D x ) )
26 oveq 5925 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d y ) = ( z D y ) )
2725, 26oveq12d 5937 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( ( z d x ) + ( z d y ) ) = ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
2822, 27breq12d 4043 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) <-> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) )
2928ralbidv 2494 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) <-> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) )
3024, 29anbi12d 473 . . . . 5 |- ( d = D -> ( ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) <-> ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) )
31302ralbidv 2518 . . . 4 |- ( d = D -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) )
3231elrab 2917 . . 3 |- ( D e. { d e. ( RR ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } <-> ( D e. ( RR ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) )
3321, 32bitrdi 196 . 2 |- ( X e. A -> ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D e. ( RR ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) ) )
34 sqxpexg 4776 . . . 4 |- ( X e. A -> ( X X. X ) e. _V )
35 elmapg 6717 . . . 4 |- ( ( RR e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( D e. ( RR ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR ) )
363, 34, 35sylancr 414 . . 3 |- ( X e. A -> ( D e. ( RR ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR ) )
3736anbi1d 465 . 2 |- ( X e. A -> ( ( D e. ( RR ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) ) )
3833, 37bitrd 188 1 |- ( X e. A -> ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   {crab 2476   _Vcvv 2760   class class class wbr 4030   X. cxp 4658   Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   ^m cmap 6704   RRcr 7873   0cc0 7874   + caddc 7877   <_ cle 8057   Metcmet 14036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-map 6706  df-met 14044
This theorem is referenced by:  ismeti  14525  metflem  14528  ismet2  14533
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