Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ismet Unicode version

Theorem ismet 12552
 Description: Express the predicate " is a metric." (Contributed by NM, 25-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismet
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem ismet
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2700 . . . . 5
2 fnmap 6557 . . . . . . . 8
3 reex 7778 . . . . . . . 8
4 sqxpexg 4663 . . . . . . . 8
5 fnovex 5812 . . . . . . . 8
62, 3, 4, 5mp3an12i 1320 . . . . . . 7
7 rabexg 4079 . . . . . . 7
86, 7syl 14 . . . . . 6
9 xpeq12 4566 . . . . . . . . . 10
109anidms 395 . . . . . . . . 9
1110oveq2d 5798 . . . . . . . 8
12 raleq 2629 . . . . . . . . . . 11
1312anbi2d 460 . . . . . . . . . 10
1413raleqbi1dv 2637 . . . . . . . . 9
1514raleqbi1dv 2637 . . . . . . . 8
1611, 15rabeqbidv 2684 . . . . . . 7
17 df-met 12197 . . . . . . 7
1816, 17fvmptg 5505 . . . . . 6
198, 18mpdan 418 . . . . 5
201, 19syl 14 . . . 4
2120eleq2d 2210 . . 3
22 oveq 5788 . . . . . . . 8
2322eqeq1d 2149 . . . . . . 7
2423bibi1d 232 . . . . . 6
25 oveq 5788 . . . . . . . . 9
26 oveq 5788 . . . . . . . . 9
2725, 26oveq12d 5800 . . . . . . . 8
2822, 27breq12d 3950 . . . . . . 7
2928ralbidv 2438 . . . . . 6
3024, 29anbi12d 465 . . . . 5
31302ralbidv 2462 . . . 4
3231elrab 2844 . . 3
3321, 32syl6bb 195 . 2
34 sqxpexg 4663 . . . 4
35 elmapg 6563 . . . 4
363, 34, 35sylancr 411 . . 3
3736anbi1d 461 . 2
3833, 37bitrd 187 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1332   wcel 1481  wral 2417  crab 2421  cvv 2689   class class class wbr 3937   cxp 4545   wfn 5126  wf 5127  cfv 5131  (class class class)co 5782   cmap 6550  cr 7643  cc0 7644   caddc 7647   cle 7825  cmet 12189 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-map 6552  df-met 12197 This theorem is referenced by:  ismeti  12554  metflem  12557  ismet2  12562
 Copyright terms: Public domain W3C validator