ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmetrel GIF version

Theorem xmetrel 13846
Description: The class of extended metrics is a relation. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
xmetrel Rel ∞Met

Proof of Theorem xmetrel
Dummy variables 𝑒 𝑑 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptrel 4756 . 2 Rel (𝑒 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ* β†‘π‘š (𝑒 Γ— 𝑒)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑒 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))})
2 df-xmet 13451 . . 3 ∞Met = (𝑒 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ* β†‘π‘š (𝑒 Γ— 𝑒)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑒 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))})
32releqi 4710 . 2 (Rel ∞Met ↔ Rel (𝑒 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ* β†‘π‘š (𝑒 Γ— 𝑒)) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑒 (((π‘₯𝑑𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 (π‘₯𝑑𝑦) ≀ ((𝑧𝑑π‘₯) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))}))
41, 3mpbir 146 1 Rel ∞Met
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353  βˆ€wral 2455  {crab 2459  Vcvv 2738   class class class wbr 4004   ↦ cmpt 4065   Γ— cxp 4625  Rel wrel 4632  (class class class)co 5875   β†‘π‘š cmap 6648  0cc0 7811  β„*cxr 7991   ≀ cle 7993   +𝑒 cxad 9770  βˆžMetcxmet 13443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-xp 4633  df-rel 4634  df-xmet 13451
This theorem is referenced by:  ismet2  13857  xmeteq0  13862  xmettri2  13864  xmetpsmet  13872  xmetres2  13882  blex  13890  blval  13892  blf  13913  mopnval  13945  comet  14002
  Copyright terms: Public domain W3C validator