Theorem xmetrel 14885

Description: The class of extended metrics is a relation. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xmetrel	⊢ Rel ∞Met

Proof of Theorem xmetrel

Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptrel 4813	. 2 ⊢ Rel (𝑒 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ* ↑𝑚 (𝑒 × 𝑒)) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑒 ∀𝑦 ∈ 𝑒 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑒 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))})
2		df-xmet 14376	. . 3 ⊢ ∞Met = (𝑒 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ* ↑𝑚 (𝑒 × 𝑒)) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑒 ∀𝑦 ∈ 𝑒 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑒 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))})
3	2	releqi 4765	. 2 ⊢ (Rel ∞Met ↔ Rel (𝑒 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ* ↑𝑚 (𝑒 × 𝑒)) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑒 ∀𝑦 ∈ 𝑒 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑒 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))}))
4	1, 3	mpbir 146	1 ⊢ Rel ∞Met

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373  ∀wral 2485  {crab 2489  Vcvv 2773   class class class wbr 4050   ↦ cmpt 4112   × cxp 4680  Rel wrel 4687  (class class class)co 5956   ↑_𝑚 cmap 6747  0cc0 7940  ℝ^*cxr 8121   ≤ cle 8123   +_𝑒 cxad 9907  ∞Metcxmet 14368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-xp 4688  df-rel 4689  df-xmet 14376

This theorem is referenced by:  ismet2  14896  xmeteq0  14901  xmettri2  14903  xmetpsmet  14911  xmetres2  14921  blex  14929  blval  14931  blf  14952  mopnval  14984  comet  15041