Theorem xmetrel 15134

Description: The class of extended metrics is a relation. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xmetrel	⊢ Rel ∞Met

Proof of Theorem xmetrel

Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptrel 4864	. 2 ⊢ Rel (𝑒 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ* ↑𝑚 (𝑒 × 𝑒)) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑒 ∀𝑦 ∈ 𝑒 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑒 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))})
2		df-xmet 14620	. . 3 ⊢ ∞Met = (𝑒 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ* ↑𝑚 (𝑒 × 𝑒)) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑒 ∀𝑦 ∈ 𝑒 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑒 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))})
3	2	releqi 4815	. 2 ⊢ (Rel ∞Met ↔ Rel (𝑒 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ* ↑𝑚 (𝑒 × 𝑒)) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑒 ∀𝑦 ∈ 𝑒 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑒 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) +𝑒 (𝑧𝑑𝑦)))}))
4	1, 3	mpbir 146	1 ⊢ Rel ∞Met

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∀wral 2511  {crab 2515  Vcvv 2803   class class class wbr 4093   ↦ cmpt 4155   × cxp 4729  Rel wrel 4736  (class class class)co 6028   ↑_𝑚 cmap 6860  0cc0 8075  ℝ^*cxr 8256   ≤ cle 8258   +_𝑒 cxad 10048  ∞Metcxmet 14612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-xp 4737  df-rel 4738  df-xmet 14620

This theorem is referenced by:  ismet2  15145  xmeteq0  15150  xmettri2  15152  xmetpsmet  15160  xmetres2  15170  blex  15178  blval  15180  blf  15201  mopnval  15233  comet  15290