Theorem blf 14362

Description: Mapping of a ball. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
blf	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) : ( X X. RR* ) --> ~P X )

Proof of Theorem blf

Dummy variables x r y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3255	. . . . . 6 |- { y e. X | ( x D y ) < r } C_ X
2		xmetrel 14295	. . . . . . . 8 |- Rel *Met
3		relelfvdm 5566	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
4	2, 3	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
5		elpw2g 4174	. . . . . . 7 |- ( X e. dom *Met -> ( { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X <-> { y e. X | ( x D y ) < r } C_ X ) )
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X <-> { y e. X | ( x D y ) < r } C_ X ) )
7	1, 6	mpbiri 168	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X )
8	7	a1d 22	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ( x e. X /\ r e. RR* ) -> { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X ) )
9	8	ralrimivv 2571	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> A. x e. X A. r e. RR* { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X )
10		eqid 2189	. . . 4 |- ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) = ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } )
11	10	fmpo 6225	. . 3 |- ( A. x e. X A. r e. RR* { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X <-> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) : ( X X. RR* ) --> ~P X )
12	9, 11	sylib 122	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) : ( X X. RR* ) --> ~P X )
13		blfval 14338	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) = ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) )
14	13	feq1d 5371	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ( ball ` D ) : ( X X. RR* ) --> ~P X <-> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) : ( X X. RR* ) --> ~P X ) )
15	12, 14	mpbird 167	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) : ( X X. RR* ) --> ~P X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2160   A.wral 2468   {crab 2472   C_ wss 3144   ~Pcpw 3590   class class class wbr 4018   X. cxp 4642   dom cdm 4644   Rel wrel 4649   -->wf 5231   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   e. cmpo 5897   RR*cxr 8020   < clt 8021   *Metcxmet 13846   ballcbl 13848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-map 6675  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-psmet 13853  df-xmet 13854  df-bl 13856

This theorem is referenced by:  blrn  14364  blelrn  14372  blssm  14373  unirnbl  14375  blin2  14384  xmettx  14462