Theorem blf 14589

Description: Mapping of a ball. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
blf	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) : ( X X. RR* ) --> ~P X )

Proof of Theorem blf

Dummy variables x r y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3265	. . . . . 6 |- { y e. X | ( x D y ) < r } C_ X
2		xmetrel 14522	. . . . . . . 8 |- Rel *Met
3		relelfvdm 5587	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
4	2, 3	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
5		elpw2g 4186	. . . . . . 7 |- ( X e. dom *Met -> ( { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X <-> { y e. X | ( x D y ) < r } C_ X ) )
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X <-> { y e. X | ( x D y ) < r } C_ X ) )
7	1, 6	mpbiri 168	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X )
8	7	a1d 22	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ( x e. X /\ r e. RR* ) -> { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X ) )
9	8	ralrimivv 2575	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> A. x e. X A. r e. RR* { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X )
10		eqid 2193	. . . 4 |- ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) = ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } )
11	10	fmpo 6256	. . 3 |- ( A. x e. X A. r e. RR* { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X <-> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) : ( X X. RR* ) --> ~P X )
12	9, 11	sylib 122	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) : ( X X. RR* ) --> ~P X )
13		blfval 14565	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) = ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) )
14	13	feq1d 5391	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ( ball ` D ) : ( X X. RR* ) --> ~P X <-> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) : ( X X. RR* ) --> ~P X ) )
15	12, 14	mpbird 167	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) : ( X X. RR* ) --> ~P X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   A.wral 2472   {crab 2476   C_ wss 3154   ~Pcpw 3602   class class class wbr 4030   X. cxp 4658   dom cdm 4660   Rel wrel 4665   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   e. cmpo 5921   RR*cxr 8055   < clt 8056   *Metcxmet 14035   ballcbl 14037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-map 6706  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-bl 14045

This theorem is referenced by:  blrn  14591  blelrn  14599  blssm  14600  unirnbl  14602  blin2  14611  xmettx  14689