Theorem blf 13913

Description: Mapping of a ball. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
blf	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) : ( X X. RR* ) --> ~P X )

Proof of Theorem blf

Dummy variables x r y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3241	. . . . . 6 |- { y e. X | ( x D y ) < r } C_ X
2		xmetrel 13846	. . . . . . . 8 |- Rel *Met
3		relelfvdm 5548	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
4	2, 3	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
5		elpw2g 4157	. . . . . . 7 |- ( X e. dom *Met -> ( { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X <-> { y e. X | ( x D y ) < r } C_ X ) )
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X <-> { y e. X | ( x D y ) < r } C_ X ) )
7	1, 6	mpbiri 168	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X )
8	7	a1d 22	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ( x e. X /\ r e. RR* ) -> { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X ) )
9	8	ralrimivv 2558	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> A. x e. X A. r e. RR* { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X )
10		eqid 2177	. . . 4 |- ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) = ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } )
11	10	fmpo 6202	. . 3 |- ( A. x e. X A. r e. RR* { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X <-> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) : ( X X. RR* ) --> ~P X )
12	9, 11	sylib 122	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) : ( X X. RR* ) --> ~P X )
13		blfval 13889	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) = ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) )
14	13	feq1d 5353	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ( ball ` D ) : ( X X. RR* ) --> ~P X <-> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) : ( X X. RR* ) --> ~P X ) )
15	12, 14	mpbird 167	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) : ( X X. RR* ) --> ~P X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   C_ wss 3130   ~Pcpw 3576   class class class wbr 4004   X. cxp 4625   dom cdm 4627   Rel wrel 4632   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   e. cmpo 5877   RR*cxr 7991   < clt 7992   *Metcxmet 13443   ballcbl 13445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-map 6650  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-bl 13453

This theorem is referenced by:  blrn  13915  blelrn  13923  blssm  13924  unirnbl  13926  blin2  13935  xmettx  14013