ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmetpsmet Unicode version

Theorem xmetpsmet 13502
Description: An extended metric is a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
xmetpsmet  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)

Proof of Theorem xmetpsmet
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetf 13483 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
2 xmet0 13496 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x D x )  =  0 )
3 3anrot 983 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)
4 xmettri2 13494 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) )
53, 4sylan2br 288 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) )
653anassrs 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X )  ->  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
76ralrimiva 2550 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) +e
( z D y ) ) )
87ralrimiva 2550 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) +e
( z D y ) ) )
92, 8jca 306 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
x D x )  =  0  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
109ralrimiva 2550 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  A. x  e.  X  ( (
x D x )  =  0  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
11 xmetrel 13476 . . . 4  |-  Rel  *Met
12 relelfvdm 5542 . . . . 5  |-  ( ( Rel  *Met  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  ->  X  e.  dom  *Met )
1312elexd 2750 . . . 4  |-  ( ( Rel  *Met  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  ->  X  e.  _V )
1411, 13mpan 424 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  _V )
15 ispsmet 13456 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  (PsMet `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  ( (
x D x )  =  0  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
1614, 15syl 14 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  e.  (PsMet `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  ( (
x D x )  =  0  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
171, 10, 16mpbir2and 944 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2737   class class class wbr 4000    X. cxp 4620   dom cdm 4622   Rel wrel 4627   -->wf 5207   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   0cc0 7789   RR*cxr 7968    <_ cle 7970   +ecxad 9744  PsMetcpsmet 13112   *Metcxmet 13113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-map 6643  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-psmet 13120  df-xmet 13121
This theorem is referenced by:  blfval  13519
  Copyright terms: Public domain W3C validator