Theorem xmetpsmet 15180

Description: An extended metric is a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xmetpsmet	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> D e. (PsMet ` X ) )

Proof of Theorem xmetpsmet

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 15161	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2		xmet0 15174	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> ( x D x ) = 0 )
3		3anrot 1010	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) <-> ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) )
4		xmettri2 15172	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
5	3, 4	sylan2br 288	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
6	5	3anassrs 1256	. . . . . 6 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
7	6	ralrimiva 2606	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
8	7	ralrimiva 2606	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
9	2, 8	jca 306	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
10	9	ralrimiva 2606	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
11		xmetrel 15154	. . . 4 |- Rel *Met
12		relelfvdm 5680	. . . . 5 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
13	12	elexd 2817	. . . 4 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. _V )
14	11, 13	mpan 424	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. _V )
15		ispsmet 15134	. . 3 |- ( X e. _V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
17	1, 10, 16	mpbir2and 953	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D e. (PsMet ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   _Vcvv 2803   class class class wbr 4093   X. cxp 4729   dom cdm 4731   Rel wrel 4736   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   0cc0 8092   RR*cxr 8272   <_ cle 8274   +ecxad 10066  PsMetcpsmet 14631   *Metcxmet 14632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6862  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-psmet 14639  df-xmet 14640

This theorem is referenced by:  blfval  15197