Theorem xmetpsmet 14548

Description: An extended metric is a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xmetpsmet	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> D e. (PsMet ` X ) )

Proof of Theorem xmetpsmet

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 14529	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2		xmet0 14542	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> ( x D x ) = 0 )
3		3anrot 985	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) <-> ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) )
4		xmettri2 14540	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
5	3, 4	sylan2br 288	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
6	5	3anassrs 1231	. . . . . 6 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
7	6	ralrimiva 2567	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
8	7	ralrimiva 2567	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
9	2, 8	jca 306	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
10	9	ralrimiva 2567	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
11		xmetrel 14522	. . . 4 |- Rel *Met
12		relelfvdm 5587	. . . . 5 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
13	12	elexd 2773	. . . 4 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. _V )
14	11, 13	mpan 424	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. _V )
15		ispsmet 14502	. . 3 |- ( X e. _V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
17	1, 10, 16	mpbir2and 946	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D e. (PsMet ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   class class class wbr 4030   X. cxp 4658   dom cdm 4660   Rel wrel 4665   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   0cc0 7874   RR*cxr 8055   <_ cle 8057   +ecxad 9839  PsMetcpsmet 14034   *Metcxmet 14035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-map 6706  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-psmet 14042  df-xmet 14043

This theorem is referenced by:  blfval  14565