Theorem xmetpsmet 12352

Description: An extended metric is a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xmetpsmet	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> D e. (PsMet ` X ) )

Proof of Theorem xmetpsmet

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 12333	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2		xmet0 12346	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> ( x D x ) = 0 )
3		3anrot 948	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) <-> ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) )
4		xmettri2 12344	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
5	3, 4	sylan2br 284	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
6	5	3anassrs 1188	. . . . . 6 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
7	6	ralrimiva 2477	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
8	7	ralrimiva 2477	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
9	2, 8	jca 302	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) -> ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
10	9	ralrimiva 2477	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
11		xmetrel 12326	. . . 4 |- Rel *Met
12		relelfvdm 5405	. . . . 5 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
13	12	elexd 2668	. . . 4 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. _V )
14	11, 13	mpan 418	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. _V )
15		ispsmet 12306	. . 3 |- ( X e. _V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
17	1, 10, 16	mpbir2and 909	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D e. (PsMet ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 943   = wceq 1312   e. wcel 1461   A.wral 2388   _Vcvv 2655   class class class wbr 3893   X. cxp 4495   dom cdm 4497   Rel wrel 4502   -->wf 5075   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   0cc0 7541   RR*cxr 7717   <_ cle 7719   +ecxad 9444  PsMetcpsmet 11985   *Metcxmet 11986

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-map 6496  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-psmet 11993  df-xmet 11994

This theorem is referenced by:  blfval  12369