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Theorem comet 12705
Description: The composition of an extended metric with a monotonic subadditive function is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
comet.1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
comet.2  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
comet.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  0 ) )
comet.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) ) )
comet.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( F `  ( x +e y ) )  <_  ( ( F `  x ) +e ( F `
 y ) ) )
Assertion
Ref Expression
comet  |-  ( ph  ->  ( F  o.  D
)  e.  ( *Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y, D   
x, F, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    X( x, y)

Proof of Theorem comet
Dummy variables  a  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetrel 12549 . . . 4  |-  Rel  *Met
2 comet.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
3 relelfvdm 5460 . . . 4  |-  ( ( Rel  *Met  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  ->  X  e.  dom  *Met )
41, 2, 3sylancr 411 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  dom  *Met )
54elexd 2702 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
6 comet.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
7 xmetf 12556 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
82, 7syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
98ffnd 5280 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( X  X.  X ) )
10 xmetcl 12558 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( a D b )  e. 
RR* )
11 xmetge0 12571 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  0  <_  ( a D b ) )
12 elxrge0 9790 . . . . . . . 8  |-  ( ( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( a D b )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( a D b ) ) )
1310, 11, 12sylanbrc 414 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
14133expb 1183 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
152, 14sylan 281 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1615ralrimivva 2517 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
17 ffnov 5882 . . . 4  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] +oo )  <->  ( D  Fn  ( X  X.  X
)  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
189, 16, 17sylanbrc 414 . . 3  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] +oo )
)
19 fco 5295 . . 3  |-  ( ( F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* 
/\  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( F  o.  D ) : ( X  X.  X ) --> RR* )
206, 18, 19syl2anc 409 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  D
) : ( X  X.  X ) --> RR* )
21 opelxpi 4578 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  -> 
<. a ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
22 fvco3 5499 . . . . . 6  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  <. a ,  b
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. a ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. a ,  b >. )
) )
238, 21, 22syl2an 287 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. a ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. a ,  b >. )
) )
24 df-ov 5784 . . . . 5  |-  ( a ( F  o.  D
) b )  =  ( ( F  o.  D ) `  <. a ,  b >. )
25 df-ov 5784 . . . . . 6  |-  ( a D b )  =  ( D `  <. a ,  b >. )
2625fveq2i 5431 . . . . 5  |-  ( F `
 ( a D b ) )  =  ( F `  ( D `  <. a ,  b >. ) )
2723, 24, 263eqtr4g 2198 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  D ) b )  =  ( F `
 ( a D b ) ) )
2827eqeq1d 2149 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a ( F  o.  D ) b )  =  0  <-> 
( F `  (
a D b ) )  =  0 ) )
29 fveq2 5428 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( a D b ) ) )
3029eqeq1d 2149 . . . . 5  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  ( F `  ( a D b ) )  =  0 ) )
31 eqeq1 2147 . . . . 5  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
x  =  0  <->  (
a D b )  =  0 ) )
3230, 31bibi12d 234 . . . 4  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  0 )  <-> 
( ( F `  ( a D b ) )  =  0  <-> 
( a D b )  =  0 ) ) )
33 comet.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  0 ) )
3433ralrimiva 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,] +oo )
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  0 ) )
3534adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  ->  A. x  e.  (
0 [,] +oo )
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  0 ) )
3632, 35, 15rspcdva 2797 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( a D b ) )  =  0  <-> 
( a D b )  =  0 ) )
37 xmeteq0 12565 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( (
a D b )  =  0  <->  a  =  b ) )
38373expb 1183 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a D b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
392, 38sylan 281 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a D b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
4028, 36, 393bitrd 213 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a ( F  o.  D ) b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
416adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
42153adantr3 1143 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4341, 42ffvelrnd 5563 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a D b ) )  e.  RR* )
4418adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] +oo ) )
45 simpr3 990 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
c  e.  X )
46 simpr1 988 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
a  e.  X )
4744, 45, 46fovrnd 5922 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c D a )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
48 simpr2 989 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
b  e.  X )
4944, 45, 48fovrnd 5922 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
50 ge0xaddcl 9795 . . . . . 6  |-  ( ( ( c D a )  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( c D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( ( c D a ) +e ( c D b ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5147, 49, 50syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( c D a ) +e
( c D b ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
5241, 51ffvelrnd 5563 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( c D a ) +e ( c D b ) ) )  e.  RR* )
5341, 47ffvelrnd 5563 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
c D a ) )  e.  RR* )
5441, 49ffvelrnd 5563 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
c D b ) )  e.  RR* )
5553, 54xaddcld 9696 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( c D a ) ) +e
( F `  (
c D b ) ) )  e.  RR* )
56 3anrot 968 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )  <->  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X )
)
57 xmettri2 12567 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( c  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) )
5856, 57sylan2br 286 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) )
592, 58sylan 281 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) )
60 comet.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) ) )
6160ralrimivva 2517 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( x  <_  y  ->  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) ) )
6261adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  A. x  e.  (
0 [,] +oo ) A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( x  <_  y  ->  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) ) )
63 breq1 3939 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
x  <_  y  <->  ( a D b )  <_ 
y ) )
6429breq1d 3946 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  y )  <->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y )
) )
6563, 64imbi12d 233 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( x  <_  y  ->  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  <->  ( (
a D b )  <_  y  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y ) ) ) )
66 breq2 3940 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( c D a ) +e ( c D b ) )  -> 
( ( a D b )  <_  y  <->  ( a D b )  <_  ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
67 fveq2 5428 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( c D a ) +e ( c D b ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
6867breq2d 3948 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( c D a ) +e ( c D b ) )  -> 
( ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y )  <->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) +e
( c D b ) ) ) ) )
6966, 68imbi12d 233 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( c D a ) +e ( c D b ) )  -> 
( ( ( a D b )  <_ 
y  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y )
)  <->  ( ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) +e
( c D b ) )  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) +e
( c D b ) ) ) ) ) )
7065, 69rspc2va 2806 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( ( c D a ) +e
( c D b ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( x  <_  y  ->  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) +e
( c D b ) )  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) +e
( c D b ) ) ) ) )
7142, 51, 62, 70syl21anc 1216 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( a D b )  <_  (
( c D a ) +e ( c D b ) )  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
7259, 71mpd 13 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) +e
( c D b ) ) ) )
73 comet.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( F `  ( x +e y ) )  <_  ( ( F `  x ) +e ( F `
 y ) ) )
7473ralrimivva 2517 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( F `  (
x +e y ) )  <_  (
( F `  x
) +e ( F `  y ) ) )
7574adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  A. x  e.  (
0 [,] +oo ) A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( F `  (
x +e y ) )  <_  (
( F `  x
) +e ( F `  y ) ) )
76 fvoveq1 5804 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  ( F `  ( x +e y ) )  =  ( F `
 ( ( c D a ) +e y ) ) )
77 fveq2 5428 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( c D a ) ) )
7877oveq1d 5796 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  (
( F `  x
) +e ( F `  y ) )  =  ( ( F `  ( c D a ) ) +e ( F `
 y ) ) )
7976, 78breq12d 3949 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  (
( F `  (
x +e y ) )  <_  (
( F `  x
) +e ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( ( c D a ) +e
y ) )  <_ 
( ( F `  ( c D a ) ) +e
( F `  y
) ) ) )
80 oveq2 5789 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  (
( c D a ) +e y )  =  ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
8180fveq2d 5432 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  ( F `  ( (
c D a ) +e y ) )  =  ( F `
 ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
82 fveq2 5428 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( c D b ) ) )
8382oveq2d 5797 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  (
( F `  (
c D a ) ) +e ( F `  y ) )  =  ( ( F `  ( c D a ) ) +e ( F `
 ( c D b ) ) ) )
8481, 83breq12d 3949 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  (
( F `  (
( c D a ) +e y ) )  <_  (
( F `  (
c D a ) ) +e ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( ( c D a ) +e
( c D b ) ) )  <_ 
( ( F `  ( c D a ) ) +e
( F `  (
c D b ) ) ) ) )
8579, 84rspc2va 2806 . . . . 5  |-  ( ( ( ( c D a )  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( c D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( F `  (
x +e y ) )  <_  (
( F `  x
) +e ( F `  y ) ) )  ->  ( F `  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) )  <_  ( ( F `  ( c D a ) ) +e ( F `
 ( c D b ) ) ) )
8647, 49, 75, 85syl21anc 1216 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( c D a ) +e ( c D b ) ) )  <_  (
( F `  (
c D a ) ) +e ( F `  ( c D b ) ) ) )
8743, 52, 55, 72, 86xrletrd 9624 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a D b ) )  <_  ( ( F `  ( c D a ) ) +e ( F `
 ( c D b ) ) ) )
88273adantr3 1143 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  D ) b )  =  ( F `
 ( a D b ) ) )
898adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
9045, 46opelxpd 4579 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  <. c ,  a >.  e.  ( X  X.  X
) )
91 fvco3 5499 . . . . . 6  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  <. c ,  a
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  a >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  a >. )
) )
9289, 90, 91syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  a >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  a >. )
) )
93 df-ov 5784 . . . . 5  |-  ( c ( F  o.  D
) a )  =  ( ( F  o.  D ) `  <. c ,  a >. )
94 df-ov 5784 . . . . . 6  |-  ( c D a )  =  ( D `  <. c ,  a >. )
9594fveq2i 5431 . . . . 5  |-  ( F `
 ( c D a ) )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  a >. ) )
9692, 93, 953eqtr4g 2198 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c ( F  o.  D ) a )  =  ( F `
 ( c D a ) ) )
9745, 48opelxpd 4579 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  <. c ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
98 fvco3 5499 . . . . . 6  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  <. c ,  b
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  b >. )
) )
9989, 97, 98syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  b >. )
) )
100 df-ov 5784 . . . . 5  |-  ( c ( F  o.  D
) b )  =  ( ( F  o.  D ) `  <. c ,  b >. )
101 df-ov 5784 . . . . . 6  |-  ( c D b )  =  ( D `  <. c ,  b >. )
102101fveq2i 5431 . . . . 5  |-  ( F `
 ( c D b ) )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  b >. ) )
10399, 100, 1023eqtr4g 2198 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c ( F  o.  D ) b )  =  ( F `
 ( c D b ) ) )
10496, 103oveq12d 5799 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( c ( F  o.  D ) a ) +e
( c ( F  o.  D ) b ) )  =  ( ( F `  (
c D a ) ) +e ( F `  ( c D b ) ) ) )
10587, 88, 1043brtr4d 3967 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  D ) b )  <_  ( (
c ( F  o.  D ) a ) +e ( c ( F  o.  D
) b ) ) )
1065, 20, 40, 105isxmetd 12553 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  D
)  e.  ( *Met `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   <.cop 3534   class class class wbr 3936    X. cxp 4544   dom cdm 4546    o. ccom 4550   Rel wrel 4551    Fn wfn 5125   -->wf 5126   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   0cc0 7643   +oocpnf 7820   RR*cxr 7822    <_ cle 7824   +ecxad 9586   [,]cicc 9703   *Metcxmet 12186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-map 6551  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-2 8802  df-xadd 9589  df-icc 9707  df-xmet 12194
This theorem is referenced by:  bdxmet  12707
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