Theorem comet 15167

Description: The composition of an extended metric with a monotonic subadditive function is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
comet.1	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
comet.2	|- ( ph -> F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
comet.3	|- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( F ` x ) = 0 <-> x = 0 ) )
comet.4	|- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,] +oo ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( x <_ y -> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) )
comet.5	|- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,] +oo ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( F ` ( x +e y ) ) <_ ( ( F ` x ) +e ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
comet	|- ( ph -> ( F o. D ) e. ( *Met ` X ) )

Distinct variable groups:   x, y, D   x, F, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   X( x, y)

Proof of Theorem comet

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetrel 15011	. . . 4 |- Rel *Met
2		comet.1	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
3		relelfvdm 5658	. . . 4 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> X e. dom *Met )
5	4	elexd 2813	. 2 |- ( ph -> X e. _V )
6		comet.2	. . 3 |- ( ph -> F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
7		xmetf 15018	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
8	2, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> D : ( X X. X ) --> RR* )
9	8	ffnd 5473	. . . 4 |- ( ph -> D Fn ( X X. X ) )
10		xmetcl 15020	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ a e. X /\ b e. X ) -> ( a D b ) e. RR* )
11		xmetge0 15033	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ a e. X /\ b e. X ) -> 0 <_ ( a D b ) )
12		elxrge0 10170	. . . . . . . 8 |- ( ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( a D b ) e. RR* /\ 0 <_ ( a D b ) ) )
13	10, 11, 12	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ a e. X /\ b e. X ) -> ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
14	13	3expb 1228	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
15	2, 14	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
16	15	ralrimivva 2612	. . . 4 |- ( ph -> A. a e. X A. b e. X ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
17		ffnov 6107	. . . 4 |- ( D : ( X X. X ) --> ( 0 [,] +oo ) <-> ( D Fn ( X X. X ) /\ A. a e. X A. b e. X ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) ) )
18	9, 16, 17	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ph -> D : ( X X. X ) --> ( 0 [,] +oo ) )
19		fco 5488	. . 3 |- ( ( F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* /\ D : ( X X. X ) --> ( 0 [,] +oo ) ) -> ( F o. D ) : ( X X. X ) --> RR* )
20	6, 18, 19	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( F o. D ) : ( X X. X ) --> RR* )
21		opelxpi 4750	. . . . . 6 |- ( ( a e. X /\ b e. X ) -> <. a , b >. e. ( X X. X ) )
22		fvco3 5704	. . . . . 6 |- ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ <. a , b >. e. ( X X. X ) ) -> ( ( F o. D ) ` <. a , b >. ) = ( F ` ( D ` <. a , b >. ) ) )
23	8, 21, 22	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( F o. D ) ` <. a , b >. ) = ( F ` ( D ` <. a , b >. ) ) )
24		df-ov 6003	. . . . 5 |- ( a ( F o. D ) b ) = ( ( F o. D ) ` <. a , b >. )
25		df-ov 6003	. . . . . 6 |- ( a D b ) = ( D ` <. a , b >. )
26	25	fveq2i 5629	. . . . 5 |- ( F ` ( a D b ) ) = ( F ` ( D ` <. a , b >. ) )
27	23, 24, 26	3eqtr4g 2287	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( a ( F o. D ) b ) = ( F ` ( a D b ) ) )
28	27	eqeq1d 2238	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( a ( F o. D ) b ) = 0 <-> ( F ` ( a D b ) ) = 0 ) )
29		fveq2 5626	. . . . . 6 |- ( x = ( a D b ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( a D b ) ) )
30	29	eqeq1d 2238	. . . . 5 |- ( x = ( a D b ) -> ( ( F ` x ) = 0 <-> ( F ` ( a D b ) ) = 0 ) )
31		eqeq1 2236	. . . . 5 |- ( x = ( a D b ) -> ( x = 0 <-> ( a D b ) = 0 ) )
32	30, 31	bibi12d 235	. . . 4 |- ( x = ( a D b ) -> ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = 0 ) <-> ( ( F ` ( a D b ) ) = 0 <-> ( a D b ) = 0 ) ) )
33		comet.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( F ` x ) = 0 <-> x = 0 ) )
34	33	ralrimiva 2603	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( 0 [,] +oo ) ( ( F ` x ) = 0 <-> x = 0 ) )
35	34	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> A. x e. ( 0 [,] +oo ) ( ( F ` x ) = 0 <-> x = 0 ) )
36	32, 35, 15	rspcdva 2912	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( F ` ( a D b ) ) = 0 <-> ( a D b ) = 0 ) )
37		xmeteq0 15027	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ a e. X /\ b e. X ) -> ( ( a D b ) = 0 <-> a = b ) )
38	37	3expb 1228	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( a D b ) = 0 <-> a = b ) )
39	2, 38	sylan 283	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( a D b ) = 0 <-> a = b ) )
40	28, 36, 39	3bitrd 214	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( a ( F o. D ) b ) = 0 <-> a = b ) )
41	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
42	15	3adantr3 1182	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
43	41, 42	ffvelcdmd 5770	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( a D b ) ) e. RR* )
44	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> D : ( X X. X ) --> ( 0 [,] +oo ) )
45		simpr3 1029	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> c e. X )
46		simpr1 1027	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> a e. X )
47	44, 45, 46	fovcdmd 6149	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c D a ) e. ( 0 [,] +oo ) )
48		simpr2 1028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> b e. X )
49	44, 45, 48	fovcdmd 6149	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c D b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
50		ge0xaddcl 10175	. . . . . 6 |- ( ( ( c D a ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( c D b ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
51	47, 49, 50	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
52	41, 51	ffvelcdmd 5770	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) e. RR* )
53	41, 47	ffvelcdmd 5770	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( c D a ) ) e. RR* )
54	41, 49	ffvelcdmd 5770	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( c D b ) ) e. RR* )
55	53, 54	xaddcld 10076	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` ( c D b ) ) ) e. RR* )
56		3anrot 1007	. . . . . . 7 |- ( ( c e. X /\ a e. X /\ b e. X ) <-> ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) )
57		xmettri2 15029	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( c e. X /\ a e. X /\ b e. X ) ) -> ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
58	56, 57	sylan2br 288	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
59	2, 58	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
60		comet.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,] +oo ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( x <_ y -> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) )
61	60	ralrimivva 2612	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( 0 [,] +oo ) A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x <_ y -> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) )
62	61	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> A. x e. ( 0 [,] +oo ) A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x <_ y -> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) )
63		breq1 4085	. . . . . . . 8 |- ( x = ( a D b ) -> ( x <_ y <-> ( a D b ) <_ y ) )
64	29	breq1d 4092	. . . . . . . 8 |- ( x = ( a D b ) -> ( ( F ` x ) <_ ( F ` y ) <-> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` y ) ) )
65	63, 64	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( x = ( a D b ) -> ( ( x <_ y -> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) <-> ( ( a D b ) <_ y -> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` y ) ) ) )
66		breq2 4086	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( ( a D b ) <_ y <-> ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
67		fveq2 5626	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
68	67	breq2d 4094	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` y ) <-> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
69	66, 68	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( ( ( a D b ) <_ y -> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` y ) ) <-> ( ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
70	65, 69	rspc2va 2921	. . . . . 6 |- ( ( ( ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ A. x e. ( 0 [,] +oo ) A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x <_ y -> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) ) -> ( ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
71	42, 51, 62, 70	syl21anc 1270	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
72	59, 71	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
73		comet.5	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,] +oo ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( F ` ( x +e y ) ) <_ ( ( F ` x ) +e ( F ` y ) ) )
74	73	ralrimivva 2612	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( 0 [,] +oo ) A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( F ` ( x +e y ) ) <_ ( ( F ` x ) +e ( F ` y ) ) )
75	74	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> A. x e. ( 0 [,] +oo ) A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( F ` ( x +e y ) ) <_ ( ( F ` x ) +e ( F ` y ) ) )
76		fvoveq1 6023	. . . . . . 7 |- ( x = ( c D a ) -> ( F ` ( x +e y ) ) = ( F ` ( ( c D a ) +e y ) ) )
77		fveq2 5626	. . . . . . . 8 |- ( x = ( c D a ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( c D a ) ) )
78	77	oveq1d 6015	. . . . . . 7 |- ( x = ( c D a ) -> ( ( F ` x ) +e ( F ` y ) ) = ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` y ) ) )
79	76, 78	breq12d 4095	. . . . . 6 |- ( x = ( c D a ) -> ( ( F ` ( x +e y ) ) <_ ( ( F ` x ) +e ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( ( c D a ) +e y ) ) <_ ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` y ) ) ) )
80		oveq2 6008	. . . . . . . 8 |- ( y = ( c D b ) -> ( ( c D a ) +e y ) = ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
81	80	fveq2d 5630	. . . . . . 7 |- ( y = ( c D b ) -> ( F ` ( ( c D a ) +e y ) ) = ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
82		fveq2 5626	. . . . . . . 8 |- ( y = ( c D b ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( c D b ) ) )
83	82	oveq2d 6016	. . . . . . 7 |- ( y = ( c D b ) -> ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` y ) ) = ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` ( c D b ) ) ) )
84	81, 83	breq12d 4095	. . . . . 6 |- ( y = ( c D b ) -> ( ( F ` ( ( c D a ) +e y ) ) <_ ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) <_ ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` ( c D b ) ) ) ) )
85	79, 84	rspc2va 2921	. . . . 5 |- ( ( ( ( c D a ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( c D b ) e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ A. x e. ( 0 [,] +oo ) A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( F ` ( x +e y ) ) <_ ( ( F ` x ) +e ( F ` y ) ) ) -> ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) <_ ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` ( c D b ) ) ) )
86	47, 49, 75, 85	syl21anc 1270	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) <_ ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` ( c D b ) ) ) )
87	43, 52, 55, 72, 86	xrletrd 10004	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` ( c D b ) ) ) )
88	27	3adantr3 1182	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( a ( F o. D ) b ) = ( F ` ( a D b ) ) )
89	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
90	45, 46	opelxpd 4751	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> <. c , a >. e. ( X X. X ) )
91		fvco3 5704	. . . . . 6 |- ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ <. c , a >. e. ( X X. X ) ) -> ( ( F o. D ) ` <. c , a >. ) = ( F ` ( D ` <. c , a >. ) ) )
92	89, 90, 91	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( F o. D ) ` <. c , a >. ) = ( F ` ( D ` <. c , a >. ) ) )
93		df-ov 6003	. . . . 5 |- ( c ( F o. D ) a ) = ( ( F o. D ) ` <. c , a >. )
94		df-ov 6003	. . . . . 6 |- ( c D a ) = ( D ` <. c , a >. )
95	94	fveq2i 5629	. . . . 5 |- ( F ` ( c D a ) ) = ( F ` ( D ` <. c , a >. ) )
96	92, 93, 95	3eqtr4g 2287	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c ( F o. D ) a ) = ( F ` ( c D a ) ) )
97	45, 48	opelxpd 4751	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> <. c , b >. e. ( X X. X ) )
98		fvco3 5704	. . . . . 6 |- ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ <. c , b >. e. ( X X. X ) ) -> ( ( F o. D ) ` <. c , b >. ) = ( F ` ( D ` <. c , b >. ) ) )
99	89, 97, 98	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( F o. D ) ` <. c , b >. ) = ( F ` ( D ` <. c , b >. ) ) )
100		df-ov 6003	. . . . 5 |- ( c ( F o. D ) b ) = ( ( F o. D ) ` <. c , b >. )
101		df-ov 6003	. . . . . 6 |- ( c D b ) = ( D ` <. c , b >. )
102	101	fveq2i 5629	. . . . 5 |- ( F ` ( c D b ) ) = ( F ` ( D ` <. c , b >. ) )
103	99, 100, 102	3eqtr4g 2287	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c ( F o. D ) b ) = ( F ` ( c D b ) ) )
104	96, 103	oveq12d 6018	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( c ( F o. D ) a ) +e ( c ( F o. D ) b ) ) = ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` ( c D b ) ) ) )
105	87, 88, 104	3brtr4d 4114	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( a ( F o. D ) b ) <_ ( ( c ( F o. D ) a ) +e ( c ( F o. D ) b ) ) )
106	5, 20, 40, 105	isxmetd 15015	1 |- ( ph -> ( F o. D ) e. ( *Met ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   <.cop 3669   class class class wbr 4082   X. cxp 4716   dom cdm 4718   o. ccom 4722   Rel wrel 4723   Fn wfn 5312   -->wf 5313   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   0cc0 7995   +oocpnf 8174   RR*cxr 8176   <_ cle 8178   +ecxad 9962   [,]cicc 10083   *Metcxmet 14494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-map 6795  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-2 9165  df-xadd 9965  df-icc 10087  df-xmet 14502

This theorem is referenced by:  bdxmet  15169