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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > comet | Unicode version |
Description: The composition of an extended metric with a monotonic subadditive function is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) |
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comet.1 |
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comet.2 |
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comet.3 |
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comet.4 |
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comet.5 |
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comet |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | xmetrel 13510 |
. . . 4
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2 | comet.1 |
. . . 4
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3 | relelfvdm 5543 |
. . . 4
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4 | 1, 2, 3 | sylancr 414 |
. . 3
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5 | 4 | elexd 2750 |
. 2
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6 | comet.2 |
. . 3
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7 | xmetf 13517 |
. . . . . 6
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8 | 2, 7 | syl 14 |
. . . . 5
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9 | 8 | ffnd 5362 |
. . . 4
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10 | xmetcl 13519 |
. . . . . . . 8
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11 | xmetge0 13532 |
. . . . . . . 8
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12 | elxrge0 9965 |
. . . . . . . 8
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13 | 10, 11, 12 | sylanbrc 417 |
. . . . . . 7
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14 | 13 | 3expb 1204 |
. . . . . 6
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15 | 2, 14 | sylan 283 |
. . . . 5
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16 | 15 | ralrimivva 2559 |
. . . 4
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17 | ffnov 5973 |
. . . 4
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18 | 9, 16, 17 | sylanbrc 417 |
. . 3
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19 | fco 5377 |
. . 3
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20 | 6, 18, 19 | syl2anc 411 |
. 2
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21 | opelxpi 4655 |
. . . . . 6
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22 | fvco3 5583 |
. . . . . 6
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23 | 8, 21, 22 | syl2an 289 |
. . . . 5
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24 | df-ov 5872 |
. . . . 5
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25 | df-ov 5872 |
. . . . . 6
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26 | 25 | fveq2i 5514 |
. . . . 5
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27 | 23, 24, 26 | 3eqtr4g 2235 |
. . . 4
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28 | 27 | eqeq1d 2186 |
. . 3
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29 | fveq2 5511 |
. . . . . 6
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30 | 29 | eqeq1d 2186 |
. . . . 5
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31 | eqeq1 2184 |
. . . . 5
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32 | 30, 31 | bibi12d 235 |
. . . 4
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33 | comet.3 |
. . . . . 6
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34 | 33 | ralrimiva 2550 |
. . . . 5
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35 | 34 | adantr 276 |
. . . 4
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36 | 32, 35, 15 | rspcdva 2846 |
. . 3
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37 | xmeteq0 13526 |
. . . . 5
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38 | 37 | 3expb 1204 |
. . . 4
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39 | 2, 38 | sylan 283 |
. . 3
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40 | 28, 36, 39 | 3bitrd 214 |
. 2
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41 | 6 | adantr 276 |
. . . . 5
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42 | 15 | 3adantr3 1158 |
. . . . 5
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43 | 41, 42 | ffvelcdmd 5648 |
. . . 4
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44 | 18 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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45 | simpr3 1005 |
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46 | simpr1 1003 |
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47 | 44, 45, 46 | fovcdmd 6013 |
. . . . . 6
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48 | simpr2 1004 |
. . . . . . 7
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49 | 44, 45, 48 | fovcdmd 6013 |
. . . . . 6
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50 | ge0xaddcl 9970 |
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51 | 47, 49, 50 | syl2anc 411 |
. . . . 5
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52 | 41, 51 | ffvelcdmd 5648 |
. . . 4
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53 | 41, 47 | ffvelcdmd 5648 |
. . . . 5
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54 | 41, 49 | ffvelcdmd 5648 |
. . . . 5
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55 | 53, 54 | xaddcld 9871 |
. . . 4
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56 | 3anrot 983 |
. . . . . . 7
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57 | xmettri2 13528 |
. . . . . . 7
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58 | 56, 57 | sylan2br 288 |
. . . . . 6
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59 | 2, 58 | sylan 283 |
. . . . 5
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60 | comet.4 |
. . . . . . . 8
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61 | 60 | ralrimivva 2559 |
. . . . . . 7
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62 | 61 | adantr 276 |
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85 | 79, 84 | rspc2va 2855 |
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86 | 47, 49, 75, 85 | syl21anc 1237 |
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87 | 43, 52, 55, 72, 86 | xrletrd 9799 |
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88 | 27 | 3adantr3 1158 |
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89 | 8 | adantr 276 |
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92 | 89, 90, 91 | syl2anc 411 |
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97 | 45, 48 | opelxpd 4656 |
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99 | 89, 97, 98 | syl2anc 411 |
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103 | 99, 100, 102 | 3eqtr4g 2235 |
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104 | 96, 103 | oveq12d 5887 |
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105 | 87, 88, 104 | 3brtr4d 4032 |
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106 | 5, 20, 40, 105 | isxmetd 13514 |
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Colors of variables: wff set class |
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This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4118 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-map 6644 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-2 8967 df-xadd 9760 df-icc 9882 df-xmet 13155 |
This theorem is referenced by: bdxmet 13668 |
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