Theorem comet 14667

Description: The composition of an extended metric with a monotonic subadditive function is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
comet.1	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
comet.2	|- ( ph -> F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
comet.3	|- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( F ` x ) = 0 <-> x = 0 ) )
comet.4	|- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,] +oo ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( x <_ y -> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) )
comet.5	|- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,] +oo ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( F ` ( x +e y ) ) <_ ( ( F ` x ) +e ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
comet	|- ( ph -> ( F o. D ) e. ( *Met ` X ) )

Distinct variable groups:   x, y, D   x, F, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   X( x, y)

Proof of Theorem comet

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetrel 14511	. . . 4 |- Rel *Met
2		comet.1	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
3		relelfvdm 5586	. . . 4 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> X e. dom *Met )
5	4	elexd 2773	. 2 |- ( ph -> X e. _V )
6		comet.2	. . 3 |- ( ph -> F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
7		xmetf 14518	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
8	2, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> D : ( X X. X ) --> RR* )
9	8	ffnd 5404	. . . 4 |- ( ph -> D Fn ( X X. X ) )
10		xmetcl 14520	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ a e. X /\ b e. X ) -> ( a D b ) e. RR* )
11		xmetge0 14533	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ a e. X /\ b e. X ) -> 0 <_ ( a D b ) )
12		elxrge0 10044	. . . . . . . 8 |- ( ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( a D b ) e. RR* /\ 0 <_ ( a D b ) ) )
13	10, 11, 12	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ a e. X /\ b e. X ) -> ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
14	13	3expb 1206	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
15	2, 14	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
16	15	ralrimivva 2576	. . . 4 |- ( ph -> A. a e. X A. b e. X ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
17		ffnov 6022	. . . 4 |- ( D : ( X X. X ) --> ( 0 [,] +oo ) <-> ( D Fn ( X X. X ) /\ A. a e. X A. b e. X ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) ) )
18	9, 16, 17	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ph -> D : ( X X. X ) --> ( 0 [,] +oo ) )
19		fco 5419	. . 3 |- ( ( F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* /\ D : ( X X. X ) --> ( 0 [,] +oo ) ) -> ( F o. D ) : ( X X. X ) --> RR* )
20	6, 18, 19	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( F o. D ) : ( X X. X ) --> RR* )
21		opelxpi 4691	. . . . . 6 |- ( ( a e. X /\ b e. X ) -> <. a , b >. e. ( X X. X ) )
22		fvco3 5628	. . . . . 6 |- ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ <. a , b >. e. ( X X. X ) ) -> ( ( F o. D ) ` <. a , b >. ) = ( F ` ( D ` <. a , b >. ) ) )
23	8, 21, 22	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( F o. D ) ` <. a , b >. ) = ( F ` ( D ` <. a , b >. ) ) )
24		df-ov 5921	. . . . 5 |- ( a ( F o. D ) b ) = ( ( F o. D ) ` <. a , b >. )
25		df-ov 5921	. . . . . 6 |- ( a D b ) = ( D ` <. a , b >. )
26	25	fveq2i 5557	. . . . 5 |- ( F ` ( a D b ) ) = ( F ` ( D ` <. a , b >. ) )
27	23, 24, 26	3eqtr4g 2251	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( a ( F o. D ) b ) = ( F ` ( a D b ) ) )
28	27	eqeq1d 2202	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( a ( F o. D ) b ) = 0 <-> ( F ` ( a D b ) ) = 0 ) )
29		fveq2 5554	. . . . . 6 |- ( x = ( a D b ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( a D b ) ) )
30	29	eqeq1d 2202	. . . . 5 |- ( x = ( a D b ) -> ( ( F ` x ) = 0 <-> ( F ` ( a D b ) ) = 0 ) )
31		eqeq1 2200	. . . . 5 |- ( x = ( a D b ) -> ( x = 0 <-> ( a D b ) = 0 ) )
32	30, 31	bibi12d 235	. . . 4 |- ( x = ( a D b ) -> ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = 0 ) <-> ( ( F ` ( a D b ) ) = 0 <-> ( a D b ) = 0 ) ) )
33		comet.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( F ` x ) = 0 <-> x = 0 ) )
34	33	ralrimiva 2567	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( 0 [,] +oo ) ( ( F ` x ) = 0 <-> x = 0 ) )
35	34	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> A. x e. ( 0 [,] +oo ) ( ( F ` x ) = 0 <-> x = 0 ) )
36	32, 35, 15	rspcdva 2869	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( F ` ( a D b ) ) = 0 <-> ( a D b ) = 0 ) )
37		xmeteq0 14527	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ a e. X /\ b e. X ) -> ( ( a D b ) = 0 <-> a = b ) )
38	37	3expb 1206	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( a D b ) = 0 <-> a = b ) )
39	2, 38	sylan 283	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( a D b ) = 0 <-> a = b ) )
40	28, 36, 39	3bitrd 214	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( a ( F o. D ) b ) = 0 <-> a = b ) )
41	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
42	15	3adantr3 1160	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
43	41, 42	ffvelcdmd 5694	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( a D b ) ) e. RR* )
44	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> D : ( X X. X ) --> ( 0 [,] +oo ) )
45		simpr3 1007	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> c e. X )
46		simpr1 1005	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> a e. X )
47	44, 45, 46	fovcdmd 6063	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c D a ) e. ( 0 [,] +oo ) )
48		simpr2 1006	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> b e. X )
49	44, 45, 48	fovcdmd 6063	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c D b ) e. ( 0 [,] +oo ) )
50		ge0xaddcl 10049	. . . . . 6 |- ( ( ( c D a ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( c D b ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
51	47, 49, 50	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
52	41, 51	ffvelcdmd 5694	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) e. RR* )
53	41, 47	ffvelcdmd 5694	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( c D a ) ) e. RR* )
54	41, 49	ffvelcdmd 5694	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( c D b ) ) e. RR* )
55	53, 54	xaddcld 9950	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` ( c D b ) ) ) e. RR* )
56		3anrot 985	. . . . . . 7 |- ( ( c e. X /\ a e. X /\ b e. X ) <-> ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) )
57		xmettri2 14529	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( c e. X /\ a e. X /\ b e. X ) ) -> ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
58	56, 57	sylan2br 288	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
59	2, 58	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
60		comet.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,] +oo ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( x <_ y -> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) )
61	60	ralrimivva 2576	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( 0 [,] +oo ) A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x <_ y -> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) )
62	61	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> A. x e. ( 0 [,] +oo ) A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x <_ y -> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) )
63		breq1 4032	. . . . . . . 8 |- ( x = ( a D b ) -> ( x <_ y <-> ( a D b ) <_ y ) )
64	29	breq1d 4039	. . . . . . . 8 |- ( x = ( a D b ) -> ( ( F ` x ) <_ ( F ` y ) <-> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` y ) ) )
65	63, 64	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( x = ( a D b ) -> ( ( x <_ y -> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) <-> ( ( a D b ) <_ y -> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` y ) ) ) )
66		breq2 4033	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( ( a D b ) <_ y <-> ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
67		fveq2 5554	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
68	67	breq2d 4041	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` y ) <-> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
69	66, 68	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( ( ( a D b ) <_ y -> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` y ) ) <-> ( ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
70	65, 69	rspc2va 2878	. . . . . 6 |- ( ( ( ( a D b ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ A. x e. ( 0 [,] +oo ) A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( x <_ y -> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) ) -> ( ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
71	42, 51, 62, 70	syl21anc 1248	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
72	59, 71	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
73		comet.5	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,] +oo ) /\ y e. ( 0 [,] +oo ) ) ) -> ( F ` ( x +e y ) ) <_ ( ( F ` x ) +e ( F ` y ) ) )
74	73	ralrimivva 2576	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( 0 [,] +oo ) A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( F ` ( x +e y ) ) <_ ( ( F ` x ) +e ( F ` y ) ) )
75	74	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> A. x e. ( 0 [,] +oo ) A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( F ` ( x +e y ) ) <_ ( ( F ` x ) +e ( F ` y ) ) )
76		fvoveq1 5941	. . . . . . 7 |- ( x = ( c D a ) -> ( F ` ( x +e y ) ) = ( F ` ( ( c D a ) +e y ) ) )
77		fveq2 5554	. . . . . . . 8 |- ( x = ( c D a ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( c D a ) ) )
78	77	oveq1d 5933	. . . . . . 7 |- ( x = ( c D a ) -> ( ( F ` x ) +e ( F ` y ) ) = ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` y ) ) )
79	76, 78	breq12d 4042	. . . . . 6 |- ( x = ( c D a ) -> ( ( F ` ( x +e y ) ) <_ ( ( F ` x ) +e ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( ( c D a ) +e y ) ) <_ ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` y ) ) ) )
80		oveq2 5926	. . . . . . . 8 |- ( y = ( c D b ) -> ( ( c D a ) +e y ) = ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
81	80	fveq2d 5558	. . . . . . 7 |- ( y = ( c D b ) -> ( F ` ( ( c D a ) +e y ) ) = ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
82		fveq2 5554	. . . . . . . 8 |- ( y = ( c D b ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( c D b ) ) )
83	82	oveq2d 5934	. . . . . . 7 |- ( y = ( c D b ) -> ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` y ) ) = ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` ( c D b ) ) ) )
84	81, 83	breq12d 4042	. . . . . 6 |- ( y = ( c D b ) -> ( ( F ` ( ( c D a ) +e y ) ) <_ ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) <_ ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` ( c D b ) ) ) ) )
85	79, 84	rspc2va 2878	. . . . 5 |- ( ( ( ( c D a ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( c D b ) e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ A. x e. ( 0 [,] +oo ) A. y e. ( 0 [,] +oo ) ( F ` ( x +e y ) ) <_ ( ( F ` x ) +e ( F ` y ) ) ) -> ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) <_ ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` ( c D b ) ) ) )
86	47, 49, 75, 85	syl21anc 1248	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) <_ ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` ( c D b ) ) ) )
87	43, 52, 55, 72, 86	xrletrd 9878	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( a D b ) ) <_ ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` ( c D b ) ) ) )
88	27	3adantr3 1160	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( a ( F o. D ) b ) = ( F ` ( a D b ) ) )
89	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
90	45, 46	opelxpd 4692	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> <. c , a >. e. ( X X. X ) )
91		fvco3 5628	. . . . . 6 |- ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ <. c , a >. e. ( X X. X ) ) -> ( ( F o. D ) ` <. c , a >. ) = ( F ` ( D ` <. c , a >. ) ) )
92	89, 90, 91	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( F o. D ) ` <. c , a >. ) = ( F ` ( D ` <. c , a >. ) ) )
93		df-ov 5921	. . . . 5 |- ( c ( F o. D ) a ) = ( ( F o. D ) ` <. c , a >. )
94		df-ov 5921	. . . . . 6 |- ( c D a ) = ( D ` <. c , a >. )
95	94	fveq2i 5557	. . . . 5 |- ( F ` ( c D a ) ) = ( F ` ( D ` <. c , a >. ) )
96	92, 93, 95	3eqtr4g 2251	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c ( F o. D ) a ) = ( F ` ( c D a ) ) )
97	45, 48	opelxpd 4692	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> <. c , b >. e. ( X X. X ) )
98		fvco3 5628	. . . . . 6 |- ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ <. c , b >. e. ( X X. X ) ) -> ( ( F o. D ) ` <. c , b >. ) = ( F ` ( D ` <. c , b >. ) ) )
99	89, 97, 98	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( F o. D ) ` <. c , b >. ) = ( F ` ( D ` <. c , b >. ) ) )
100		df-ov 5921	. . . . 5 |- ( c ( F o. D ) b ) = ( ( F o. D ) ` <. c , b >. )
101		df-ov 5921	. . . . . 6 |- ( c D b ) = ( D ` <. c , b >. )
102	101	fveq2i 5557	. . . . 5 |- ( F ` ( c D b ) ) = ( F ` ( D ` <. c , b >. ) )
103	99, 100, 102	3eqtr4g 2251	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c ( F o. D ) b ) = ( F ` ( c D b ) ) )
104	96, 103	oveq12d 5936	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( c ( F o. D ) a ) +e ( c ( F o. D ) b ) ) = ( ( F ` ( c D a ) ) +e ( F ` ( c D b ) ) ) )
105	87, 88, 104	3brtr4d 4061	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( a ( F o. D ) b ) <_ ( ( c ( F o. D ) a ) +e ( c ( F o. D ) b ) ) )
106	5, 20, 40, 105	isxmetd 14515	1 |- ( ph -> ( F o. D ) e. ( *Met ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   <.cop 3621   class class class wbr 4029   X. cxp 4657   dom cdm 4659   o. ccom 4663   Rel wrel 4664   Fn wfn 5249   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   0cc0 7872   +oocpnf 8051   RR*cxr 8053   <_ cle 8055   +ecxad 9836   [,]cicc 9957   *Metcxmet 14032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-2 9041  df-xadd 9839  df-icc 9961  df-xmet 14040

This theorem is referenced by:  bdxmet  14669