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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > comet | Unicode version |
Description: The composition of an extended metric with a monotonic subadditive function is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) |
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comet.1 |
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comet.2 |
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comet.3 |
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comet.4 |
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comet.5 |
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comet |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | xmetrel 12271 |
. . . 4
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2 | comet.1 |
. . . 4
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3 | relelfvdm 5385 |
. . . 4
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4 | 1, 2, 3 | sylancr 408 |
. . 3
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5 | 4 | elexd 2654 |
. 2
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6 | comet.2 |
. . 3
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7 | xmetf 12278 |
. . . . . 6
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8 | 2, 7 | syl 14 |
. . . . 5
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9 | 8 | ffnd 5209 |
. . . 4
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10 | xmetcl 12280 |
. . . . . . . 8
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11 | xmetge0 12293 |
. . . . . . . 8
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12 | elxrge0 9602 |
. . . . . . . 8
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13 | 10, 11, 12 | sylanbrc 411 |
. . . . . . 7
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14 | 13 | 3expb 1150 |
. . . . . 6
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15 | 2, 14 | sylan 279 |
. . . . 5
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16 | 15 | ralrimivva 2473 |
. . . 4
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17 | ffnov 5807 |
. . . 4
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18 | 9, 16, 17 | sylanbrc 411 |
. . 3
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19 | fco 5224 |
. . 3
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20 | 6, 18, 19 | syl2anc 406 |
. 2
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21 | opelxpi 4509 |
. . . . . 6
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22 | fvco3 5424 |
. . . . . 6
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23 | 8, 21, 22 | syl2an 285 |
. . . . 5
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24 | df-ov 5709 |
. . . . 5
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25 | df-ov 5709 |
. . . . . 6
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26 | 25 | fveq2i 5356 |
. . . . 5
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27 | 23, 24, 26 | 3eqtr4g 2157 |
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28 | 27 | eqeq1d 2108 |
. . 3
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29 | fveq2 5353 |
. . . . . 6
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30 | 29 | eqeq1d 2108 |
. . . . 5
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31 | eqeq1 2106 |
. . . . 5
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32 | 30, 31 | bibi12d 234 |
. . . 4
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33 | comet.3 |
. . . . . 6
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34 | 33 | ralrimiva 2464 |
. . . . 5
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35 | 34 | adantr 272 |
. . . 4
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36 | 32, 35, 15 | rspcdva 2749 |
. . 3
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37 | xmeteq0 12287 |
. . . . 5
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38 | 37 | 3expb 1150 |
. . . 4
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39 | 2, 38 | sylan 279 |
. . 3
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40 | 28, 36, 39 | 3bitrd 213 |
. 2
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41 | 6 | adantr 272 |
. . . . 5
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42 | 15 | 3adantr3 1110 |
. . . . 5
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43 | 41, 42 | ffvelrnd 5488 |
. . . 4
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44 | 18 | adantr 272 |
. . . . . . 7
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45 | simpr3 957 |
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46 | simpr1 955 |
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47 | 44, 45, 46 | fovrnd 5847 |
. . . . . 6
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48 | simpr2 956 |
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49 | 44, 45, 48 | fovrnd 5847 |
. . . . . 6
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50 | ge0xaddcl 9607 |
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51 | 47, 49, 50 | syl2anc 406 |
. . . . 5
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52 | 41, 51 | ffvelrnd 5488 |
. . . 4
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53 | 41, 47 | ffvelrnd 5488 |
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54 | 41, 49 | ffvelrnd 5488 |
. . . . 5
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55 | 53, 54 | xaddcld 9508 |
. . . 4
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56 | 3anrot 935 |
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57 | xmettri2 12289 |
. . . . . . 7
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58 | 56, 57 | sylan2br 284 |
. . . . . 6
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59 | 2, 58 | sylan 279 |
. . . . 5
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60 | comet.4 |
. . . . . . . 8
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61 | 60 | ralrimivva 2473 |
. . . . . . 7
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62 | 61 | adantr 272 |
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87 | 43, 52, 55, 72, 86 | xrletrd 9436 |
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88 | 27 | 3adantr3 1110 |
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97 | 45, 48 | opelxpd 4510 |
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99 | 89, 97, 98 | syl2anc 406 |
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103 | 99, 100, 102 | 3eqtr4g 2157 |
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105 | 87, 88, 104 | 3brtr4d 3905 |
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106 | 5, 20, 40, 105 | isxmetd 12275 |
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Colors of variables: wff set class |
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This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-sep 3986 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 ax-cnex 7586 ax-resscn 7587 ax-1cn 7588 ax-1re 7589 ax-icn 7590 ax-addcl 7591 ax-addrcl 7592 ax-mulcl 7593 ax-mulrcl 7594 ax-addcom 7595 ax-mulcom 7596 ax-addass 7597 ax-mulass 7598 ax-distr 7599 ax-i2m1 7600 ax-0lt1 7601 ax-1rid 7602 ax-0id 7603 ax-rnegex 7604 ax-precex 7605 ax-cnre 7606 ax-pre-ltirr 7607 ax-pre-ltwlin 7608 ax-pre-lttrn 7609 ax-pre-apti 7610 ax-pre-ltadd 7611 ax-pre-mulgt0 7612 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 787 df-3or 931 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-nel 2363 df-ral 2380 df-rex 2381 df-reu 2382 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-csb 2956 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-if 3422 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-iun 3762 df-br 3876 df-opab 3930 df-mpt 3931 df-id 4153 df-po 4156 df-iso 4157 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-fv 5067 df-riota 5662 df-ov 5709 df-oprab 5710 df-mpo 5711 df-1st 5969 df-2nd 5970 df-map 6474 df-pnf 7674 df-mnf 7675 df-xr 7676 df-ltxr 7677 df-le 7678 df-sub 7806 df-neg 7807 df-2 8637 df-xadd 9401 df-icc 9519 df-xmet 11939 |
This theorem is referenced by: bdxmet 12429 |
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