Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  comet Unicode version

Theorem comet 12705
 Description: The composition of an extended metric with a monotonic subadditive function is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
comet.1
comet.2
comet.3
comet.4
comet.5
Assertion
Ref Expression
comet
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem comet
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetrel 12549 . . . 4
2 comet.1 . . . 4
3 relelfvdm 5460 . . . 4
41, 2, 3sylancr 411 . . 3
54elexd 2702 . 2
6 comet.2 . . 3
7 xmetf 12556 . . . . . 6
82, 7syl 14 . . . . 5
98ffnd 5280 . . . 4
10 xmetcl 12558 . . . . . . . 8
11 xmetge0 12571 . . . . . . . 8
12 elxrge0 9790 . . . . . . . 8
1310, 11, 12sylanbrc 414 . . . . . . 7
14133expb 1183 . . . . . 6
152, 14sylan 281 . . . . 5
1615ralrimivva 2517 . . . 4
17 ffnov 5882 . . . 4
189, 16, 17sylanbrc 414 . . 3
19 fco 5295 . . 3
206, 18, 19syl2anc 409 . 2
21 opelxpi 4578 . . . . . 6
22 fvco3 5499 . . . . . 6
238, 21, 22syl2an 287 . . . . 5
24 df-ov 5784 . . . . 5
25 df-ov 5784 . . . . . 6
2625fveq2i 5431 . . . . 5
2723, 24, 263eqtr4g 2198 . . . 4
2827eqeq1d 2149 . . 3
29 fveq2 5428 . . . . . 6
3029eqeq1d 2149 . . . . 5
31 eqeq1 2147 . . . . 5
3230, 31bibi12d 234 . . . 4
33 comet.3 . . . . . 6
3433ralrimiva 2508 . . . . 5
3534adantr 274 . . . 4
3632, 35, 15rspcdva 2797 . . 3
37 xmeteq0 12565 . . . . 5
38373expb 1183 . . . 4
392, 38sylan 281 . . 3
4028, 36, 393bitrd 213 . 2
416adantr 274 . . . . 5
42153adantr3 1143 . . . . 5
4341, 42ffvelrnd 5563 . . . 4
4418adantr 274 . . . . . . 7
45 simpr3 990 . . . . . . 7
46 simpr1 988 . . . . . . 7
4744, 45, 46fovrnd 5922 . . . . . 6
48 simpr2 989 . . . . . . 7
4944, 45, 48fovrnd 5922 . . . . . 6
50 ge0xaddcl 9795 . . . . . 6
5147, 49, 50syl2anc 409 . . . . 5
5241, 51ffvelrnd 5563 . . . 4
5341, 47ffvelrnd 5563 . . . . 5
5441, 49ffvelrnd 5563 . . . . 5
5553, 54xaddcld 9696 . . . 4
56 3anrot 968 . . . . . . 7
57 xmettri2 12567 . . . . . . 7
5856, 57sylan2br 286 . . . . . 6
592, 58sylan 281 . . . . 5
60 comet.4 . . . . . . . 8
6160ralrimivva 2517 . . . . . . 7
6261adantr 274 . . . . . 6
63 breq1 3939 . . . . . . . 8
6429breq1d 3946 . . . . . . . 8
6563, 64imbi12d 233 . . . . . . 7
66 breq2 3940 . . . . . . . 8
67 fveq2 5428 . . . . . . . . 9
6867breq2d 3948 . . . . . . . 8
6966, 68imbi12d 233 . . . . . . 7
7065, 69rspc2va 2806 . . . . . 6
7142, 51, 62, 70syl21anc 1216 . . . . 5
7259, 71mpd 13 . . . 4
73 comet.5 . . . . . . 7
7473ralrimivva 2517 . . . . . 6
7574adantr 274 . . . . 5
76 fvoveq1 5804 . . . . . . 7
77 fveq2 5428 . . . . . . . 8
7877oveq1d 5796 . . . . . . 7
7976, 78breq12d 3949 . . . . . 6
80 oveq2 5789 . . . . . . . 8
8180fveq2d 5432 . . . . . . 7
82 fveq2 5428 . . . . . . . 8
8382oveq2d 5797 . . . . . . 7
8481, 83breq12d 3949 . . . . . 6
8579, 84rspc2va 2806 . . . . 5
8647, 49, 75, 85syl21anc 1216 . . . 4
8743, 52, 55, 72, 86xrletrd 9624 . . 3
898adantr 274 . . . . . 6
9045, 46opelxpd 4579 . . . . . 6
91 fvco3 5499 . . . . . 6
9289, 90, 91syl2anc 409 . . . . 5
93 df-ov 5784 . . . . 5
94 df-ov 5784 . . . . . 6
9594fveq2i 5431 . . . . 5
9692, 93, 953eqtr4g 2198 . . . 4
9745, 48opelxpd 4579 . . . . . 6
98 fvco3 5499 . . . . . 6
9989, 97, 98syl2anc 409 . . . . 5
100 df-ov 5784 . . . . 5
101 df-ov 5784 . . . . . 6
102101fveq2i 5431 . . . . 5
10399, 100, 1023eqtr4g 2198 . . . 4
10496, 103oveq12d 5799 . . 3
10587, 88, 1043brtr4d 3967 . 2
1065, 20, 40, 105isxmetd 12553 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 963   wceq 1332   wcel 1481  wral 2417  cop 3534   class class class wbr 3936   cxp 4544   cdm 4546   ccom 4550   wrel 4551   wfn 5125  wf 5126  cfv 5130  (class class class)co 5781  cc0 7643   cpnf 7820  cxr 7822   cle 7824  cxad 9586  cicc 9703  cxmet 12186 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-map 6551  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-2 8802  df-xadd 9589  df-icc 9707  df-xmet 12194 This theorem is referenced by:  bdxmet  12707
 Copyright terms: Public domain W3C validator