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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > comet | Unicode version |
Description: The composition of an extended metric with a monotonic subadditive function is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) |
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comet.1 |
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comet.2 |
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comet.3 |
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comet.4 |
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comet.5 |
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Ref | Expression |
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comet |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | xmetrel 14280 |
. . . 4
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2 | comet.1 |
. . . 4
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3 | relelfvdm 5563 |
. . . 4
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4 | 1, 2, 3 | sylancr 414 |
. . 3
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5 | 4 | elexd 2765 |
. 2
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6 | comet.2 |
. . 3
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7 | xmetf 14287 |
. . . . . 6
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8 | 2, 7 | syl 14 |
. . . . 5
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9 | 8 | ffnd 5382 |
. . . 4
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10 | xmetcl 14289 |
. . . . . . . 8
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11 | xmetge0 14302 |
. . . . . . . 8
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12 | elxrge0 10003 |
. . . . . . . 8
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13 | 10, 11, 12 | sylanbrc 417 |
. . . . . . 7
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14 | 13 | 3expb 1206 |
. . . . . 6
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15 | 2, 14 | sylan 283 |
. . . . 5
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16 | 15 | ralrimivva 2572 |
. . . 4
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17 | ffnov 5996 |
. . . 4
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18 | 9, 16, 17 | sylanbrc 417 |
. . 3
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19 | fco 5397 |
. . 3
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20 | 6, 18, 19 | syl2anc 411 |
. 2
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21 | opelxpi 4673 |
. . . . . 6
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22 | fvco3 5604 |
. . . . . 6
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23 | 8, 21, 22 | syl2an 289 |
. . . . 5
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24 | df-ov 5895 |
. . . . 5
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25 | df-ov 5895 |
. . . . . 6
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26 | 25 | fveq2i 5534 |
. . . . 5
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27 | 23, 24, 26 | 3eqtr4g 2247 |
. . . 4
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28 | 27 | eqeq1d 2198 |
. . 3
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29 | fveq2 5531 |
. . . . . 6
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30 | 29 | eqeq1d 2198 |
. . . . 5
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31 | eqeq1 2196 |
. . . . 5
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32 | 30, 31 | bibi12d 235 |
. . . 4
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33 | comet.3 |
. . . . . 6
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34 | 33 | ralrimiva 2563 |
. . . . 5
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35 | 34 | adantr 276 |
. . . 4
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36 | 32, 35, 15 | rspcdva 2861 |
. . 3
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37 | xmeteq0 14296 |
. . . . 5
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38 | 37 | 3expb 1206 |
. . . 4
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39 | 2, 38 | sylan 283 |
. . 3
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40 | 28, 36, 39 | 3bitrd 214 |
. 2
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41 | 6 | adantr 276 |
. . . . 5
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42 | 15 | 3adantr3 1160 |
. . . . 5
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43 | 41, 42 | ffvelcdmd 5669 |
. . . 4
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44 | 18 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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45 | simpr3 1007 |
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46 | simpr1 1005 |
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47 | 44, 45, 46 | fovcdmd 6037 |
. . . . . 6
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48 | simpr2 1006 |
. . . . . . 7
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49 | 44, 45, 48 | fovcdmd 6037 |
. . . . . 6
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50 | ge0xaddcl 10008 |
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51 | 47, 49, 50 | syl2anc 411 |
. . . . 5
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52 | 41, 51 | ffvelcdmd 5669 |
. . . 4
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53 | 41, 47 | ffvelcdmd 5669 |
. . . . 5
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54 | 41, 49 | ffvelcdmd 5669 |
. . . . 5
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55 | 53, 54 | xaddcld 9909 |
. . . 4
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56 | 3anrot 985 |
. . . . . . 7
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57 | xmettri2 14298 |
. . . . . . 7
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58 | 56, 57 | sylan2br 288 |
. . . . . 6
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59 | 2, 58 | sylan 283 |
. . . . 5
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60 | comet.4 |
. . . . . . . 8
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61 | 60 | ralrimivva 2572 |
. . . . . . 7
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62 | 61 | adantr 276 |
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71 | 42, 51, 62, 70 | syl21anc 1248 |
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86 | 47, 49, 75, 85 | syl21anc 1248 |
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87 | 43, 52, 55, 72, 86 | xrletrd 9837 |
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88 | 27 | 3adantr3 1160 |
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89 | 8 | adantr 276 |
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91 | fvco3 5604 |
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92 | 89, 90, 91 | syl2anc 411 |
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96 | 92, 93, 95 | 3eqtr4g 2247 |
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97 | 45, 48 | opelxpd 4674 |
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98 | fvco3 5604 |
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99 | 89, 97, 98 | syl2anc 411 |
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103 | 99, 100, 102 | 3eqtr4g 2247 |
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105 | 87, 88, 104 | 3brtr4d 4050 |
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106 | 5, 20, 40, 105 | isxmetd 14284 |
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Colors of variables: wff set class |
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This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-setind 4551 ax-cnex 7927 ax-resscn 7928 ax-1cn 7929 ax-1re 7930 ax-icn 7931 ax-addcl 7932 ax-addrcl 7933 ax-mulcl 7934 ax-mulrcl 7935 ax-addcom 7936 ax-mulcom 7937 ax-addass 7938 ax-mulass 7939 ax-distr 7940 ax-i2m1 7941 ax-0lt1 7942 ax-1rid 7943 ax-0id 7944 ax-rnegex 7945 ax-precex 7946 ax-cnre 7947 ax-pre-ltirr 7948 ax-pre-ltwlin 7949 ax-pre-lttrn 7950 ax-pre-apti 7951 ax-pre-ltadd 7952 ax-pre-mulgt0 7953 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-id 4308 df-po 4311 df-iso 4312 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-rn 4652 df-res 4653 df-ima 4654 df-iota 5193 df-fun 5234 df-fn 5235 df-f 5236 df-fv 5240 df-riota 5848 df-ov 5895 df-oprab 5896 df-mpo 5897 df-1st 6160 df-2nd 6161 df-map 6671 df-pnf 8019 df-mnf 8020 df-xr 8021 df-ltxr 8022 df-le 8023 df-sub 8155 df-neg 8156 df-2 9003 df-xadd 9798 df-icc 9920 df-xmet 13850 |
This theorem is referenced by: bdxmet 14438 |
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