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Theorem comet 12427
Description: The composition of an extended metric with a monotonic subadditive function is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
comet.1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
comet.2  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
comet.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  0 ) )
comet.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) ) )
comet.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( F `  ( x +e y ) )  <_  ( ( F `  x ) +e ( F `
 y ) ) )
Assertion
Ref Expression
comet  |-  ( ph  ->  ( F  o.  D
)  e.  ( *Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y, D   
x, F, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    X( x, y)

Proof of Theorem comet
Dummy variables  a  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetrel 12271 . . . 4  |-  Rel  *Met
2 comet.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
3 relelfvdm 5385 . . . 4  |-  ( ( Rel  *Met  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  ->  X  e.  dom  *Met )
41, 2, 3sylancr 408 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  dom  *Met )
54elexd 2654 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
6 comet.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
7 xmetf 12278 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
82, 7syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
98ffnd 5209 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( X  X.  X ) )
10 xmetcl 12280 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( a D b )  e. 
RR* )
11 xmetge0 12293 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  0  <_  ( a D b ) )
12 elxrge0 9602 . . . . . . . 8  |-  ( ( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( a D b )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( a D b ) ) )
1310, 11, 12sylanbrc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
14133expb 1150 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
152, 14sylan 279 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1615ralrimivva 2473 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
17 ffnov 5807 . . . 4  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] +oo )  <->  ( D  Fn  ( X  X.  X
)  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
189, 16, 17sylanbrc 411 . . 3  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] +oo )
)
19 fco 5224 . . 3  |-  ( ( F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* 
/\  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( F  o.  D ) : ( X  X.  X ) --> RR* )
206, 18, 19syl2anc 406 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  D
) : ( X  X.  X ) --> RR* )
21 opelxpi 4509 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  -> 
<. a ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
22 fvco3 5424 . . . . . 6  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  <. a ,  b
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. a ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. a ,  b >. )
) )
238, 21, 22syl2an 285 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. a ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. a ,  b >. )
) )
24 df-ov 5709 . . . . 5  |-  ( a ( F  o.  D
) b )  =  ( ( F  o.  D ) `  <. a ,  b >. )
25 df-ov 5709 . . . . . 6  |-  ( a D b )  =  ( D `  <. a ,  b >. )
2625fveq2i 5356 . . . . 5  |-  ( F `
 ( a D b ) )  =  ( F `  ( D `  <. a ,  b >. ) )
2723, 24, 263eqtr4g 2157 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  D ) b )  =  ( F `
 ( a D b ) ) )
2827eqeq1d 2108 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a ( F  o.  D ) b )  =  0  <-> 
( F `  (
a D b ) )  =  0 ) )
29 fveq2 5353 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( a D b ) ) )
3029eqeq1d 2108 . . . . 5  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  ( F `  ( a D b ) )  =  0 ) )
31 eqeq1 2106 . . . . 5  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
x  =  0  <->  (
a D b )  =  0 ) )
3230, 31bibi12d 234 . . . 4  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  0 )  <-> 
( ( F `  ( a D b ) )  =  0  <-> 
( a D b )  =  0 ) ) )
33 comet.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  0 ) )
3433ralrimiva 2464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,] +oo )
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  0 ) )
3534adantr 272 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  ->  A. x  e.  (
0 [,] +oo )
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  0 ) )
3632, 35, 15rspcdva 2749 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( a D b ) )  =  0  <-> 
( a D b )  =  0 ) )
37 xmeteq0 12287 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( (
a D b )  =  0  <->  a  =  b ) )
38373expb 1150 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a D b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
392, 38sylan 279 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a D b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
4028, 36, 393bitrd 213 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a ( F  o.  D ) b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
416adantr 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  F : ( 0 [,] +oo ) --> RR* )
42153adantr3 1110 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4341, 42ffvelrnd 5488 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a D b ) )  e.  RR* )
4418adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  D : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] +oo ) )
45 simpr3 957 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
c  e.  X )
46 simpr1 955 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
a  e.  X )
4744, 45, 46fovrnd 5847 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c D a )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
48 simpr2 956 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
b  e.  X )
4944, 45, 48fovrnd 5847 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
50 ge0xaddcl 9607 . . . . . 6  |-  ( ( ( c D a )  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( c D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( ( c D a ) +e ( c D b ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5147, 49, 50syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( c D a ) +e
( c D b ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
5241, 51ffvelrnd 5488 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( c D a ) +e ( c D b ) ) )  e.  RR* )
5341, 47ffvelrnd 5488 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
c D a ) )  e.  RR* )
5441, 49ffvelrnd 5488 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
c D b ) )  e.  RR* )
5553, 54xaddcld 9508 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( c D a ) ) +e
( F `  (
c D b ) ) )  e.  RR* )
56 3anrot 935 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )  <->  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X )
)
57 xmettri2 12289 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( c  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) )
5856, 57sylan2br 284 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) )
592, 58sylan 279 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) )
60 comet.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  (
x  <_  y  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) ) )
6160ralrimivva 2473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( x  <_  y  ->  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) ) )
6261adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  A. x  e.  (
0 [,] +oo ) A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( x  <_  y  ->  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) ) )
63 breq1 3878 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
x  <_  y  <->  ( a D b )  <_ 
y ) )
6429breq1d 3885 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  y )  <->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y )
) )
6563, 64imbi12d 233 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( a D b )  ->  (
( x  <_  y  ->  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) )  <->  ( (
a D b )  <_  y  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y ) ) ) )
66 breq2 3879 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( c D a ) +e ( c D b ) )  -> 
( ( a D b )  <_  y  <->  ( a D b )  <_  ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
67 fveq2 5353 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( c D a ) +e ( c D b ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
6867breq2d 3887 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( c D a ) +e ( c D b ) )  -> 
( ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y )  <->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) +e
( c D b ) ) ) ) )
6966, 68imbi12d 233 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( c D a ) +e ( c D b ) )  -> 
( ( ( a D b )  <_ 
y  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  y )
)  <->  ( ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) +e
( c D b ) )  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) +e
( c D b ) ) ) ) ) )
7065, 69rspc2va 2757 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( a D b )  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( ( c D a ) +e
( c D b ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)  /\  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( x  <_  y  ->  ( F `  x
)  <_  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) +e
( c D b ) )  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) +e
( c D b ) ) ) ) )
7142, 51, 62, 70syl21anc 1183 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( a D b )  <_  (
( c D a ) +e ( c D b ) )  ->  ( F `  ( a D b ) )  <_  ( F `  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
7259, 71mpd 13 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a D b ) )  <_  ( F `  ( ( c D a ) +e
( c D b ) ) ) )
73 comet.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,] +oo )
) )  ->  ( F `  ( x +e y ) )  <_  ( ( F `  x ) +e ( F `
 y ) ) )
7473ralrimivva 2473 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( F `  (
x +e y ) )  <_  (
( F `  x
) +e ( F `  y ) ) )
7574adantr 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  A. x  e.  (
0 [,] +oo ) A. y  e.  (
0 [,] +oo )
( F `  (
x +e y ) )  <_  (
( F `  x
) +e ( F `  y ) ) )
76 fvoveq1 5729 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  ( F `  ( x +e y ) )  =  ( F `
 ( ( c D a ) +e y ) ) )
77 fveq2 5353 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( c D a ) ) )
7877oveq1d 5721 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  (
( F `  x
) +e ( F `  y ) )  =  ( ( F `  ( c D a ) ) +e ( F `
 y ) ) )
7976, 78breq12d 3888 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( c D a )  ->  (
( F `  (
x +e y ) )  <_  (
( F `  x
) +e ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( ( c D a ) +e
y ) )  <_ 
( ( F `  ( c D a ) ) +e
( F `  y
) ) ) )
80 oveq2 5714 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  (
( c D a ) +e y )  =  ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
8180fveq2d 5357 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  ( F `  ( (
c D a ) +e y ) )  =  ( F `
 ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
82 fveq2 5353 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( c D b ) ) )
8382oveq2d 5722 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  (
( F `  (
c D a ) ) +e ( F `  y ) )  =  ( ( F `  ( c D a ) ) +e ( F `
 ( c D b ) ) ) )
8481, 83breq12d 3888 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( c D b )  ->  (
( F `  (
( c D a ) +e y ) )  <_  (
( F `  (
c D a ) ) +e ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( ( c D a ) +e
( c D b ) ) )  <_ 
( ( F `  ( c D a ) ) +e
( F `  (
c D b ) ) ) ) )
8579, 84rspc2va 2757 . . . . 5  |-  ( ( ( ( c D a )  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  ( c D b )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  A. x  e.  ( 0 [,] +oo ) A. y  e.  ( 0 [,] +oo )
( F `  (
x +e y ) )  <_  (
( F `  x
) +e ( F `  y ) ) )  ->  ( F `  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) )  <_  ( ( F `  ( c D a ) ) +e ( F `
 ( c D b ) ) ) )
8647, 49, 75, 85syl21anc 1183 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( c D a ) +e ( c D b ) ) )  <_  (
( F `  (
c D a ) ) +e ( F `  ( c D b ) ) ) )
8743, 52, 55, 72, 86xrletrd 9436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a D b ) )  <_  ( ( F `  ( c D a ) ) +e ( F `
 ( c D b ) ) ) )
88273adantr3 1110 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  D ) b )  =  ( F `
 ( a D b ) ) )
898adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
9045, 46opelxpd 4510 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  <. c ,  a >.  e.  ( X  X.  X
) )
91 fvco3 5424 . . . . . 6  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  <. c ,  a
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  a >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  a >. )
) )
9289, 90, 91syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  a >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  a >. )
) )
93 df-ov 5709 . . . . 5  |-  ( c ( F  o.  D
) a )  =  ( ( F  o.  D ) `  <. c ,  a >. )
94 df-ov 5709 . . . . . 6  |-  ( c D a )  =  ( D `  <. c ,  a >. )
9594fveq2i 5356 . . . . 5  |-  ( F `
 ( c D a ) )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  a >. ) )
9692, 93, 953eqtr4g 2157 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c ( F  o.  D ) a )  =  ( F `
 ( c D a ) ) )
9745, 48opelxpd 4510 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  <. c ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
98 fvco3 5424 . . . . . 6  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  <. c ,  b
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  b >. )
) )
9989, 97, 98syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  D ) `  <. c ,  b >. )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  b >. )
) )
100 df-ov 5709 . . . . 5  |-  ( c ( F  o.  D
) b )  =  ( ( F  o.  D ) `  <. c ,  b >. )
101 df-ov 5709 . . . . . 6  |-  ( c D b )  =  ( D `  <. c ,  b >. )
102101fveq2i 5356 . . . . 5  |-  ( F `
 ( c D b ) )  =  ( F `  ( D `  <. c ,  b >. ) )
10399, 100, 1023eqtr4g 2157 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c ( F  o.  D ) b )  =  ( F `
 ( c D b ) ) )
10496, 103oveq12d 5724 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( c ( F  o.  D ) a ) +e
( c ( F  o.  D ) b ) )  =  ( ( F `  (
c D a ) ) +e ( F `  ( c D b ) ) ) )
10587, 88, 1043brtr4d 3905 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  D ) b )  <_  ( (
c ( F  o.  D ) a ) +e ( c ( F  o.  D
) b ) ) )
1065, 20, 40, 105isxmetd 12275 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  D
)  e.  ( *Met `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 930    = wceq 1299    e. wcel 1448   A.wral 2375   <.cop 3477   class class class wbr 3875    X. cxp 4475   dom cdm 4477    o. ccom 4481   Rel wrel 4482    Fn wfn 5054   -->wf 5055   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   0cc0 7500   +oocpnf 7669   RR*cxr 7671    <_ cle 7673   +ecxad 9398   [,]cicc 9515   *Metcxmet 11931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-map 6474  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-2 8637  df-xadd 9401  df-icc 9519  df-xmet 11939
This theorem is referenced by:  bdxmet  12429
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