ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmettri2 Unicode version
Theorem xmettri2 14948
Description: Triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmettri2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
Proof of Theorem xmettri2
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetrel 14930 . . . . . . . 8 |- Rel *Met
2 relelfvdm 5631 . . . . . . . 8 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
31, 2mpan 424 . . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
4 isxmet 14932 . . . . . . 7 |- ( X e. dom *Met -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
53, 4syl 14 . . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
65ibi 176 . . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
7 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) -> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
872ralimi 2572 . . . . 5 |- ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
96, 8simpl2im 386 . . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
10 oveq1 5974 . . . . . 6 |- ( x = A -> ( x D y ) = ( A D y ) )
11 oveq2 5975 . . . . . . 7 |- ( x = A -> ( z D x ) = ( z D A ) )
1211oveq1d 5982 . . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D A ) +e ( z D y ) ) )
1310, 12breq12d 4072 . . . . 5 |- ( x = A -> ( ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) <-> ( A D y ) <_ ( ( z D A ) +e ( z D y ) ) ) )
14 oveq2 5975 . . . . . 6 |- ( y = B -> ( A D y ) = ( A D B ) )
15 oveq2 5975 . . . . . . 7 |- ( y = B -> ( z D y ) = ( z D B ) )
1615oveq2d 5983 . . . . . 6 |- ( y = B -> ( ( z D A ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D A ) +e ( z D B ) ) )
1714, 16breq12d 4072 . . . . 5 |- ( y = B -> ( ( A D y ) <_ ( ( z D A ) +e ( z D y ) ) <-> ( A D B ) <_ ( ( z D A ) +e ( z D B ) ) ) )
18 oveq1 5974 . . . . . . 7 |- ( z = C -> ( z D A ) = ( C D A ) )
19 oveq1 5974 . . . . . . 7 |- ( z = C -> ( z D B ) = ( C D B ) )
2018, 19oveq12d 5985 . . . . . 6 |- ( z = C -> ( ( z D A ) +e ( z D B ) ) = ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
2120breq2d 4071 . . . . 5 |- ( z = C -> ( ( A D B ) <_ ( ( z D A ) +e ( z D B ) ) <-> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
2213, 17, 21rspc3v 2900 . . . 4 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
239, 22syl5 32 . . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
24233comr 1214 . 2 |- ( ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
2524impcom 125 1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   class class class wbr 4059   X. cxp 4691   dom cdm 4693   Rel wrel 4698   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   0cc0 7960   RR*cxr 8141   <_ cle 8143   +ecxad 9927   *Metcxmet 14413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-map 6760  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-xmet 14421
This theorem is referenced by:  mettri2  14949  xmetge0  14952  xmetsym  14955  xmetpsmet  14956  xmettri  14959  xmetres2  14966  xblss2  14992  xmstri2  15057  comet  15086  xmetxp  15094
  Copyright terms: Public domain W3C validator