ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmettri2 Unicode version

Theorem xmettri2 12567
Description: Triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmettri2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  <_  ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )

Proof of Theorem xmettri2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetrel 12549 . . . . . . . 8  |-  Rel  *Met
2 relelfvdm 5460 . . . . . . . 8  |-  ( ( Rel  *Met  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  ->  X  e.  dom  *Met )
31, 2mpan 421 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
4 isxmet 12551 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  dom  *Met  ->  ( D  e.  ( *Met `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
53, 4syl 14 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  e.  ( *Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
65ibi 175 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
7 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) )  ->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) +e
( z D y ) ) )
872ralimi 2499 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) +e
( z D y ) ) )
96, 8simpl2im 384 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) +e
( z D y ) ) )
10 oveq1 5788 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x D y )  =  ( A D y ) )
11 oveq2 5789 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
z D x )  =  ( z D A ) )
1211oveq1d 5796 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( z D x ) +e ( z D y ) )  =  ( ( z D A ) +e ( z D y ) ) )
1310, 12breq12d 3949 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) )  <-> 
( A D y )  <_  ( (
z D A ) +e ( z D y ) ) ) )
14 oveq2 5789 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( A D y )  =  ( A D B ) )
15 oveq2 5789 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  (
z D y )  =  ( z D B ) )
1615oveq2d 5797 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  (
( z D A ) +e ( z D y ) )  =  ( ( z D A ) +e ( z D B ) ) )
1714, 16breq12d 3949 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
( A D y )  <_  ( (
z D A ) +e ( z D y ) )  <-> 
( A D B )  <_  ( (
z D A ) +e ( z D B ) ) ) )
18 oveq1 5788 . . . . . . 7  |-  ( z  =  C  ->  (
z D A )  =  ( C D A ) )
19 oveq1 5788 . . . . . . 7  |-  ( z  =  C  ->  (
z D B )  =  ( C D B ) )
2018, 19oveq12d 5799 . . . . . 6  |-  ( z  =  C  ->  (
( z D A ) +e ( z D B ) )  =  ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
2120breq2d 3948 . . . . 5  |-  ( z  =  C  ->  (
( A D B )  <_  ( (
z D A ) +e ( z D B ) )  <-> 
( A D B )  <_  ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
2213, 17, 21rspc3v 2808 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) )  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
239, 22syl5 32 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( D  e.  ( *Met `  X
)  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
24233comr 1190 . 2  |-  ( ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( D  e.  ( *Met `  X
)  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
2524impcom 124 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  <_  ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   class class class wbr 3936    X. cxp 4544   dom cdm 4546   Rel wrel 4551   -->wf 5126   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   0cc0 7643   RR*cxr 7822    <_ cle 7824   +ecxad 9586   *Metcxmet 12186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-map 6551  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-xmet 12194
This theorem is referenced by:  mettri2  12568  xmetge0  12571  xmetsym  12574  xmetpsmet  12575  xmettri  12578  xmetres2  12585  xblss2  12611  xmstri2  12676  comet  12705  xmetxp  12713
  Copyright terms: Public domain W3C validator