ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmettri2 Unicode version
Theorem xmettri2 13240
Description: Triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmettri2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
Proof of Theorem xmettri2
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetrel 13222 . . . . . . . 8 |- Rel *Met
2 relelfvdm 5531 . . . . . . . 8 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
31, 2mpan 422 . . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
4 isxmet 13224 . . . . . . 7 |- ( X e. dom *Met -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
53, 4syl 14 . . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
65ibi 175 . . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
7 simpr 109 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) -> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
872ralimi 2535 . . . . 5 |- ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
96, 8simpl2im 384 . . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
10 oveq1 5864 . . . . . 6 |- ( x = A -> ( x D y ) = ( A D y ) )
11 oveq2 5865 . . . . . . 7 |- ( x = A -> ( z D x ) = ( z D A ) )
1211oveq1d 5872 . . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D A ) +e ( z D y ) ) )
1310, 12breq12d 4003 . . . . 5 |- ( x = A -> ( ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) <-> ( A D y ) <_ ( ( z D A ) +e ( z D y ) ) ) )
14 oveq2 5865 . . . . . 6 |- ( y = B -> ( A D y ) = ( A D B ) )
15 oveq2 5865 . . . . . . 7 |- ( y = B -> ( z D y ) = ( z D B ) )
1615oveq2d 5873 . . . . . 6 |- ( y = B -> ( ( z D A ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D A ) +e ( z D B ) ) )
1714, 16breq12d 4003 . . . . 5 |- ( y = B -> ( ( A D y ) <_ ( ( z D A ) +e ( z D y ) ) <-> ( A D B ) <_ ( ( z D A ) +e ( z D B ) ) ) )
18 oveq1 5864 . . . . . . 7 |- ( z = C -> ( z D A ) = ( C D A ) )
19 oveq1 5864 . . . . . . 7 |- ( z = C -> ( z D B ) = ( C D B ) )
2018, 19oveq12d 5875 . . . . . 6 |- ( z = C -> ( ( z D A ) +e ( z D B ) ) = ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
2120breq2d 4002 . . . . 5 |- ( z = C -> ( ( A D B ) <_ ( ( z D A ) +e ( z D B ) ) <-> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
2213, 17, 21rspc3v 2851 . . . 4 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
239, 22syl5 32 . . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
24233comr 1207 . 2 |- ( ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
2524impcom 124 1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 974   = wceq 1349   e. wcel 2142   A.wral 2449   class class class wbr 3990   X. cxp 4610   dom cdm 4612   Rel wrel 4617   -->wf 5196   ` cfv 5200  (class class class)co 5857   0cc0 7778   RR*cxr 7957   <_ cle 7959   +ecxad 9731   *Metcxmet 12859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-ral 2454  df-rex 2455  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4279  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-fv 5208  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-map 6632  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-xmet 12867
This theorem is referenced by:  mettri2  13241  xmetge0  13244  xmetsym  13247  xmetpsmet  13248  xmettri  13251  xmetres2  13258  xblss2  13284  xmstri2  13349  comet  13378  xmetxp  13386
  Copyright terms: Public domain W3C validator