Theorem xmettri2 12530

Description: Triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmettri2	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )

Proof of Theorem xmettri2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetrel 12512	. . . . . . . 8 |- Rel *Met
2		relelfvdm 5453	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
3	1, 2	mpan 420	. . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
4		isxmet 12514	. . . . . . 7 |- ( X e. dom *Met -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
6	5	ibi 175	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
7		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) -> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
8	7	2ralimi 2496	. . . . 5 |- ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
9	6, 8	simpl2im 383	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
10		oveq1 5781	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x D y ) = ( A D y ) )
11		oveq2 5782	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( z D x ) = ( z D A ) )
12	11	oveq1d 5789	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D A ) +e ( z D y ) ) )
13	10, 12	breq12d 3942	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) <-> ( A D y ) <_ ( ( z D A ) +e ( z D y ) ) ) )
14		oveq2 5782	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( A D y ) = ( A D B ) )
15		oveq2 5782	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( z D y ) = ( z D B ) )
16	15	oveq2d 5790	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( ( z D A ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D A ) +e ( z D B ) ) )
17	14, 16	breq12d 3942	. . . . 5 |- ( y = B -> ( ( A D y ) <_ ( ( z D A ) +e ( z D y ) ) <-> ( A D B ) <_ ( ( z D A ) +e ( z D B ) ) ) )
18		oveq1 5781	. . . . . . 7 |- ( z = C -> ( z D A ) = ( C D A ) )
19		oveq1 5781	. . . . . . 7 |- ( z = C -> ( z D B ) = ( C D B ) )
20	18, 19	oveq12d 5792	. . . . . 6 |- ( z = C -> ( ( z D A ) +e ( z D B ) ) = ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
21	20	breq2d 3941	. . . . 5 |- ( z = C -> ( ( A D B ) <_ ( ( z D A ) +e ( z D B ) ) <-> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
22	13, 17, 21	rspc3v 2805	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
23	9, 22	syl5 32	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
24	23	3comr 1189	. 2 |- ( ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
25	24	impcom 124	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   class class class wbr 3929   X. cxp 4537   dom cdm 4539   Rel wrel 4544   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   0cc0 7620   RR*cxr 7799   <_ cle 7801   +ecxad 9557   *Metcxmet 12149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-xmet 12157

This theorem is referenced by:  mettri2  12531  xmetge0  12534  xmetsym  12537  xmetpsmet  12538  xmettri  12541  xmetres2  12548  xblss2  12574  xmstri2  12639  comet  12668  xmetxp  12676