ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmettri2 Unicode version
Theorem xmettri2 14313
Description: Triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmettri2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
Proof of Theorem xmettri2
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetrel 14295 . . . . . . . 8 |- Rel *Met
2 relelfvdm 5566 . . . . . . . 8 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
31, 2mpan 424 . . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
4 isxmet 14297 . . . . . . 7 |- ( X e. dom *Met -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
53, 4syl 14 . . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
65ibi 176 . . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
7 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) -> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
872ralimi 2554 . . . . 5 |- ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
96, 8simpl2im 386 . . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
10 oveq1 5902 . . . . . 6 |- ( x = A -> ( x D y ) = ( A D y ) )
11 oveq2 5903 . . . . . . 7 |- ( x = A -> ( z D x ) = ( z D A ) )
1211oveq1d 5910 . . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D A ) +e ( z D y ) ) )
1310, 12breq12d 4031 . . . . 5 |- ( x = A -> ( ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) <-> ( A D y ) <_ ( ( z D A ) +e ( z D y ) ) ) )
14 oveq2 5903 . . . . . 6 |- ( y = B -> ( A D y ) = ( A D B ) )
15 oveq2 5903 . . . . . . 7 |- ( y = B -> ( z D y ) = ( z D B ) )
1615oveq2d 5911 . . . . . 6 |- ( y = B -> ( ( z D A ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D A ) +e ( z D B ) ) )
1714, 16breq12d 4031 . . . . 5 |- ( y = B -> ( ( A D y ) <_ ( ( z D A ) +e ( z D y ) ) <-> ( A D B ) <_ ( ( z D A ) +e ( z D B ) ) ) )
18 oveq1 5902 . . . . . . 7 |- ( z = C -> ( z D A ) = ( C D A ) )
19 oveq1 5902 . . . . . . 7 |- ( z = C -> ( z D B ) = ( C D B ) )
2018, 19oveq12d 5913 . . . . . 6 |- ( z = C -> ( ( z D A ) +e ( z D B ) ) = ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
2120breq2d 4030 . . . . 5 |- ( z = C -> ( ( A D B ) <_ ( ( z D A ) +e ( z D B ) ) <-> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
2213, 17, 21rspc3v 2872 . . . 4 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
239, 22syl5 32 . . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
24233comr 1213 . 2 |- ( ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
2524impcom 125 1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   class class class wbr 4018   X. cxp 4642   dom cdm 4644   Rel wrel 4649   -->wf 5231   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   0cc0 7840   RR*cxr 8020   <_ cle 8022   +ecxad 9799   *Metcxmet 13846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-map 6675  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-xmet 13854
This theorem is referenced by:  mettri2  14314  xmetge0  14317  xmetsym  14320  xmetpsmet  14321  xmettri  14324  xmetres2  14331  xblss2  14357  xmstri2  14422  comet  14451  xmetxp  14459
  Copyright terms: Public domain W3C validator