Theorem xmettri2 15243

Description: Triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmettri2	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )

Proof of Theorem xmettri2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetrel 15225	. . . . . . . 8 |- Rel *Met
2		relelfvdm 5704	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
3	1, 2	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
4		isxmet 15227	. . . . . . 7 |- ( X e. dom *Met -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
6	5	ibi 176	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
7		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) -> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
8	7	2ralimi 2608	. . . . 5 |- ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
9	6, 8	simpl2im 386	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
10		oveq1 6059	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x D y ) = ( A D y ) )
11		oveq2 6060	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( z D x ) = ( z D A ) )
12	11	oveq1d 6067	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D A ) +e ( z D y ) ) )
13	10, 12	breq12d 4124	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) <-> ( A D y ) <_ ( ( z D A ) +e ( z D y ) ) ) )
14		oveq2 6060	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( A D y ) = ( A D B ) )
15		oveq2 6060	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( z D y ) = ( z D B ) )
16	15	oveq2d 6068	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( ( z D A ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D A ) +e ( z D B ) ) )
17	14, 16	breq12d 4124	. . . . 5 |- ( y = B -> ( ( A D y ) <_ ( ( z D A ) +e ( z D y ) ) <-> ( A D B ) <_ ( ( z D A ) +e ( z D B ) ) ) )
18		oveq1 6059	. . . . . . 7 |- ( z = C -> ( z D A ) = ( C D A ) )
19		oveq1 6059	. . . . . . 7 |- ( z = C -> ( z D B ) = ( C D B ) )
20	18, 19	oveq12d 6070	. . . . . 6 |- ( z = C -> ( ( z D A ) +e ( z D B ) ) = ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
21	20	breq2d 4123	. . . . 5 |- ( z = C -> ( ( A D B ) <_ ( ( z D A ) +e ( z D B ) ) <-> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
22	13, 17, 21	rspc3v 2939	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
23	9, 22	syl5 32	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
24	23	3comr 1238	. 2 |- ( ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
25	24	impcom 125	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   class class class wbr 4111   X. cxp 4749   dom cdm 4751   Rel wrel 4756   -->wf 5350   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   0cc0 8129   RR*cxr 8309   <_ cle 8311   +ecxad 10106   *Metcxmet 14701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-map 6886  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-xmet 14709

This theorem is referenced by:  mettri2  15244  xmetge0  15247  xmetsym  15250  xmetpsmet  15251  xmettri  15254  xmetres2  15261  xblss2  15287  xmstri2  15352  comet  15381  xmetxp  15389