Theorem xnegmnf 9986

Description: Minus -oo. Remark of [BourbakiTop1] p. IV.15. (Contributed by FL, 26-Dec-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegmnf	|- -e -oo = +oo

Proof of Theorem xnegmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 9929	. 2 |- -e -oo = if ( -oo = +oo , -oo , if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo ) )
2		mnfnepnf 8163	. . 3 |- -oo =/= +oo
3		ifnefalse 3590	. . 3 |- ( -oo =/= +oo -> if ( -oo = +oo , -oo , if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo ) ) = if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- if ( -oo = +oo , -oo , if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo ) ) = if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo )
5		eqid 2207	. . 3 |- -oo = -oo
6	5	iftruei 3585	. 2 |- if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo ) = +oo
7	1, 4, 6	3eqtri 2232	1 |- -e -oo = +oo

Syntax hints:   = wceq 1373   =/= wne 2378   ifcif 3579   +oocpnf 8139   -oocmnf 8140   -ucneg 8279   -ecxne 9926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-un 4498  ax-cnex 8051

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-uni 3865  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-xneg 9929

This theorem is referenced by:  xnegcl  9989  xnegneg  9990  xltnegi  9992  xnegid  10016  xnegdi  10025  xsubge0  10038  xposdif  10039