Theorem xnegmnf 9921

Description: Minus -oo. Remark of [BourbakiTop1] p. IV.15. (Contributed by FL, 26-Dec-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegmnf	|- -e -oo = +oo

Proof of Theorem xnegmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 9864	. 2 |- -e -oo = if ( -oo = +oo , -oo , if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo ) )
2		mnfnepnf 8099	. . 3 |- -oo =/= +oo
3		ifnefalse 3573	. . 3 |- ( -oo =/= +oo -> if ( -oo = +oo , -oo , if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo ) ) = if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- if ( -oo = +oo , -oo , if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo ) ) = if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo )
5		eqid 2196	. . 3 |- -oo = -oo
6	5	iftruei 3568	. 2 |- if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo ) = +oo
7	1, 4, 6	3eqtri 2221	1 |- -e -oo = +oo

Syntax hints:   = wceq 1364   =/= wne 2367   ifcif 3562   +oocpnf 8075   -oocmnf 8076   -ucneg 8215   -ecxne 9861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-un 4469  ax-cnex 7987

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-xneg 9864

This theorem is referenced by:  xnegcl  9924  xnegneg  9925  xltnegi  9927  xnegid  9951  xnegdi  9960  xsubge0  9973  xposdif  9974