Theorem xnegmnf 9352

Description: Minus -oo. Remark of [BourbakiTop1] p. IV.15. (Contributed by FL, 26-Dec-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegmnf	|- -e -oo = +oo

Proof of Theorem xnegmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 9304	. 2 |- -e -oo = if ( -oo = +oo , -oo , if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo ) )
2		mnfnepnf 7604	. . 3 |- -oo =/= +oo
3		ifnefalse 3408	. . 3 |- ( -oo =/= +oo -> if ( -oo = +oo , -oo , if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo ) ) = if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo ) )
4	2, 3	ax-mp 7	. 2 |- if ( -oo = +oo , -oo , if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo ) ) = if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo )
5		eqid 2089	. . 3 |- -oo = -oo
6	5	iftruei 3403	. 2 |- if ( -oo = -oo , +oo , -u -oo ) = +oo
7	1, 4, 6	3eqtri 2113	1 |- -e -oo = +oo

Syntax hints:   = wceq 1290   =/= wne 2256   ifcif 3397   +oocpnf 7580   -oocmnf 7581   -ucneg 7715   -ecxne 9301

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-un 4269  ax-cnex 7497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-uni 3660  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-xneg 9304

This theorem is referenced by:  xnegcl  9355  xnegneg  9356  xltnegi  9358