Theorem xsubge0 9554

Description: Extended real version of subge0 8153. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xsubge0	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( 0 <_ ( A +e -e B ) <-> B <_ A ) )

Proof of Theorem xsubge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9453	. 2 |- ( B e. RR* <-> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
2		0xr 7733	. . . . 5 |- 0 e. RR*
3		rexr 7732	. . . . . 6 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
4		xnegcl 9505	. . . . . . 7 |- ( B e. RR* -> -e B e. RR* )
5		xaddcl 9533	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> ( A +e -e B ) e. RR* )
6	4, 5	sylan2 282	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A +e -e B ) e. RR* )
7	3, 6	sylan2 282	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A +e -e B ) e. RR* )
8		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> B e. RR )
9		xleadd1 9548	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( A +e -e B ) e. RR* /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A +e -e B ) <-> ( 0 +e B ) <_ ( ( A +e -e B ) +e B ) ) )
10	2, 7, 8, 9	mp3an2i 1303	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A +e -e B ) <-> ( 0 +e B ) <_ ( ( A +e -e B ) +e B ) ) )
11	3	adantl 273	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> B e. RR* )
12		xaddid2 9536	. . . . . 6 |- ( B e. RR* -> ( 0 +e B ) = B )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( 0 +e B ) = B )
14		xnpcan 9545	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e B ) = A )
15	13, 14	breq12d 3908	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( 0 +e B ) <_ ( ( A +e -e B ) +e B ) <-> B <_ A ) )
16	10, 15	bitrd 187	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A +e -e B ) <-> B <_ A ) )
17		pnfxr 7739	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
18		xrletri3 9478	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A = +oo <-> ( A <_ +oo /\ +oo <_ A ) ) )
19	17, 18	mpan2 419	. . . . . 6 |- ( A e. RR* -> ( A = +oo <-> ( A <_ +oo /\ +oo <_ A ) ) )
20		rexr 7732	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
21		renepnf 7734	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> A =/= +oo )
22		xaddmnf1 9521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= +oo ) -> ( A +e -oo ) = -oo )
23	20, 21, 22	syl2anc 406	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( A +e -oo ) = -oo )
24		mnflt0 9460	. . . . . . . . . . . . 13 |- -oo < 0
25		mnfxr 7743	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -oo e. RR*
26		xrlenlt 7750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> ( 0 <_ -oo <-> -. -oo < 0 ) )
27	2, 25, 26	mp2an 420	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 <_ -oo <-> -. -oo < 0 )
28	27	biimpi 119	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 <_ -oo -> -. -oo < 0 )
29	24, 28	mt2 612	. . . . . . . . . . . 12 |- -. 0 <_ -oo
30		breq2 3899	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A +e -oo ) = -oo -> ( 0 <_ ( A +e -oo ) <-> 0 <_ -oo ) )
31	29, 30	mtbiri 647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A +e -oo ) = -oo -> -. 0 <_ ( A +e -oo ) )
32	31	pm2.21d 591	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A +e -oo ) = -oo -> ( 0 <_ ( A +e -oo ) -> A = +oo ) )
33	23, 32	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ ( A +e -oo ) -> A = +oo ) )
34	33	adantl 273	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ ( A +e -oo ) -> A = +oo ) )
35		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ A = +oo ) -> A = +oo )
36	35	a1d 22	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ A = +oo ) -> ( 0 <_ ( A +e -oo ) -> A = +oo ) )
37		eleq1 2177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = -oo -> ( A e. RR* <-> -oo e. RR* ) )
38	25, 37	mpbiri 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = -oo -> A e. RR* )
39		mnfnepnf 7742	. . . . . . . . . . . 12 |- -oo =/= +oo
40		neeq1 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = -oo -> ( A =/= +oo <-> -oo =/= +oo ) )
41	39, 40	mpbiri 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = -oo -> A =/= +oo )
42	38, 41, 22	syl2anc 406	. . . . . . . . . 10 |- ( A = -oo -> ( A +e -oo ) = -oo )
43	42, 32	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A = -oo -> ( 0 <_ ( A +e -oo ) -> A = +oo ) )
44	43	adantl 273	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ A = -oo ) -> ( 0 <_ ( A +e -oo ) -> A = +oo ) )
45		elxr 9453	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
46	45	biimpi 119	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
47	34, 36, 44, 46	mpjao3dan 1268	. . . . . . 7 |- ( A e. RR* -> ( 0 <_ ( A +e -oo ) -> A = +oo ) )
48		0le0 8716	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 0
49		oveq1 5735	. . . . . . . . 9 |- ( A = +oo -> ( A +e -oo ) = ( +oo +e -oo ) )
50		pnfaddmnf 9523	. . . . . . . . 9 |- ( +oo +e -oo ) = 0
51	49, 50	syl6eq 2163	. . . . . . . 8 |- ( A = +oo -> ( A +e -oo ) = 0 )
52	48, 51	breqtrrid 3931	. . . . . . 7 |- ( A = +oo -> 0 <_ ( A +e -oo ) )
53	47, 52	impbid1 141	. . . . . 6 |- ( A e. RR* -> ( 0 <_ ( A +e -oo ) <-> A = +oo ) )
54		pnfge 9465	. . . . . . 7 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
55	54	biantrurd 301	. . . . . 6 |- ( A e. RR* -> ( +oo <_ A <-> ( A <_ +oo /\ +oo <_ A ) ) )
56	19, 53, 55	3bitr4d 219	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> ( 0 <_ ( A +e -oo ) <-> +oo <_ A ) )
57	56	adantr 272	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B = +oo ) -> ( 0 <_ ( A +e -oo ) <-> +oo <_ A ) )
58		xnegeq 9500	. . . . . . . 8 |- ( B = +oo -> -e B = -e +oo )
59		xnegpnf 9501	. . . . . . . 8 |- -e +oo = -oo
60	58, 59	syl6eq 2163	. . . . . . 7 |- ( B = +oo -> -e B = -oo )
61	60	adantl 273	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B = +oo ) -> -e B = -oo )
62	61	oveq2d 5744	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B = +oo ) -> ( A +e -e B ) = ( A +e -oo ) )
63	62	breq2d 3907	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B = +oo ) -> ( 0 <_ ( A +e -e B ) <-> 0 <_ ( A +e -oo ) ) )
64		breq1 3898	. . . . 5 |- ( B = +oo -> ( B <_ A <-> +oo <_ A ) )
65	64	adantl 273	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B = +oo ) -> ( B <_ A <-> +oo <_ A ) )
66	57, 63, 65	3bitr4d 219	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B = +oo ) -> ( 0 <_ ( A +e -e B ) <-> B <_ A ) )
67		oveq1 5735	. . . . . . . . . 10 |- ( A = -oo -> ( A +e +oo ) = ( -oo +e +oo ) )
68		mnfaddpnf 9524	. . . . . . . . . 10 |- ( -oo +e +oo ) = 0
69	67, 68	syl6eq 2163	. . . . . . . . 9 |- ( A = -oo -> ( A +e +oo ) = 0 )
70	69	adantl 273	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ A = -oo ) -> ( A +e +oo ) = 0 )
71	48, 70	breqtrrid 3931	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ A = -oo ) -> 0 <_ ( A +e +oo ) )
72		df-ne 2283	. . . . . . . 8 |- ( A =/= -oo <-> -. A = -oo )
73		0lepnf 9466	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ +oo
74		xaddpnf1 9519	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) -> ( A +e +oo ) = +oo )
75	73, 74	breqtrrid 3931	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) -> 0 <_ ( A +e +oo ) )
76	72, 75	sylan2br 284	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ -. A = -oo ) -> 0 <_ ( A +e +oo ) )
77		xrmnfdc 9516	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> DECID A = -oo )
78		exmiddc 804	. . . . . . . 8 |- (DECID A = -oo -> ( A = -oo \/ -. A = -oo ) )
79	77, 78	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A e. RR* -> ( A = -oo \/ -. A = -oo ) )
80	71, 76, 79	mpjaodan 770	. . . . . 6 |- ( A e. RR* -> 0 <_ ( A +e +oo ) )
81		mnfle 9468	. . . . . 6 |- ( A e. RR* -> -oo <_ A )
82	80, 81	2thd 174	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> ( 0 <_ ( A +e +oo ) <-> -oo <_ A ) )
83	82	adantr 272	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B = -oo ) -> ( 0 <_ ( A +e +oo ) <-> -oo <_ A ) )
84		xnegeq 9500	. . . . . . . 8 |- ( B = -oo -> -e B = -e -oo )
85		xnegmnf 9502	. . . . . . . 8 |- -e -oo = +oo
86	84, 85	syl6eq 2163	. . . . . . 7 |- ( B = -oo -> -e B = +oo )
87	86	adantl 273	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B = -oo ) -> -e B = +oo )
88	87	oveq2d 5744	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B = -oo ) -> ( A +e -e B ) = ( A +e +oo ) )
89	88	breq2d 3907	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B = -oo ) -> ( 0 <_ ( A +e -e B ) <-> 0 <_ ( A +e +oo ) ) )
90		breq1 3898	. . . . 5 |- ( B = -oo -> ( B <_ A <-> -oo <_ A ) )
91	90	adantl 273	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B = -oo ) -> ( B <_ A <-> -oo <_ A ) )
92	83, 89, 91	3bitr4d 219	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B = -oo ) -> ( 0 <_ ( A +e -e B ) <-> B <_ A ) )
93	16, 66, 92	3jaodan 1267	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) ) -> ( 0 <_ ( A +e -e B ) <-> B <_ A ) )
94	1, 93	sylan2b 283	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( 0 <_ ( A +e -e B ) <-> B <_ A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 680  DECID wdc 802   \/ w3o 944   = wceq 1314   e. wcel 1463   =/= wne 2282   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728   RRcr 7543   0cc0 7544   +oocpnf 7718   -oocmnf 7719   RR*cxr 7720   < clt 7721   <_ cle 7722   -ecxne 9446   +ecxad 9447

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7633  ax-resscn 7634  ax-1cn 7635  ax-1re 7636  ax-icn 7637  ax-addcl 7638  ax-addrcl 7639  ax-mulcl 7640  ax-addcom 7642  ax-addass 7644  ax-distr 7646  ax-i2m1 7647  ax-0id 7650  ax-rnegex 7651  ax-cnre 7653  ax-pre-ltirr 7654  ax-pre-apti 7657  ax-pre-ltadd 7658

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-pnf 7723  df-mnf 7724  df-xr 7725  df-ltxr 7726  df-le 7727  df-sub 7855  df-neg 7856  df-xneg 9449  df-xadd 9450

This theorem is referenced by:  ssblps  12411  ssbl  12412