Theorem xnegcl 9868

Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegcl	|- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )

Proof of Theorem xnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9812	. 2 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
2		rexneg 9866	. . . . 5 |- ( A e. RR -> -e A = -u A )
3		renegcl 8253	. . . . 5 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
4	2, 3	eqeltrd 2266	. . . 4 |- ( A e. RR -> -e A e. RR )
5	4	rexrd 8042	. . 3 |- ( A e. RR -> -e A e. RR* )
6		xnegeq 9863	. . . 4 |- ( A = +oo -> -e A = -e +oo )
7		xnegpnf 9864	. . . . 5 |- -e +oo = -oo
8		mnfxr 8049	. . . . 5 |- -oo e. RR*
9	7, 8	eqeltri 2262	. . . 4 |- -e +oo e. RR*
10	6, 9	eqeltrdi 2280	. . 3 |- ( A = +oo -> -e A e. RR* )
11		xnegeq 9863	. . . 4 |- ( A = -oo -> -e A = -e -oo )
12		xnegmnf 9865	. . . . 5 |- -e -oo = +oo
13		pnfxr 8045	. . . . 5 |- +oo e. RR*
14	12, 13	eqeltri 2262	. . . 4 |- -e -oo e. RR*
15	11, 14	eqeltrdi 2280	. . 3 |- ( A = -oo -> -e A e. RR* )
16	5, 10, 15	3jaoi 1314	. 2 |- ( ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) -> -e A e. RR* )
17	1, 16	sylbi 121	1 |- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2160   RRcr 7845   +oocpnf 8024   -oocmnf 8025   RR*cxr 8026   -ucneg 8164   -ecxne 9805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-sub 8165  df-neg 8166  df-xneg 9808

This theorem is referenced by:  xltneg  9872  xleneg  9873  xnegcld  9891  xnegdi  9904  xaddass2  9906  xleadd1  9911  xsubge0  9917  xrnegiso  11311  xrminmax  11314  xrmincl  11315  xrmin1inf  11316  xrmin2inf  11317  xrlemininf  11320  xrminltinf  11321