Theorem xnegcl 9831

Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegcl	|- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )

Proof of Theorem xnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9775	. 2 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
2		rexneg 9829	. . . . 5 |- ( A e. RR -> -e A = -u A )
3		renegcl 8217	. . . . 5 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
4	2, 3	eqeltrd 2254	. . . 4 |- ( A e. RR -> -e A e. RR )
5	4	rexrd 8006	. . 3 |- ( A e. RR -> -e A e. RR* )
6		xnegeq 9826	. . . 4 |- ( A = +oo -> -e A = -e +oo )
7		xnegpnf 9827	. . . . 5 |- -e +oo = -oo
8		mnfxr 8013	. . . . 5 |- -oo e. RR*
9	7, 8	eqeltri 2250	. . . 4 |- -e +oo e. RR*
10	6, 9	eqeltrdi 2268	. . 3 |- ( A = +oo -> -e A e. RR* )
11		xnegeq 9826	. . . 4 |- ( A = -oo -> -e A = -e -oo )
12		xnegmnf 9828	. . . . 5 |- -e -oo = +oo
13		pnfxr 8009	. . . . 5 |- +oo e. RR*
14	12, 13	eqeltri 2250	. . . 4 |- -e -oo e. RR*
15	11, 14	eqeltrdi 2268	. . 3 |- ( A = -oo -> -e A e. RR* )
16	5, 10, 15	3jaoi 1303	. 2 |- ( ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) -> -e A e. RR* )
17	1, 16	sylbi 121	1 |- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ w3o 977   = wceq 1353   e. wcel 2148   RRcr 7809   +oocpnf 7988   -oocmnf 7989   RR*cxr 7990   -ucneg 8128   -ecxne 9768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-sub 8129  df-neg 8130  df-xneg 9771

This theorem is referenced by:  xltneg  9835  xleneg  9836  xnegcld  9854  xnegdi  9867  xaddass2  9869  xleadd1  9874  xsubge0  9880  xrnegiso  11269  xrminmax  11272  xrmincl  11273  xrmin1inf  11274  xrmin2inf  11275  xrlemininf  11278  xrminltinf  11279