ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xnegcl Unicode version

Theorem xnegcl 9832
Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegcl  |-  ( A  e.  RR*  ->  -e
A  e.  RR* )

Proof of Theorem xnegcl
StepHypRef Expression
1 elxr 9776 . 2  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
2 rexneg 9830 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  -e
A  =  -u A
)
3 renegcl 8218 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
42, 3eqeltrd 2254 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  -e
A  e.  RR )
54rexrd 8007 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  -e
A  e.  RR* )
6 xnegeq 9827 . . . 4  |-  ( A  = +oo  ->  -e
A  =  -e +oo )
7 xnegpnf 9828 . . . . 5  |-  -e +oo  = -oo
8 mnfxr 8014 . . . . 5  |- -oo  e.  RR*
97, 8eqeltri 2250 . . . 4  |-  -e +oo  e.  RR*
106, 9eqeltrdi 2268 . . 3  |-  ( A  = +oo  ->  -e
A  e.  RR* )
11 xnegeq 9827 . . . 4  |-  ( A  = -oo  ->  -e
A  =  -e -oo )
12 xnegmnf 9829 . . . . 5  |-  -e -oo  = +oo
13 pnfxr 8010 . . . . 5  |- +oo  e.  RR*
1412, 13eqeltri 2250 . . . 4  |-  -e -oo  e.  RR*
1511, 14eqeltrdi 2268 . . 3  |-  ( A  = -oo  ->  -e
A  e.  RR* )
165, 10, 153jaoi 1303 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo )  ->  -e
A  e.  RR* )
171, 16sylbi 121 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  -e
A  e.  RR* )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ w3o 977    = wceq 1353    e. wcel 2148   RRcr 7810   +oocpnf 7989   -oocmnf 7990   RR*cxr 7991   -ucneg 8129    -ecxne 9769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-sub 8130  df-neg 8131  df-xneg 9772
This theorem is referenced by:  xltneg  9836  xleneg  9837  xnegcld  9855  xnegdi  9868  xaddass2  9870  xleadd1  9875  xsubge0  9881  xrnegiso  11270  xrminmax  11273  xrmincl  11274  xrmin1inf  11275  xrmin2inf  11276  xrlemininf  11279  xrminltinf  11280
  Copyright terms: Public domain W3C validator