ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xnegcl Unicode version

Theorem xnegcl 9868
Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegcl  |-  ( A  e.  RR*  ->  -e
A  e.  RR* )

Proof of Theorem xnegcl
StepHypRef Expression
1 elxr 9812 . 2  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
2 rexneg 9866 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  -e
A  =  -u A
)
3 renegcl 8253 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
42, 3eqeltrd 2266 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  -e
A  e.  RR )
54rexrd 8042 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  -e
A  e.  RR* )
6 xnegeq 9863 . . . 4  |-  ( A  = +oo  ->  -e
A  =  -e +oo )
7 xnegpnf 9864 . . . . 5  |-  -e +oo  = -oo
8 mnfxr 8049 . . . . 5  |- -oo  e.  RR*
97, 8eqeltri 2262 . . . 4  |-  -e +oo  e.  RR*
106, 9eqeltrdi 2280 . . 3  |-  ( A  = +oo  ->  -e
A  e.  RR* )
11 xnegeq 9863 . . . 4  |-  ( A  = -oo  ->  -e
A  =  -e -oo )
12 xnegmnf 9865 . . . . 5  |-  -e -oo  = +oo
13 pnfxr 8045 . . . . 5  |- +oo  e.  RR*
1412, 13eqeltri 2262 . . . 4  |-  -e -oo  e.  RR*
1511, 14eqeltrdi 2280 . . 3  |-  ( A  = -oo  ->  -e
A  e.  RR* )
165, 10, 153jaoi 1314 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo )  ->  -e
A  e.  RR* )
171, 16sylbi 121 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  -e
A  e.  RR* )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ w3o 979    = wceq 1364    e. wcel 2160   RRcr 7845   +oocpnf 8024   -oocmnf 8025   RR*cxr 8026   -ucneg 8164    -ecxne 9805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-sub 8165  df-neg 8166  df-xneg 9808
This theorem is referenced by:  xltneg  9872  xleneg  9873  xnegcld  9891  xnegdi  9904  xaddass2  9906  xleadd1  9911  xsubge0  9917  xrnegiso  11311  xrminmax  11314  xrmincl  11315  xrmin1inf  11316  xrmin2inf  11317  xrlemininf  11320  xrminltinf  11321
  Copyright terms: Public domain W3C validator