ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xnegcl Unicode version

Theorem xnegcl 9294
Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegcl  |-  ( A  e.  RR*  ->  -e
A  e.  RR* )

Proof of Theorem xnegcl
StepHypRef Expression
1 elxr 9247 . 2  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
2 rexneg 9292 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  -e
A  =  -u A
)
3 renegcl 7743 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
42, 3eqeltrd 2164 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  -e
A  e.  RR )
54rexrd 7537 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  -e
A  e.  RR* )
6 xnegeq 9289 . . . 4  |-  ( A  = +oo  ->  -e
A  =  -e +oo )
7 xnegpnf 9290 . . . . 5  |-  -e +oo  = -oo
8 mnfxr 7544 . . . . 5  |- -oo  e.  RR*
97, 8eqeltri 2160 . . . 4  |-  -e +oo  e.  RR*
106, 9syl6eqel 2178 . . 3  |-  ( A  = +oo  ->  -e
A  e.  RR* )
11 xnegeq 9289 . . . 4  |-  ( A  = -oo  ->  -e
A  =  -e -oo )
12 xnegmnf 9291 . . . . 5  |-  -e -oo  = +oo
13 pnfxr 7540 . . . . 5  |- +oo  e.  RR*
1412, 13eqeltri 2160 . . . 4  |-  -e -oo  e.  RR*
1511, 14syl6eqel 2178 . . 3  |-  ( A  = -oo  ->  -e
A  e.  RR* )
165, 10, 153jaoi 1239 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo )  ->  -e
A  e.  RR* )
171, 16sylbi 119 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  -e
A  e.  RR* )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ w3o 923    = wceq 1289    e. wcel 1438   RRcr 7349   +oocpnf 7519   -oocmnf 7520   RR*cxr 7521   -ucneg 7654    -ecxne 9240
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-sub 7655  df-neg 7656  df-xneg 9243
This theorem is referenced by:  xltneg  9298  xleneg  9299  xnegcld  9304
  Copyright terms: Public domain W3C validator