Theorem xnegcl 9907

Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegcl	|- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )

Proof of Theorem xnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9851	. 2 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
2		rexneg 9905	. . . . 5 |- ( A e. RR -> -e A = -u A )
3		renegcl 8287	. . . . 5 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
4	2, 3	eqeltrd 2273	. . . 4 |- ( A e. RR -> -e A e. RR )
5	4	rexrd 8076	. . 3 |- ( A e. RR -> -e A e. RR* )
6		xnegeq 9902	. . . 4 |- ( A = +oo -> -e A = -e +oo )
7		xnegpnf 9903	. . . . 5 |- -e +oo = -oo
8		mnfxr 8083	. . . . 5 |- -oo e. RR*
9	7, 8	eqeltri 2269	. . . 4 |- -e +oo e. RR*
10	6, 9	eqeltrdi 2287	. . 3 |- ( A = +oo -> -e A e. RR* )
11		xnegeq 9902	. . . 4 |- ( A = -oo -> -e A = -e -oo )
12		xnegmnf 9904	. . . . 5 |- -e -oo = +oo
13		pnfxr 8079	. . . . 5 |- +oo e. RR*
14	12, 13	eqeltri 2269	. . . 4 |- -e -oo e. RR*
15	11, 14	eqeltrdi 2287	. . 3 |- ( A = -oo -> -e A e. RR* )
16	5, 10, 15	3jaoi 1314	. 2 |- ( ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) -> -e A e. RR* )
17	1, 16	sylbi 121	1 |- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2167   RRcr 7878   +oocpnf 8058   -oocmnf 8059   RR*cxr 8060   -ucneg 8198   -ecxne 9844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-sub 8199  df-neg 8200  df-xneg 9847

This theorem is referenced by:  xltneg  9911  xleneg  9912  xnegcld  9930  xnegdi  9943  xaddass2  9945  xleadd1  9950  xsubge0  9956  xrnegiso  11427  xrminmax  11430  xrmincl  11431  xrmin1inf  11432  xrmin2inf  11433  xrlemininf  11436  xrminltinf  11437