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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > xnegdi | Unicode version |
Description: Extended real version of negdi 8204. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
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xnegdi |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elxr 9763 |
. 2
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2 | elxr 9763 |
. . . 4
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3 | recn 7935 |
. . . . . . . 8
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4 | recn 7935 |
. . . . . . . 8
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5 | negdi 8204 |
. . . . . . . 8
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6 | 3, 4, 5 | syl2an 289 |
. . . . . . 7
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7 | readdcl 7928 |
. . . . . . . 8
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8 | rexneg 9817 |
. . . . . . . 8
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9 | 7, 8 | syl 14 |
. . . . . . 7
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10 | renegcl 8208 |
. . . . . . . 8
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11 | renegcl 8208 |
. . . . . . . 8
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12 | rexadd 9839 |
. . . . . . . 8
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13 | 10, 11, 12 | syl2an 289 |
. . . . . . 7
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14 | 6, 9, 13 | 3eqtr4d 2220 |
. . . . . 6
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15 | rexadd 9839 |
. . . . . . 7
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16 | xnegeq 9814 |
. . . . . . 7
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17 | 15, 16 | syl 14 |
. . . . . 6
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18 | rexneg 9817 |
. . . . . . 7
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19 | rexneg 9817 |
. . . . . . 7
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20 | 18, 19 | oveqan12d 5888 |
. . . . . 6
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21 | 14, 17, 20 | 3eqtr4d 2220 |
. . . . 5
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22 | xnegpnf 9815 |
. . . . . 6
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23 | oveq2 5877 |
. . . . . . . 8
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24 | rexr 7993 |
. . . . . . . . 9
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25 | renemnf 7996 |
. . . . . . . . 9
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26 | xaddpnf1 9833 |
. . . . . . . . 9
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27 | 24, 25, 26 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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28 | 23, 27 | sylan9eqr 2232 |
. . . . . . 7
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29 | xnegeq 9814 |
. . . . . . 7
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30 | 28, 29 | syl 14 |
. . . . . 6
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31 | xnegeq 9814 |
. . . . . . . . 9
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32 | 31, 22 | eqtrdi 2226 |
. . . . . . . 8
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33 | 32 | oveq2d 5885 |
. . . . . . 7
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34 | 18, 10 | eqeltrd 2254 |
. . . . . . . 8
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35 | rexr 7993 |
. . . . . . . . 9
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36 | renepnf 7995 |
. . . . . . . . 9
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37 | xaddmnf1 9835 |
. . . . . . . . 9
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38 | 35, 36, 37 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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39 | 34, 38 | syl 14 |
. . . . . . 7
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40 | 33, 39 | sylan9eqr 2232 |
. . . . . 6
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41 | 22, 30, 40 | 3eqtr4a 2236 |
. . . . 5
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42 | xnegmnf 9816 |
. . . . . 6
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43 | oveq2 5877 |
. . . . . . . 8
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44 | renepnf 7995 |
. . . . . . . . 9
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45 | xaddmnf1 9835 |
. . . . . . . . 9
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46 | 24, 44, 45 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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47 | 43, 46 | sylan9eqr 2232 |
. . . . . . 7
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48 | xnegeq 9814 |
. . . . . . 7
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49 | 47, 48 | syl 14 |
. . . . . 6
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50 | xnegeq 9814 |
. . . . . . . . 9
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51 | 50, 42 | eqtrdi 2226 |
. . . . . . . 8
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52 | 51 | oveq2d 5885 |
. . . . . . 7
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53 | renemnf 7996 |
. . . . . . . . 9
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54 | xaddpnf1 9833 |
. . . . . . . . 9
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55 | 35, 53, 54 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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56 | 34, 55 | syl 14 |
. . . . . . 7
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57 | 52, 56 | sylan9eqr 2232 |
. . . . . 6
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58 | 42, 49, 57 | 3eqtr4a 2236 |
. . . . 5
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59 | 21, 41, 58 | 3jaodan 1306 |
. . . 4
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60 | 2, 59 | sylan2b 287 |
. . 3
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61 | xneg0 9818 |
. . . . . . 7
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62 | simpr 110 |
. . . . . . . . . 10
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63 | 62 | oveq2d 5885 |
. . . . . . . . 9
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64 | pnfaddmnf 9837 |
. . . . . . . . 9
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65 | 63, 64 | eqtrdi 2226 |
. . . . . . . 8
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66 | xnegeq 9814 |
. . . . . . . 8
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67 | 65, 66 | syl 14 |
. . . . . . 7
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68 | 51 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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69 | 68 | oveq2d 5885 |
. . . . . . . 8
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70 | mnfaddpnf 9838 |
. . . . . . . 8
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71 | 69, 70 | eqtrdi 2226 |
. . . . . . 7
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72 | 61, 67, 71 | 3eqtr4a 2236 |
. . . . . 6
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73 | xaddpnf2 9834 |
. . . . . . . 8
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74 | xnegeq 9814 |
. . . . . . . 8
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75 | 73, 74 | syl 14 |
. . . . . . 7
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76 | xnegcl 9819 |
. . . . . . . 8
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77 | xnegeq 9814 |
. . . . . . . . . . . 12
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78 | 77, 22 | eqtrdi 2226 |
. . . . . . . . . . 11
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79 | xnegneg 9820 |
. . . . . . . . . . . 12
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80 | 79 | eqeq1d 2186 |
. . . . . . . . . . 11
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81 | 78, 80 | imbitrid 154 |
. . . . . . . . . 10
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82 | 81 | necon3d 2391 |
. . . . . . . . 9
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83 | 82 | imp 124 |
. . . . . . . 8
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84 | xaddmnf2 9836 |
. . . . . . . 8
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85 | 76, 83, 84 | syl2an2r 595 |
. . . . . . 7
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86 | 22, 75, 85 | 3eqtr4a 2236 |
. . . . . 6
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87 | xrmnfdc 9830 |
. . . . . . . 8
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88 | exmiddc 836 |
. . . . . . . 8
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89 | 87, 88 | syl 14 |
. . . . . . 7
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90 | df-ne 2348 |
. . . . . . . 8
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91 | 90 | orbi2i 762 |
. . . . . . 7
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92 | 89, 91 | sylibr 134 |
. . . . . 6
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93 | 72, 86, 92 | mpjaodan 798 |
. . . . 5
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94 | 93 | adantl 277 |
. . . 4
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95 | simpl 109 |
. . . . . 6
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96 | 95 | oveq1d 5884 |
. . . . 5
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97 | xnegeq 9814 |
. . . . 5
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98 | 96, 97 | syl 14 |
. . . 4
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99 | xnegeq 9814 |
. . . . . . 7
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100 | 99 | adantr 276 |
. . . . . 6
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101 | 100, 22 | eqtrdi 2226 |
. . . . 5
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102 | 101 | oveq1d 5884 |
. . . 4
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103 | 94, 98, 102 | 3eqtr4d 2220 |
. . 3
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104 | simpr 110 |
. . . . . . . . . 10
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105 | 104 | oveq2d 5885 |
. . . . . . . . 9
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106 | 105, 70 | eqtrdi 2226 |
. . . . . . . 8
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107 | xnegeq 9814 |
. . . . . . . 8
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108 | 106, 107 | syl 14 |
. . . . . . 7
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109 | 32 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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110 | 109 | oveq2d 5885 |
. . . . . . . 8
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111 | 110, 64 | eqtrdi 2226 |
. . . . . . 7
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112 | 61, 108, 111 | 3eqtr4a 2236 |
. . . . . 6
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113 | xaddmnf2 9836 |
. . . . . . . 8
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114 | xnegeq 9814 |
. . . . . . . 8
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115 | 113, 114 | syl 14 |
. . . . . . 7
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116 | xnegeq 9814 |
. . . . . . . . . . . 12
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117 | 116, 42 | eqtrdi 2226 |
. . . . . . . . . . 11
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118 | 79 | eqeq1d 2186 |
. . . . . . . . . . 11
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119 | 117, 118 | imbitrid 154 |
. . . . . . . . . 10
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120 | 119 | necon3d 2391 |
. . . . . . . . 9
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121 | 120 | imp 124 |
. . . . . . . 8
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122 | xaddpnf2 9834 |
. . . . . . . 8
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123 | 76, 121, 122 | syl2an2r 595 |
. . . . . . 7
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124 | 42, 115, 123 | 3eqtr4a 2236 |
. . . . . 6
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125 | xrpnfdc 9829 |
. . . . . . . 8
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126 | exmiddc 836 |
. . . . . . . 8
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127 | 125, 126 | syl 14 |
. . . . . . 7
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128 | df-ne 2348 |
. . . . . . . 8
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129 | 128 | orbi2i 762 |
. . . . . . 7
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130 | 127, 129 | sylibr 134 |
. . . . . 6
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131 | 112, 124, 130 | mpjaodan 798 |
. . . . 5
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132 | 131 | adantl 277 |
. . . 4
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133 | simpl 109 |
. . . . . 6
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134 | 133 | oveq1d 5884 |
. . . . 5
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135 | xnegeq 9814 |
. . . . 5
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136 | 134, 135 | syl 14 |
. . . 4
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137 | xnegeq 9814 |
. . . . . . 7
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138 | 137 | adantr 276 |
. . . . . 6
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139 | 138, 42 | eqtrdi 2226 |
. . . . 5
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140 | 139 | oveq1d 5884 |
. . . 4
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141 | 132, 136, 140 | 3eqtr4d 2220 |
. . 3
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142 | 60, 103, 141 | 3jaoian 1305 |
. 2
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143 | 1, 142 | sylanb 284 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4118 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-addcom 7902 ax-addass 7904 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-cnre 7913 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-br 4001 df-opab 4062 df-id 4290 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-sub 8120 df-neg 8121 df-xneg 9759 df-xadd 9760 |
This theorem is referenced by: xaddass2 9857 xrminadd 11267 |
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