Theorem ablpnpcan 13154

Description: Cancellation law for mixed addition and subtraction. (pnpcan 8209 analog.) (Contributed by NM, 29-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ablsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablsubsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsubsub.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablsubsub.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ablsubsub.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
ablpnpcan.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablpnpcan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablpnpcan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ablpnpcan.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablpnpcan	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) − (𝑋 + 𝑍)) = (𝑌 − 𝑍))

Proof of Theorem ablpnpcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubsub.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
2		ablsubsub.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ablsubsub.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ablsubsub.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		ablsubadd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		ablsubadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
7		ablsubadd.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	5, 6, 7	ablsub4 13147	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − (𝑋 + 𝑍)) = ((𝑋 − 𝑋) + (𝑌 − 𝑍)))
9	1, 2, 3, 2, 4, 8	syl122anc 1257	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) − (𝑋 + 𝑍)) = ((𝑋 − 𝑋) + (𝑌 − 𝑍)))
10		ablgrp 13123	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
11	1, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
12		eqid 2187	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
13	5, 12, 7	grpsubid 12978	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐺))
14	11, 2, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑋) = (0g‘𝐺))
15	14	oveq1d 5903	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑋) + (𝑌 − 𝑍)) = ((0g‘𝐺) + (𝑌 − 𝑍)))
16	5, 7	grpsubcl 12974	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵)
17	11, 3, 4, 16	syl3anc 1248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵)
18	5, 6, 12	grplid 12925	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝑌 − 𝑍)) = (𝑌 − 𝑍))
19	11, 17, 18	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐺) + (𝑌 − 𝑍)) = (𝑌 − 𝑍))
20	9, 15, 19	3eqtrd 2224	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) − (𝑋 + 𝑍)) = (𝑌 − 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12475  +_gcplusg 12550  0_gc0g 12722  Grpcgrp 12896  -_gcsg 12898  Abelcabl 13119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-inn 8933  df-2 8991  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-plusg 12563  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-minusg 12900  df-sbg 12901  df-cmn 13120  df-abl 13121

This theorem is referenced by: (None)