Theorem ablsubsub4 13842

Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ablsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablsubsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsubsub.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablsubsub.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ablsubsub.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablsubsub4	⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem ablsubsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubsub.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
2		ablgrp 13812	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		ablsubsub.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		ablsubsub.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		ablsubadd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		ablsubadd.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	6, 7	grpsubcl 13599	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
9	3, 4, 5, 8	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
10		ablsubsub.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
11		ablsubadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
13	6, 11, 12, 7	grpsubval 13565	. . 3 ⊢ (((𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = ((𝑋 − 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
14	9, 10, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = ((𝑋 − 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
15	6, 12	grpinvcl 13567	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
16	3, 10, 15	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
17	6, 11, 7, 1, 4, 5, 16	ablsubsub 13841	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − ((invg‘𝐺)‘𝑍))) = ((𝑋 − 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
18	6, 11, 7, 12, 3, 5, 10	grpsubinv 13592	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − ((invg‘𝐺)‘𝑍)) = (𝑌 + 𝑍))
19	18	oveq2d 6010	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 − ((invg‘𝐺)‘𝑍))) = (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)))
20	14, 17, 19	3eqtr2d 2268	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994  Basecbs 13018  +_gcplusg 13096  Grpcgrp 13519  inv_gcminusg 13520  -_gcsg 13521  Abelcabl 13808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1re 8081  ax-addrcl 8084

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-inn 9099  df-2 9157  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-plusg 13109  df-0g 13277  df-mgm 13375  df-sgrp 13421  df-mnd 13436  df-grp 13522  df-minusg 13523  df-sbg 13524  df-cmn 13809  df-abl 13810

This theorem is referenced by:  ablsub32  13845  ablnnncan  13846