ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ablpncan2 GIF version

Theorem ablpncan2 13150
Description: Cancellation law for subtraction in an Abelian group. (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p + = (+g𝐺)
ablsubadd.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
ablpncan2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem ablpncan2
StepHypRef Expression
1 simp1 998 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
2 simp2 999 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
3 simp3 1000 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
4 ablsubadd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 ablsubadd.p . . . 4 + = (+g𝐺)
6 ablsubadd.m . . . 4 = (-g𝐺)
74, 5, 6abladdsub 13149 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑋) = ((𝑋 𝑋) + 𝑌))
81, 2, 3, 2, 7syl13anc 1250 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑋) = ((𝑋 𝑋) + 𝑌))
9 ablgrp 13123 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
101, 9syl 14 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
11 eqid 2187 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
124, 11, 6grpsubid 12978 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = (0g𝐺))
1310, 2, 12syl2anc 411 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑋) = (0g𝐺))
1413oveq1d 5903 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑋) + 𝑌) = ((0g𝐺) + 𝑌))
154, 5, 11grplid 12925 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
1610, 3, 15syl2anc 411 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
178, 14, 163eqtrd 2224 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑋) = 𝑌)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 979   = wceq 1363  wcel 2158  cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12475  +gcplusg 12550  0gc0g 12722  Grpcgrp 12896  -gcsg 12898  Abelcabl 13119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-inn 8933  df-2 8991  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-plusg 12563  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-minusg 12900  df-sbg 12901  df-cmn 13120  df-abl 13121
This theorem is referenced by:  lssvancl1  13520
  Copyright terms: Public domain W3C validator