Theorem ablnnncan1 13132

Description: Cancellation law for group subtraction. (nnncan1 8195 analog.) (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablnncan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablnncan.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablnncan.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablnncan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablnncan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ablsub32.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablnnncan1	⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍)) = (𝑍 − 𝑌))

Proof of Theorem ablnnncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablnncan.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		ablnncan.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3		ablnncan.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
4		ablnncan.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		ablnncan.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		ablgrp 13098	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
7	3, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
8		ablsub32.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
9	1, 2	grpsubcl 12955	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝐵)
10	7, 4, 8, 9	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	ablsub32 13130	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍)) = ((𝑋 − (𝑋 − 𝑍)) − 𝑌))
12	1, 2, 3, 4, 8	ablnncan 13129	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑋 − 𝑍)) = 𝑍)
13	12	oveq1d 5892	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (𝑋 − 𝑍)) − 𝑌) = (𝑍 − 𝑌))
14	11, 13	eqtrd 2210	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍)) = (𝑍 − 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  Grpcgrp 12882  -_gcsg 12884  Abelcabl 13094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-sbg 12887  df-cmn 13095  df-abl 13096

This theorem is referenced by: (None)