Theorem ablnnncan1 13876

Description: Cancellation law for group subtraction. (nnncan1 8393 analog.) (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablnncan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablnncan.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablnncan.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablnncan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablnncan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ablsub32.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablnnncan1	⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍)) = (𝑍 − 𝑌))

Proof of Theorem ablnnncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablnncan.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		ablnncan.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3		ablnncan.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
4		ablnncan.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		ablnncan.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		ablgrp 13841	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
7	3, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
8		ablsub32.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
9	1, 2	grpsubcl 13628	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝐵)
10	7, 4, 8, 9	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	ablsub32 13874	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍)) = ((𝑋 − (𝑋 − 𝑍)) − 𝑌))
12	1, 2, 3, 4, 8	ablnncan 13873	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑋 − 𝑍)) = 𝑍)
13	12	oveq1d 6022	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (𝑋 − 𝑍)) − 𝑌) = (𝑍 − 𝑌))
14	11, 13	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − (𝑋 − 𝑍)) = (𝑍 − 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13047  Grpcgrp 13548  -_gcsg 13550  Abelcabl 13837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-inn 9122  df-2 9180  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-plusg 13138  df-0g 13306  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-grp 13551  df-minusg 13552  df-sbg 13553  df-cmn 13838  df-abl 13839

This theorem is referenced by: (None)