Theorem abladdsub4 13017

Description: Abelian group addition/subtraction law. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ablsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
abladdsub4	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) = (𝑍 + 𝑊) ↔ (𝑋 − 𝑍) = (𝑊 − 𝑌)))

Proof of Theorem abladdsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablgrp 12993	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	3ad2ant1 1018	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
3		simp2l 1023	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simp2r 1024	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		ablsubadd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		ablsubadd.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
7	5, 6	grpcl 12813	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
9		simp3l 1025	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
10		simp3r 1026	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
11	5, 6	grpcl 12813	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
12	2, 9, 10, 11	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
13	5, 6	grpcl 12813	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
14	2, 9, 4, 13	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
15		ablsubadd.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
16	5, 15	grpsubrcan 12879	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 + 𝑊) − (𝑍 + 𝑌)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑍 + 𝑊)))
17	2, 8, 12, 14, 16	syl13anc 1240	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 + 𝑊) − (𝑍 + 𝑌)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑍 + 𝑊)))
18		simp1 997	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
19	5, 6, 15	ablsub4 13016	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑋 − 𝑍) + (𝑌 − 𝑌)))
20	18, 3, 4, 9, 4, 19	syl122anc 1247	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑋 − 𝑍) + (𝑌 − 𝑌)))
21		eqid 2177	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
22	5, 21, 15	grpsubid 12882	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑌) = (0g‘𝐺))
23	2, 4, 22	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 − 𝑌) = (0g‘𝐺))
24	23	oveq2d 5886	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) + (𝑌 − 𝑌)) = ((𝑋 − 𝑍) + (0g‘𝐺)))
25	5, 15	grpsubcl 12878	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝐵)
26	2, 3, 9, 25	syl3anc 1238	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝐵)
27	5, 6, 21	grprid 12835	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑍) + (0g‘𝐺)) = (𝑋 − 𝑍))
28	2, 26, 27	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) + (0g‘𝐺)) = (𝑋 − 𝑍))
29	20, 24, 28	3eqtrd 2214	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑌)) = (𝑋 − 𝑍))
30	5, 6, 15	ablsub4 13016	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑍 + 𝑊) − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 − 𝑍) + (𝑊 − 𝑌)))
31	18, 9, 10, 9, 4, 30	syl122anc 1247	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑍 + 𝑊) − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 − 𝑍) + (𝑊 − 𝑌)))
32	5, 21, 15	grpsubid 12882	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑍 − 𝑍) = (0g‘𝐺))
33	2, 9, 32	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑍 − 𝑍) = (0g‘𝐺))
34	33	oveq1d 5885	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑍 − 𝑍) + (𝑊 − 𝑌)) = ((0g‘𝐺) + (𝑊 − 𝑌)))
35	5, 15	grpsubcl 12878	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑊 − 𝑌) ∈ 𝐵)
36	2, 10, 4, 35	syl3anc 1238	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑊 − 𝑌) ∈ 𝐵)
37	5, 6, 21	grplid 12834	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑊 − 𝑌) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝑊 − 𝑌)) = (𝑊 − 𝑌))
38	2, 36, 37	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((0g‘𝐺) + (𝑊 − 𝑌)) = (𝑊 − 𝑌))
39	31, 34, 38	3eqtrd 2214	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑍 + 𝑊) − (𝑍 + 𝑌)) = (𝑊 − 𝑌))
40	29, 39	eqeq12d 2192	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 + 𝑊) − (𝑍 + 𝑌)) ↔ (𝑋 − 𝑍) = (𝑊 − 𝑌)))
41	17, 40	bitr3d 190	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) = (𝑍 + 𝑊) ↔ (𝑋 − 𝑍) = (𝑊 − 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5213  (class class class)co 5870  Basecbs 12452  +_gcplusg 12526  0_gc0g 12691  Grpcgrp 12805  -_gcsg 12807  Abelcabl 12989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4116  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898  ax-1re 7900  ax-addrcl 7903

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-int 3844  df-iun 3887  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-id 4291  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-f1 5218  df-fo 5219  df-f1o 5220  df-fv 5221  df-riota 5826  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-1st 6136  df-2nd 6137  df-inn 8914  df-2 8972  df-ndx 12455  df-slot 12456  df-base 12458  df-plusg 12539  df-0g 12693  df-mgm 12705  df-sgrp 12738  df-mnd 12748  df-grp 12808  df-minusg 12809  df-sbg 12810  df-cmn 12990  df-abl 12991

This theorem is referenced by: (None)