ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abladdsub GIF version

Theorem abladdsub 13123
Description: Associative-type law for group subtraction and addition. (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p + = (+g𝐺)
ablsubadd.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
abladdsub ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑍) = ((𝑋 𝑍) + 𝑌))

Proof of Theorem abladdsub
StepHypRef Expression
1 ablsubadd.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 ablsubadd.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
31, 2ablcom 13111 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
433adant3r3 1214 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
54oveq1d 5892 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑍) = ((𝑌 + 𝑋) 𝑍))
6 ablgrp 13098 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
76adantr 276 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
8 simpr2 1004 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
9 simpr1 1003 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
10 simpr3 1005 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
11 ablsubadd.m . . . 4 = (-g𝐺)
121, 2, 11grpaddsubass 12965 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑌𝐵𝑋𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑌 + 𝑋) 𝑍) = (𝑌 + (𝑋 𝑍)))
137, 8, 9, 10, 12syl13anc 1240 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑌 + 𝑋) 𝑍) = (𝑌 + (𝑋 𝑍)))
14 simpl 109 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
151, 11grpsubcl 12955 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝐵)
167, 9, 10, 15syl3anc 1238 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝐵)
171, 2ablcom 13111 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑌 + (𝑋 𝑍)) = ((𝑋 𝑍) + 𝑌))
1814, 8, 16, 17syl3anc 1238 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 + (𝑋 𝑍)) = ((𝑋 𝑍) + 𝑌))
195, 13, 183eqtrd 2214 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑍) = ((𝑋 𝑍) + 𝑌))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  +gcplusg 12538  Grpcgrp 12882  -gcsg 12884  Abelcabl 13094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-sbg 12887  df-cmn 13095  df-abl 13096
This theorem is referenced by:  ablpncan2  13124  ablsubsub  13126
  Copyright terms: Public domain W3C validator