Theorem abladdsub 13901

Description: Associative-type law for group subtraction and addition. (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ablsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
abladdsub	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍) = ((𝑋 − 𝑍) + 𝑌))

Proof of Theorem abladdsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsubadd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		ablsubadd.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3	1, 2	ablcom 13889	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
4	3	3adant3r3 1240	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
5	4	oveq1d 6032	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍) = ((𝑌 + 𝑋) − 𝑍))
6		ablgrp 13875	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
8		simpr2 1030	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		simpr1 1029	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		simpr3 1031	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
11		ablsubadd.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
12	1, 2, 11	grpaddsubass 13672	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 + 𝑋) − 𝑍) = (𝑌 + (𝑋 − 𝑍)))
13	7, 8, 9, 10, 12	syl13anc 1275	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 + 𝑋) − 𝑍) = (𝑌 + (𝑋 − 𝑍)))
14		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
15	1, 11	grpsubcl 13662	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝐵)
16	7, 9, 10, 15	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝐵)
17	1, 2	ablcom 13889	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑌 + (𝑋 − 𝑍)) = ((𝑋 − 𝑍) + 𝑌))
18	14, 8, 16, 17	syl3anc 1273	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 + (𝑋 − 𝑍)) = ((𝑋 − 𝑍) + 𝑌))
19	5, 13, 18	3eqtrd 2268	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍) = ((𝑋 − 𝑍) + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  Basecbs 13081  +_gcplusg 13159  Grpcgrp 13582  -_gcsg 13584  Abelcabl 13871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-inn 9143  df-2 9201  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-sbg 13587  df-cmn 13872  df-abl 13873

This theorem is referenced by:  ablpncan2  13902  ablsubsub  13904