Theorem ablnnncan 13900

Description: Cancellation law for group subtraction. (nnncan 8404 analog.) (Contributed by NM, 29-Feb-2008.) (Revised by AV, 27-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablnncan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablnncan.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablnncan.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablnncan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablnncan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ablsub32.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablnnncan	⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) − 𝑍) = (𝑋 − 𝑌))

Proof of Theorem ablnnncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablnncan.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2229	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		ablnncan.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4		ablnncan.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
5		ablnncan.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ablgrp 13866	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
7	4, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
8		ablnncan.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		ablsub32.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
10	1, 3	grpsubcl 13653	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵)
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 11, 9	ablsubsub4 13896	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) − 𝑍) = (𝑋 − ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍)))
13	1, 2	ablcom 13880	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍) = (𝑍(+g‘𝐺)(𝑌 − 𝑍)))
14	4, 11, 9, 13	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍) = (𝑍(+g‘𝐺)(𝑌 − 𝑍)))
15	1, 2, 3	ablpncan3 13894	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑍(+g‘𝐺)(𝑌 − 𝑍)) = 𝑌)
16	4, 9, 8, 15	syl12anc 1269	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍(+g‘𝐺)(𝑌 − 𝑍)) = 𝑌)
17	14, 16	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍) = 𝑌)
18	17	oveq2d 6029	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍)) = (𝑋 − 𝑌))
19	12, 18	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) − 𝑍) = (𝑋 − 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Basecbs 13072  +_gcplusg 13150  Grpcgrp 13573  -_gcsg 13575  Abelcabl 13862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-inn 9134  df-2 9192  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-plusg 13163  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-grp 13576  df-minusg 13577  df-sbg 13578  df-cmn 13863  df-abl 13864

This theorem is referenced by: (None)