ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ablnnncan GIF version

Theorem ablnnncan 12940
Description: Cancellation law for group subtraction. (nnncan 8169 analog.) (Contributed by NM, 29-Feb-2008.) (Revised by AV, 27-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ablnncan.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablnncan.m = (-g𝐺)
ablnncan.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablnncan.x (𝜑𝑋𝐵)
ablnncan.y (𝜑𝑌𝐵)
ablsub32.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
ablnnncan (𝜑 → ((𝑋 (𝑌 𝑍)) 𝑍) = (𝑋 𝑌))

Proof of Theorem ablnnncan
StepHypRef Expression
1 ablnncan.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2177 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 ablnncan.m . . 3 = (-g𝐺)
4 ablnncan.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
5 ablnncan.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
6 ablgrp 12907 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
74, 6syl 14 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
8 ablnncan.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
9 ablsub32.z . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
101, 3grpsubcl 12826 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
117, 8, 9, 10syl3anc 1238 . . 3 (𝜑 → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
121, 2, 3, 4, 5, 11, 9ablsubsub4 12936 . 2 (𝜑 → ((𝑋 (𝑌 𝑍)) 𝑍) = (𝑋 ((𝑌 𝑍)(+g𝐺)𝑍)))
131, 2ablcom 12920 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵𝑍𝐵) → ((𝑌 𝑍)(+g𝐺)𝑍) = (𝑍(+g𝐺)(𝑌 𝑍)))
144, 11, 9, 13syl3anc 1238 . . . 4 (𝜑 → ((𝑌 𝑍)(+g𝐺)𝑍) = (𝑍(+g𝐺)(𝑌 𝑍)))
151, 2, 3ablpncan3 12934 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑍𝐵𝑌𝐵)) → (𝑍(+g𝐺)(𝑌 𝑍)) = 𝑌)
164, 9, 8, 15syl12anc 1236 . . . 4 (𝜑 → (𝑍(+g𝐺)(𝑌 𝑍)) = 𝑌)
1714, 16eqtrd 2210 . . 3 (𝜑 → ((𝑌 𝑍)(+g𝐺)𝑍) = 𝑌)
1817oveq2d 5884 . 2 (𝜑 → (𝑋 ((𝑌 𝑍)(+g𝐺)𝑍)) = (𝑋 𝑌))
1912, 18eqtrd 2210 1 (𝜑 → ((𝑋 (𝑌 𝑍)) 𝑍) = (𝑋 𝑌))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5211  (class class class)co 5868  Basecbs 12432  +gcplusg 12505  Grpcgrp 12754  -gcsg 12756  Abelcabl 12903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1re 7883  ax-addrcl 7886
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-inn 8896  df-2 8954  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-grp 12757  df-minusg 12758  df-sbg 12759  df-cmn 12904  df-abl 12905
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator