Theorem ablnnncan 13855

Description: Cancellation law for group subtraction. (nnncan 8377 analog.) (Contributed by NM, 29-Feb-2008.) (Revised by AV, 27-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablnncan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablnncan.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablnncan.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablnncan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablnncan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ablsub32.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablnnncan	⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) − 𝑍) = (𝑋 − 𝑌))

Proof of Theorem ablnnncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablnncan.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2229	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		ablnncan.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4		ablnncan.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
5		ablnncan.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ablgrp 13821	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
7	4, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
8		ablnncan.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		ablsub32.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
10	1, 3	grpsubcl 13608	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵)
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 11, 9	ablsubsub4 13851	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) − 𝑍) = (𝑋 − ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍)))
13	1, 2	ablcom 13835	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑌 − 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍) = (𝑍(+g‘𝐺)(𝑌 − 𝑍)))
14	4, 11, 9, 13	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍) = (𝑍(+g‘𝐺)(𝑌 − 𝑍)))
15	1, 2, 3	ablpncan3 13849	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑍(+g‘𝐺)(𝑌 − 𝑍)) = 𝑌)
16	4, 9, 8, 15	syl12anc 1269	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍(+g‘𝐺)(𝑌 − 𝑍)) = 𝑌)
17	14, 16	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍) = 𝑌)
18	17	oveq2d 6016	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − ((𝑌 − 𝑍)(+g‘𝐺)𝑍)) = (𝑋 − 𝑌))
19	12, 18	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (𝑌 − 𝑍)) − 𝑍) = (𝑋 − 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  Basecbs 13027  +_gcplusg 13105  Grpcgrp 13528  -_gcsg 13530  Abelcabl 13817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-inn 9107  df-2 9165  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532  df-sbg 13533  df-cmn 13818  df-abl 13819

This theorem is referenced by: (None)