Theorem ablinvadd 14116

Description: The inverse of an Abelian group operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablinvadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablinvadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ablinvadd.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ablinvadd	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) + (𝑁‘𝑌)))

Proof of Theorem ablinvadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablgrp 14094	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
2		ablinvadd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		ablinvadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		ablinvadd.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
5	2, 3, 4	grpinvadd 13885	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))
6	1, 5	syl3an1 1311	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))
7		simp1 1028	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
8	1	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
9		simp2 1029	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	2, 4	grpinvcl 13855	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
11	8, 9, 10	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
12		simp3 1030	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	2, 4	grpinvcl 13855	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
14	8, 12, 13	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
15	2, 3	ablcom 14108	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) + (𝑁‘𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))
16	7, 11, 14, 15	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) + (𝑁‘𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))
17	6, 16	eqtr4d 2274	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) + (𝑁‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13354  +_gcplusg 13433  Grpcgrp 13807  inv_gcminusg 13808  Abelcabl 14090

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-inn 9306  df-2 9364  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-plusg 13446  df-0g 13614  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-grp 13810  df-minusg 13811  df-cmn 14091  df-abl 14092

This theorem is used by:  ablsub4  14119  invghm  14135  lmodnegadd  14675