Theorem ablinvadd 13868

Description: The inverse of an Abelian group operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablinvadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablinvadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ablinvadd.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ablinvadd	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) + (𝑁‘𝑌)))

Proof of Theorem ablinvadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablgrp 13847	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
2		ablinvadd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		ablinvadd.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		ablinvadd.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
5	2, 3, 4	grpinvadd 13632	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))
6	1, 5	syl3an1 1304	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))
7		simp1 1021	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
8	1	3ad2ant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
9		simp2 1022	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	2, 4	grpinvcl 13602	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
12		simp3 1023	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	2, 4	grpinvcl 13602	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
14	8, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
15	2, 3	ablcom 13861	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) + (𝑁‘𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))
16	7, 11, 14, 15	syl3anc 1271	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) + (𝑁‘𝑌)) = ((𝑁‘𝑌) + (𝑁‘𝑋)))
17	6, 16	eqtr4d 2265	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) + (𝑁‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  Basecbs 13053  +_gcplusg 13131  Grpcgrp 13554  inv_gcminusg 13555  Abelcabl 13843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1re 8109  ax-addrcl 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-inn 9127  df-2 9185  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-plusg 13144  df-0g 13312  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-grp 13557  df-minusg 13558  df-cmn 13844  df-abl 13845

This theorem is referenced by:  ablsub4  13871  invghm  13887  lmodnegadd  14321