Theorem ablsub2inv 13959

Description: Abelian group subtraction of two inverses. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsub2inv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsub2inv.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablsub2inv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
ablsub2inv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsub2inv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablsub2inv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablsub2inv	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) − (𝑁‘𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))

Proof of Theorem ablsub2inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsub2inv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2231	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		ablsub2inv.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4		ablsub2inv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
5		ablsub2inv.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
6		ablgrp 13937	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
8		ablsub2inv.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 4	grpinvcl 13692	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
11		ablsub2inv.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 7, 10, 11	grpsubinv 13717	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) − (𝑁‘𝑌)) = ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌))
13	1, 2	ablcom 13951	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = (𝑌(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
14	5, 10, 11, 13	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = (𝑌(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
15	1, 4	grpinvinv 13711	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
16	7, 11, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
17	16	oveq1d 6043	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)) = (𝑌(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
18	14, 17	eqtr4d 2267	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
19	1, 4	grpinvcl 13692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
20	7, 11, 19	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
21	1, 2, 4	grpinvadd 13722	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))) = ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
22	7, 8, 20, 21	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))) = ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
23	18, 22	eqtr4d 2267	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))))
24	1, 2, 4, 3	grpsubval 13690	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌)))
25	8, 11, 24	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌)))
26	25	fveq2d 5652	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))))
27	23, 26	eqtr4d 2267	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)))
28	1, 3, 4	grpinvsub 13726	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
29	7, 8, 11, 28	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
30	12, 27, 29	3eqtrd 2268	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) − (𝑁‘𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Basecbs 13143  +_gcplusg 13221  Grpcgrp 13644  inv_gcminusg 13645  -_gcsg 13646  Abelcabl 13933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-inn 9187  df-2 9245  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-plusg 13234  df-0g 13402  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-grp 13647  df-minusg 13648  df-sbg 13649  df-cmn 13934  df-abl 13935

This theorem is referenced by: (None)