Theorem ablsub2inv 14206

Description: Abelian group subtraction of two inverses. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsub2inv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsub2inv.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablsub2inv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
ablsub2inv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsub2inv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablsub2inv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablsub2inv	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) − (𝑁‘𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))

Proof of Theorem ablsub2inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsub2inv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2238	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		ablsub2inv.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4		ablsub2inv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
5		ablsub2inv.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
6		ablgrp 14183	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
8		ablsub2inv.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 4	grpinvcl 13913	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
10	7, 8, 9	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
11		ablsub2inv.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 7, 10, 11	grpsubinv 13938	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) − (𝑁‘𝑌)) = ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌))
13	1, 2	ablcom 14197	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = (𝑌(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
14	5, 10, 11, 13	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = (𝑌(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
15	1, 4	grpinvinv 13932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
16	7, 11, 15	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
17	16	oveq1d 6103	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)) = (𝑌(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
18	14, 17	eqtr4d 2274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
19	1, 4	grpinvcl 13913	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
20	7, 11, 19	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
21	1, 2, 4	grpinvadd 13943	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))) = ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
22	7, 8, 20, 21	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))) = ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
23	18, 22	eqtr4d 2274	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))))
24	1, 2, 4, 3	grpsubval 13911	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌)))
25	8, 11, 24	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌)))
26	25	fveq2d 5702	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))))
27	23, 26	eqtr4d 2274	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)))
28	1, 3, 4	grpinvsub 13947	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
29	7, 8, 11, 28	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
30	12, 27, 29	3eqtrd 2275	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) − (𝑁‘𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13411  +_gcplusg 13491  Grpcgrp 13865  inv_gcminusg 13866  -_gcsg 13867  Abelcabl 14179

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1re 8280  ax-addrcl 8283

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-inn 9315  df-2 9373  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-plusg 13504  df-0g 13672  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868  df-minusg 13869  df-sbg 13870  df-cmn 14180  df-abl 14181

This theorem is used by: (None)