ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ablsubsub GIF version

Theorem ablsubsub 12935
Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p + = (+g𝐺)
ablsubadd.m = (-g𝐺)
ablsubsub.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablsubsub.x (𝜑𝑋𝐵)
ablsubsub.y (𝜑𝑌𝐵)
ablsubsub.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
ablsubsub (𝜑 → (𝑋 (𝑌 𝑍)) = ((𝑋 𝑌) + 𝑍))

Proof of Theorem ablsubsub
StepHypRef Expression
1 ablsubsub.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
2 ablgrp 12907 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 14 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 ablsubsub.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
5 ablsubsub.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
6 ablsubsub.z . . 3 (𝜑𝑍𝐵)
7 ablsubadd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 ablsubadd.p . . . 4 + = (+g𝐺)
9 ablsubadd.m . . . 4 = (-g𝐺)
107, 8, 9grpsubsub 12835 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 (𝑌 𝑍)) = (𝑋 + (𝑍 𝑌)))
113, 4, 5, 6, 10syl13anc 1240 . 2 (𝜑 → (𝑋 (𝑌 𝑍)) = (𝑋 + (𝑍 𝑌)))
127, 8, 9grpaddsubass 12836 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) 𝑌) = (𝑋 + (𝑍 𝑌)))
133, 4, 6, 5, 12syl13anc 1240 . 2 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑍) 𝑌) = (𝑋 + (𝑍 𝑌)))
147, 8, 9abladdsub 12932 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) 𝑌) = ((𝑋 𝑌) + 𝑍))
151, 4, 6, 5, 14syl13anc 1240 . 2 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑍) 𝑌) = ((𝑋 𝑌) + 𝑍))
1611, 13, 153eqtr2d 2216 1 (𝜑 → (𝑋 (𝑌 𝑍)) = ((𝑋 𝑌) + 𝑍))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5211  (class class class)co 5868  Basecbs 12432  +gcplusg 12505  Grpcgrp 12754  -gcsg 12756  Abelcabl 12903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1re 7883  ax-addrcl 7886
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-inn 8896  df-2 8954  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-grp 12757  df-minusg 12758  df-sbg 12759  df-cmn 12904  df-abl 12905
This theorem is referenced by:  ablsubsub4  12936  ablnncan  12938
  Copyright terms: Public domain W3C validator