ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ablsub4 GIF version

Theorem ablsub4 13116
Description: Commutative/associative subtraction law for Abelian groups. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p + = (+g𝐺)
ablsubadd.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
ablsub4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 𝑍) + (𝑌 𝑊)))

Proof of Theorem ablsub4
StepHypRef Expression
1 ablgrp 13093 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
213ad2ant1 1018 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
3 simp2l 1023 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑋𝐵)
4 simp2r 1024 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑌𝐵)
5 ablsubadd.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
6 ablsubadd.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
75, 6grpcl 12885 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
82, 3, 4, 7syl3anc 1238 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
9 simp3l 1025 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑍𝐵)
10 simp3r 1026 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑊𝐵)
115, 6grpcl 12885 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍𝐵𝑊𝐵) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
122, 9, 10, 11syl3anc 1238 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
13 eqid 2177 . . . 4 (invg𝐺) = (invg𝐺)
14 ablsubadd.m . . . 4 = (-g𝐺)
155, 6, 13, 14grpsubval 12919 . . 3 (((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑌) + ((invg𝐺)‘(𝑍 + 𝑊))))
168, 12, 15syl2anc 411 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑌) + ((invg𝐺)‘(𝑍 + 𝑊))))
17 ablcmn 13095 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
18173ad2ant1 1018 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
19 simp2 998 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑋𝐵𝑌𝐵))
205, 13grpinvcl 12921 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
212, 9, 20syl2anc 411 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
225, 13grpinvcl 12921 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑊𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑊) ∈ 𝐵)
232, 10, 22syl2anc 411 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((invg𝐺)‘𝑊) ∈ 𝐵)
245, 6cmn4 13108 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + (((invg𝐺)‘𝑍) + ((invg𝐺)‘𝑊))) = ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑍)) + (𝑌 + ((invg𝐺)‘𝑊))))
2518, 19, 21, 23, 24syl112anc 1242 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + (((invg𝐺)‘𝑍) + ((invg𝐺)‘𝑊))) = ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑍)) + (𝑌 + ((invg𝐺)‘𝑊))))
26 simp1 997 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
275, 6, 13ablinvadd 13113 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑍𝐵𝑊𝐵) → ((invg𝐺)‘(𝑍 + 𝑊)) = (((invg𝐺)‘𝑍) + ((invg𝐺)‘𝑊)))
2826, 9, 10, 27syl3anc 1238 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((invg𝐺)‘(𝑍 + 𝑊)) = (((invg𝐺)‘𝑍) + ((invg𝐺)‘𝑊)))
2928oveq2d 5891 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((invg𝐺)‘(𝑍 + 𝑊))) = ((𝑋 + 𝑌) + (((invg𝐺)‘𝑍) + ((invg𝐺)‘𝑊))))
305, 6, 13, 14grpsubval 12919 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑍) = (𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑍)))
313, 9, 30syl2anc 411 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑋 𝑍) = (𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑍)))
325, 6, 13, 14grpsubval 12919 . . . . 5 ((𝑌𝐵𝑊𝐵) → (𝑌 𝑊) = (𝑌 + ((invg𝐺)‘𝑊)))
334, 10, 32syl2anc 411 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑌 𝑊) = (𝑌 + ((invg𝐺)‘𝑊)))
3431, 33oveq12d 5893 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑍) + (𝑌 𝑊)) = ((𝑋 + ((invg𝐺)‘𝑍)) + (𝑌 + ((invg𝐺)‘𝑊))))
3525, 29, 343eqtr4d 2220 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((invg𝐺)‘(𝑍 + 𝑊))) = ((𝑋 𝑍) + (𝑌 𝑊)))
3616, 35eqtrd 2210 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 𝑍) + (𝑌 𝑊)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5217  (class class class)co 5875  Basecbs 12462  +gcplusg 12536  Grpcgrp 12877  invgcminusg 12878  -gcsg 12879  CMndccmn 13088  Abelcabl 13089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1re 7905  ax-addrcl 7908
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-inn 8920  df-2 8978  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-plusg 12549  df-0g 12707  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-mnd 12818  df-grp 12880  df-minusg 12881  df-sbg 12882  df-cmn 13090  df-abl 13091
This theorem is referenced by:  abladdsub4  13117  ablpnpcan  13123
  Copyright terms: Public domain W3C validator