Theorem ablsub4 13047

Description: Commutative/associative subtraction law for Abelian groups. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ablsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ablsub4	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 − 𝑍) + (𝑌 − 𝑊)))

Proof of Theorem ablsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablgrp 13024	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	3ad2ant1 1018	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
3		simp2l 1023	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simp2r 1024	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		ablsubadd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		ablsubadd.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
7	5, 6	grpcl 12817	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
9		simp3l 1025	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
10		simp3r 1026	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
11	5, 6	grpcl 12817	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
12	2, 9, 10, 11	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
13		eqid 2177	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
14		ablsubadd.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
15	5, 6, 13, 14	grpsubval 12851	. . 3 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘(𝑍 + 𝑊))))
16	8, 12, 15	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘(𝑍 + 𝑊))))
17		ablcmn 13026	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
18	17	3ad2ant1 1018	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ CMnd)
19		simp2 998	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
20	5, 13	grpinvcl 12853	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
21	2, 9, 20	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
22	5, 13	grpinvcl 12853	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑊) ∈ 𝐵)
23	2, 10, 22	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑊) ∈ 𝐵)
24	5, 6	cmn4 13039	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + (((invg‘𝐺)‘𝑍) + ((invg‘𝐺)‘𝑊))) = ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑍)) + (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑊))))
25	18, 19, 21, 23, 24	syl112anc 1242	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + (((invg‘𝐺)‘𝑍) + ((invg‘𝐺)‘𝑊))) = ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑍)) + (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑊))))
26		simp1 997	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
27	5, 6, 13	ablinvadd 13044	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘(𝑍 + 𝑊)) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + ((invg‘𝐺)‘𝑊)))
28	26, 9, 10, 27	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘(𝑍 + 𝑊)) = (((invg‘𝐺)‘𝑍) + ((invg‘𝐺)‘𝑊)))
29	28	oveq2d 5888	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘(𝑍 + 𝑊))) = ((𝑋 + 𝑌) + (((invg‘𝐺)‘𝑍) + ((invg‘𝐺)‘𝑊))))
30	5, 6, 13, 14	grpsubval 12851	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
31	3, 9, 30	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑍)))
32	5, 6, 13, 14	grpsubval 12851	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑊) = (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑊)))
33	4, 10, 32	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 − 𝑊) = (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑊)))
34	31, 33	oveq12d 5890	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑍) + (𝑌 − 𝑊)) = ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑍)) + (𝑌 + ((invg‘𝐺)‘𝑊))))
35	25, 29, 34	3eqtr4d 2220	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + ((invg‘𝐺)‘(𝑍 + 𝑊))) = ((𝑋 − 𝑍) + (𝑌 − 𝑊)))
36	16, 35	eqtrd 2210	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) − (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 − 𝑍) + (𝑌 − 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5215  (class class class)co 5872  Basecbs 12454  +_gcplusg 12528  Grpcgrp 12809  inv_gcminusg 12810  -_gcsg 12811  CMndccmn 13019  Abelcabl 13020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1re 7902  ax-addrcl 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-inn 8916  df-2 8974  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-plusg 12541  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-minusg 12813  df-sbg 12814  df-cmn 13021  df-abl 13022

This theorem is referenced by:  abladdsub4  13048  ablpnpcan  13054