Theorem zring0 14132

Description: The zero element of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zring0	⊢ 0 = (0g‘ℤring)

Proof of Theorem zring0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncrng 14101	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CRing
2		crngring 13540	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → ℂfld ∈ Ring)
3		ringmnd 13538	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
4	1, 2, 3	mp2b 8	. 2 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
5		0z 9334	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		zsscn 9331	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
7		df-zring 14123	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
8		cnfldbas 14092	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
9		cnfld0 14103	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
10	7, 8, 9	ress0g 13060	. 2 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘ℤring))
11	4, 5, 6, 10	mp3an 1348	1 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157  ‘cfv 5258  ℂcc 7875  0cc0 7877  ℤcz 9323  0_gc0g 12903  Mndcmnd 13033  Ringcrg 13528  CRingccrg 13529  ℂ_fldccnfld 14088  ℤ_ringczring 14122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994  ax-addf 7999  ax-mulf 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-reap 8599  df-inn 8988  df-2 9046  df-3 9047  df-4 9048  df-5 9049  df-6 9050  df-7 9051  df-8 9052  df-9 9053  df-n0 9247  df-z 9324  df-dec 9455  df-uz 9599  df-rp 9726  df-fz 10081  df-cj 10992  df-abs 11149  df-struct 12656  df-ndx 12657  df-slot 12658  df-base 12660  df-sets 12661  df-iress 12662  df-plusg 12744  df-mulr 12745  df-starv 12746  df-tset 12750  df-ple 12751  df-ds 12753  df-unif 12754  df-0g 12905  df-topgen 12907  df-mgm 12975  df-sgrp 13021  df-mnd 13034  df-grp 13111  df-cmn 13392  df-mgp 13453  df-ring 13530  df-cring 13531  df-bl 14078  df-mopn 14079  df-fg 14081  df-metu 14082  df-cnfld 14089  df-zring 14123

This theorem is referenced by:  zringnzr  14134  zringinvg  14136  zrh0  14157  zndvds0  14182  lgseisenlem4  15281