ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zring0 GIF version

Theorem zring0 13359
Description: The zero element of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
zring0 0 = (0g‘ℤring)

Proof of Theorem zring0
StepHypRef Expression
1 cncrng 13332 . . 3 fld ∈ CRing
2 crngring 13122 . . 3 (ℂfld ∈ CRing → ℂfld ∈ Ring)
3 ringmnd 13120 . . 3 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
41, 2, 3mp2b 8 . 2 fld ∈ Mnd
5 0z 9260 . 2 0 ∈ ℤ
6 zsscn 9257 . 2 ℤ ⊆ ℂ
7 df-zring 13350 . . 3 ring = (ℂflds ℤ)
8 cnfldbas 13328 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
9 cnfld0 13334 . . 3 0 = (0g‘ℂfld)
107, 8, 9ress0g 12776 . 2 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘ℤring))
114, 5, 6, 10mp3an 1337 1 0 = (0g‘ℤring)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1353  wcel 2148  wss 3129  cfv 5215  cc 7806  0cc0 7808  cz 9249  0gc0g 12693  Mndcmnd 12749  Ringcrg 13110  CRingccrg 13111  fldccnfld 13324  ringczring 13349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-addf 7930  ax-mulf 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-tp 3600  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-5 8977  df-6 8978  df-7 8979  df-8 8980  df-9 8981  df-n0 9173  df-z 9250  df-dec 9381  df-uz 9525  df-fz 10005  df-cj 10844  df-struct 12456  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-mulr 12542  df-starv 12543  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-cmn 13021  df-mgp 13062  df-ring 13112  df-cring 13113  df-icnfld 13325  df-zring 13350
This theorem is referenced by:  zringnzr  13361  zringinvg  13363
  Copyright terms: Public domain W3C validator