Theorem zring0 14918

Description: The zero element of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zring0	⊢ 0 = (0g‘ℤring)

Proof of Theorem zring0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncrng 14889	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CRing
2		crngring 14295	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → ℂfld ∈ Ring)
3		ringmnd 14293	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
4	1, 2, 3	mp2b 8	. 2 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
5		0z 9638	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		zsscn 9635	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
7		df-zring 14909	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
8		cnfldbas 14880	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
9		cnfld0 14891	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
10	7, 8, 9	ress0g 13739	. 2 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘ℤring))
11	4, 5, 6, 10	mp3an 1378	1 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5375  ℂcc 8171  0cc0 8173  ℤcz 9627  0_gc0g 13593  Mndcmnd 13712  Ringcrg 14283  CRingccrg 14284  ℂ_fldccnfld 14876  ℤ_ringczring 14908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-addf 8295  ax-mulf 8296

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-rp 10038  df-fz 10395  df-cj 11590  df-abs 11748  df-struct 13337  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-starv 13429  df-tset 13433  df-ple 13434  df-ds 13436  df-unif 13437  df-0g 13595  df-topgen 13597  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-cmn 14072  df-mgp 14201  df-ring 14285  df-cring 14286  df-bl 14866  df-mopn 14867  df-fg 14869  df-metu 14870  df-cnfld 14877  df-zring 14909

This theorem is referenced by:  zringnzr  14920  zringinvg  14922  zrh0  14943  zndvds0  14968  lgseisenlem4  16175