ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zring0 GIF version

Theorem zring0 13381
Description: The zero element of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
zring0 0 = (0g‘ℤring)

Proof of Theorem zring0
StepHypRef Expression
1 cncrng 13354 . . 3 fld ∈ CRing
2 crngring 13144 . . 3 (ℂfld ∈ CRing → ℂfld ∈ Ring)
3 ringmnd 13142 . . 3 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
41, 2, 3mp2b 8 . 2 fld ∈ Mnd
5 0z 9262 . 2 0 ∈ ℤ
6 zsscn 9259 . 2 ℤ ⊆ ℂ
7 df-zring 13372 . . 3 ring = (ℂflds ℤ)
8 cnfldbas 13350 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
9 cnfld0 13356 . . 3 0 = (0g‘ℂfld)
107, 8, 9ress0g 12798 . 2 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘ℤring))
114, 5, 6, 10mp3an 1337 1 0 = (0g‘ℤring)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1353  wcel 2148  wss 3129  cfv 5216  cc 7808  0cc0 7810  cz 9251  0gc0g 12695  Mndcmnd 12771  Ringcrg 13132  CRingccrg 13133  fldccnfld 13346  ringczring 13371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-addf 7932  ax-mulf 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-tp 3600  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-5 8979  df-6 8980  df-7 8981  df-8 8982  df-9 8983  df-n0 9175  df-z 9252  df-dec 9383  df-uz 9527  df-fz 10007  df-cj 10846  df-struct 12458  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-sets 12463  df-iress 12464  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-starv 12545  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-grp 12834  df-cmn 13043  df-mgp 13084  df-ring 13134  df-cring 13135  df-icnfld 13347  df-zring 13372
This theorem is referenced by:  zringnzr  13383  zringinvg  13385
  Copyright terms: Public domain W3C validator