Theorem zring0 14046

Description: The zero element of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zring0	⊢ 0 = (0g‘ℤring)

Proof of Theorem zring0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncrng 14019	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CRing
2		crngring 13468	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → ℂfld ∈ Ring)
3		ringmnd 13466	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
4	1, 2, 3	mp2b 8	. 2 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
5		0z 9314	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		zsscn 9311	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
7		df-zring 14037	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
8		cnfldbas 14015	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
9		cnfld0 14021	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
10	7, 8, 9	ress0g 12998	. 2 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘ℤring))
11	4, 5, 6, 10	mp3an 1348	1 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ⊆ wss 3149  ‘cfv 5242  ℂcc 7856  0cc0 7858  ℤcz 9303  0_gc0g 12841  Mndcmnd 12971  Ringcrg 13456  CRingccrg 13457  ℂ_fldccnfld 14011  ℤ_ringczring 14036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4140  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-cnex 7949  ax-resscn 7950  ax-1cn 7951  ax-1re 7952  ax-icn 7953  ax-addcl 7954  ax-addrcl 7955  ax-mulcl 7956  ax-mulrcl 7957  ax-addcom 7958  ax-mulcom 7959  ax-addass 7960  ax-mulass 7961  ax-distr 7962  ax-i2m1 7963  ax-0lt1 7964  ax-1rid 7965  ax-0id 7966  ax-rnegex 7967  ax-precex 7968  ax-cnre 7969  ax-pre-ltirr 7970  ax-pre-ltwlin 7971  ax-pre-lttrn 7972  ax-pre-apti 7973  ax-pre-ltadd 7974  ax-pre-mulgt0 7975  ax-addf 7980  ax-mulf 7981

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-id 4318  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-riota 5861  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-pnf 8042  df-mnf 8043  df-xr 8044  df-ltxr 8045  df-le 8046  df-sub 8178  df-neg 8179  df-reap 8580  df-inn 8969  df-2 9027  df-3 9028  df-4 9029  df-5 9030  df-6 9031  df-7 9032  df-8 9033  df-9 9034  df-n0 9227  df-z 9304  df-dec 9435  df-uz 9579  df-fz 10061  df-cj 10960  df-struct 12594  df-ndx 12595  df-slot 12596  df-base 12598  df-sets 12599  df-iress 12600  df-plusg 12682  df-mulr 12683  df-starv 12684  df-0g 12843  df-mgm 12913  df-sgrp 12959  df-mnd 12972  df-grp 13049  df-cmn 13329  df-mgp 13381  df-ring 13458  df-cring 13459  df-icnfld 14012  df-zring 14037

This theorem is referenced by:  zringnzr  14048  zringinvg  14050  zrh0  14070  zndvds0  14095