Theorem dvdsunit 14362

Description: A divisor of a unit is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsunit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvdsunit.3	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsunit	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∥ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem dvdsunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 14256	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		dvdsunit.3	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
4	2, 3	dvdsrtr 14351	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∥ 𝑋 ∧ 𝑋 ∥ (1r‘𝑅)) → 𝑌 ∥ (1r‘𝑅))
5	4	3expia 1232	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) → (𝑋 ∥ (1r‘𝑅) → 𝑌 ∥ (1r‘𝑅)))
6	1, 5	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) → (𝑋 ∥ (1r‘𝑅) → 𝑌 ∥ (1r‘𝑅)))
7		dvdsunit.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
8		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	7, 8, 3	crngunit 14361	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∥ (1r‘𝑅)))
10	9	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∥ (1r‘𝑅)))
11	7, 8, 3	crngunit 14361	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑌 ∈ 𝑈 ↔ 𝑌 ∥ (1r‘𝑅)))
12	11	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) → (𝑌 ∈ 𝑈 ↔ 𝑌 ∥ (1r‘𝑅)))
13	6, 10, 12	3imtr4d 203	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) → (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑌 ∈ 𝑈))
14	13	3impia 1227	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∥ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4115  ‘cfv 5358  Basecbs 13301  1_rcur 14207  Ringcrg 14244  CRingccrg 14245  ∥_rcdsr 14335  Unitcui 14336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-addcom 8244  ax-addass 8246  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-ltadd 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-tpos 6490  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-ltxr 8330  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-ndx 13304  df-slot 13305  df-base 13307  df-sets 13308  df-plusg 13392  df-mulr 13393  df-0g 13560  df-mgm 13624  df-sgrp 13670  df-mnd 13683  df-grp 13763  df-minusg 13764  df-cmn 14044  df-abl 14045  df-mgp 14165  df-ur 14208  df-srg 14212  df-ring 14246  df-cring 14247  df-oppr 14316  df-dvdsr 14338  df-unit 14339

This theorem is referenced by:  unitmulclb  14364