Theorem dvdsunit 14041

Description: A divisor of a unit is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsunit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvdsunit.3	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsunit	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∥ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem dvdsunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 13937	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2209	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		dvdsunit.3	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
4	2, 3	dvdsrtr 14030	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∥ 𝑋 ∧ 𝑋 ∥ (1r‘𝑅)) → 𝑌 ∥ (1r‘𝑅))
5	4	3expia 1210	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) → (𝑋 ∥ (1r‘𝑅) → 𝑌 ∥ (1r‘𝑅)))
6	1, 5	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) → (𝑋 ∥ (1r‘𝑅) → 𝑌 ∥ (1r‘𝑅)))
7		dvdsunit.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
8		eqid 2209	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	7, 8, 3	crngunit 14040	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∥ (1r‘𝑅)))
10	9	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∥ (1r‘𝑅)))
11	7, 8, 3	crngunit 14040	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑌 ∈ 𝑈 ↔ 𝑌 ∥ (1r‘𝑅)))
12	11	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) → (𝑌 ∈ 𝑈 ↔ 𝑌 ∥ (1r‘𝑅)))
13	6, 10, 12	3imtr4d 203	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) → (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑌 ∈ 𝑈))
14	13	3impia 1205	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∥ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   class class class wbr 4062  ‘cfv 5294  Basecbs 12998  1_rcur 13888  Ringcrg 13925  CRingccrg 13926  ∥_rcdsr 14015  Unitcui 14016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-tpos 6361  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-0g 13257  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-grp 13502  df-minusg 13503  df-cmn 13789  df-abl 13790  df-mgp 13850  df-ur 13889  df-srg 13893  df-ring 13927  df-cring 13928  df-oppr 13997  df-dvdsr 14018  df-unit 14019

This theorem is referenced by:  unitmulclb  14043