ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unitmulclb GIF version
Theorem unitmulclb 13283
Description: Reversal of unitmulcl 13282 in a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
unitmulcl.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
unitmulcl.2 Β· = (.rβ€˜π‘…)
unitmulclb.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
unitmulclb ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ↔ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)))
Proof of Theorem unitmulclb
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
2 unitmulclb.1 . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
32a1i 9 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
4 eqid 2177 . . . . . . 7 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
54a1i 9 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…))
61crngringd 13192 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 ringsrg 13224 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ SRing)
86, 7syl 14 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ SRing)
9 unitmulcl.2 . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜π‘…)
109a1i 9 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ Β· = (.rβ€˜π‘…))
11 simp2 998 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
12 simp3 999 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
133, 5, 8, 10, 11, 12dvdsrmuld 13265 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(π‘Œ Β· 𝑋))
142, 9crngcom 13197 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = (π‘Œ Β· 𝑋))
1513, 14breqtrrd 4032 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ))
16 unitmulcl.1 . . . . . 6 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
1716, 4dvdsunit 13281 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ) ∧ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
18173expia 1205 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
191, 15, 18syl2anc 411 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
203, 5, 8, 10, 12, 11dvdsrmuld 13265 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ))
2116, 4dvdsunit 13281 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ) ∧ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
22213expia 1205 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(𝑋 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
231, 20, 22syl2anc 411 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
2419, 23jcad 307 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)))
25 crngring 13191 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
26253ad2ant1 1018 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2716, 9unitmulcl 13282 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
28273expib 1206 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
2926, 28syl 14 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
3024, 29impbid 129 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ↔ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  Basecbs 12462  .rcmulr 12537  SRingcsrg 13146  Ringcrg 13179  CRingccrg 13180  βˆ₯rcdsr 13255  Unitcui 13256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-tpos 6246  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-sets 12469  df-plusg 12549  df-mulr 12550  df-0g 12707  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-mnd 12818  df-grp 12880  df-minusg 12881  df-cmn 13090  df-abl 13091  df-mgp 13131  df-ur 13143  df-srg 13147  df-ring 13181  df-cring 13182  df-oppr 13240  df-dvdsr 13258  df-unit 13259
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator