ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unitmulclb GIF version

Theorem unitmulclb 13214
Description: Reversal of unitmulcl 13213 in a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
unitmulcl.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitmulcl.2 · = (.r𝑅)
unitmulclb.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
unitmulclb ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ↔ (𝑋𝑈𝑌𝑈)))

Proof of Theorem unitmulclb
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
2 unitmulclb.1 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
32a1i 9 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4 eqid 2177 . . . . . . 7 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
54a1i 9 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∥r𝑅) = (∥r𝑅))
61crngringd 13123 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
7 ringsrg 13155 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
86, 7syl 14 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ SRing)
9 unitmulcl.2 . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
109a1i 9 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → · = (.r𝑅))
11 simp2 998 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
12 simp3 999 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
133, 5, 8, 10, 11, 12dvdsrmuld 13196 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋(∥r𝑅)(𝑌 · 𝑋))
142, 9crngcom 13128 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))
1513, 14breqtrrd 4030 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌))
16 unitmulcl.1 . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1716, 4dvdsunit 13212 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌) ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑋𝑈)
18173expia 1205 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌)) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈𝑋𝑈))
191, 15, 18syl2anc 411 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈𝑋𝑈))
203, 5, 8, 10, 12, 11dvdsrmuld 13196 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌))
2116, 4dvdsunit 13212 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌) ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑌𝑈)
22213expia 1205 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌)) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈𝑌𝑈))
231, 20, 22syl2anc 411 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈𝑌𝑈))
2419, 23jcad 307 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → (𝑋𝑈𝑌𝑈)))
25 crngring 13122 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
26253ad2ant1 1018 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2716, 9unitmulcl 13213 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)
28273expib 1206 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋𝑈𝑌𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈))
2926, 28syl 14 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋𝑈𝑌𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈))
3024, 29impbid 129 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ↔ (𝑋𝑈𝑌𝑈)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4002  cfv 5215  (class class class)co 5872  Basecbs 12454  .rcmulr 12529  SRingcsrg 13077  Ringcrg 13110  CRingccrg 13111  rcdsr 13186  Unitcui 13187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-tpos 6243  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-plusg 12541  df-mulr 12542  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-minusg 12813  df-cmn 13021  df-abl 13022  df-mgp 13062  df-ur 13074  df-srg 13078  df-ring 13112  df-cring 13113  df-oppr 13171  df-dvdsr 13189  df-unit 13190
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator