Theorem unitmulclb 14043

Description: Reversal of unitmulcl 14042 in a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitmulcl.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
unitmulclb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitmulclb	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)))

Proof of Theorem unitmulclb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1002	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
2		unitmulclb.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4		eqid 2209	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
5	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅))
6	1	crngringd 13938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
7		ringsrg 13976	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ SRing)
9		unitmulcl.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
10	9	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → · = (.r‘𝑅))
11		simp2 1003	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		simp3 1004	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	3, 5, 8, 10, 11, 12	dvdsrmuld 14025	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑌 · 𝑋))
14	2, 9	crngcom 13943	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))
15	13, 14	breqtrrd 4090	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
16		unitmulcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
17	16, 4	dvdsunit 14041	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌) ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
18	17	3expia 1210	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝑈))
19	1, 15, 18	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ 𝑈))
20	3, 5, 8, 10, 12, 11	dvdsrmuld 14025	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌))
21	16, 4	dvdsunit 14041	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌) ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
22	21	3expia 1210	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌(∥r‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → 𝑌 ∈ 𝑈))
23	1, 20, 22	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → 𝑌 ∈ 𝑈))
24	19, 23	jcad 307	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)))
25		crngring 13937	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
26	25	3ad2ant1 1023	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
27	16, 9	unitmulcl 14042	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)
28	27	3expib 1211	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈))
29	26, 28	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈))
30	24, 29	impbid 129	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   class class class wbr 4062  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  Basecbs 12998  ._rcmulr 13077  SRingcsrg 13892  Ringcrg 13925  CRingccrg 13926  ∥_rcdsr 14015  Unitcui 14016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-tpos 6361  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-0g 13257  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-grp 13502  df-minusg 13503  df-cmn 13789  df-abl 13790  df-mgp 13850  df-ur 13889  df-srg 13893  df-ring 13927  df-cring 13928  df-oppr 13997  df-dvdsr 14018  df-unit 14019

This theorem is referenced by: (None)