Theorem strslfv2d 12664

Description: Deduction version of strslfv 12666. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strslfv2d.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strfv2d.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
strfv2d.f	⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
strfv2d.n	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
strfv2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
strslfv2d	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strslfv2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strslfv2d.e	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	simpli 111	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
3		strfv2d.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4	1	simpri 113	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
6	2, 3, 5	strnfvnd 12641	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
7		cnvcnv2 5120	. . . 4 ⊢ ◡◡𝑆 = (𝑆 ↾ V)
8	7	fveq1i 5556	. . 3 ⊢ (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx))
9	5	elexd 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ V)
10		fvres 5579	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ V → ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
11	9, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
12	8, 11	eqtrid 2238	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
13		strfv2d.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
14		strfv2d.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
15		strfv2d.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
16	15	elexd 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
17	9, 16	opelxpd 4693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
18	14, 17	elind 3345	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (𝑆 ∩ (V × V)))
19		cnvcnv 5119	. . . 4 ⊢ ◡◡𝑆 = (𝑆 ∩ (V × V))
20	18, 19	eleqtrrdi 2287	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ ◡◡𝑆)
21		funopfv 5597	. . 3 ⊢ (Fun ◡◡𝑆 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ ◡◡𝑆 → (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶))
22	13, 20, 21	sylc 62	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
23	6, 12, 22	3eqtr2rd 2233	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∩ cin 3153  ⟨cop 3622   × cxp 4658  ^◡ccnv 4659   ↾ cres 4662  Fun wfun 5249  ‘cfv 5255  ℕcn 8984  ndxcnx 12618  Slot cslot 12620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-slot 12625

This theorem is referenced by:  strslfv2  12665  strslfv  12666  opelstrsl  12735