Theorem strslfv2d 12919

Description: Deduction version of strslfv 12921. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strslfv2d.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strfv2d.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
strfv2d.f	⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
strfv2d.n	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
strfv2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
strslfv2d	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strslfv2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strslfv2d.e	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	simpli 111	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
3		strfv2d.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4	1	simpri 113	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
6	2, 3, 5	strnfvnd 12896	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
7		cnvcnv2 5141	. . . 4 ⊢ ◡◡𝑆 = (𝑆 ↾ V)
8	7	fveq1i 5584	. . 3 ⊢ (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx))
9	5	elexd 2786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ V)
10		fvres 5607	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ V → ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
11	9, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
12	8, 11	eqtrid 2251	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
13		strfv2d.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
14		strfv2d.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
15		strfv2d.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
16	15	elexd 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
17	9, 16	opelxpd 4712	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
18	14, 17	elind 3359	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (𝑆 ∩ (V × V)))
19		cnvcnv 5140	. . . 4 ⊢ ◡◡𝑆 = (𝑆 ∩ (V × V))
20	18, 19	eleqtrrdi 2300	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ ◡◡𝑆)
21		funopfv 5625	. . 3 ⊢ (Fun ◡◡𝑆 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ ◡◡𝑆 → (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶))
22	13, 20, 21	sylc 62	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
23	6, 12, 22	3eqtr2rd 2246	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ∩ cin 3166  ⟨cop 3637   × cxp 4677  ^◡ccnv 4678   ↾ cres 4681  Fun wfun 5270  ‘cfv 5276  ℕcn 9043  ndxcnx 12873  Slot cslot 12875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3000  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fv 5284  df-slot 12880

This theorem is referenced by:  strslfv2  12920  strslfv  12921  strslfv3  12922  opelstrsl  12990