ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strslfv2d GIF version

Theorem strslfv2d 11844
Description: Deduction version of strslfv 11846. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
strslfv2d.e (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strfv2d.s (𝜑𝑆𝑉)
strfv2d.f (𝜑 → Fun 𝑆)
strfv2d.n (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
strfv2d.c (𝜑𝐶𝑊)
Assertion
Ref Expression
strslfv2d (𝜑𝐶 = (𝐸𝑆))

Proof of Theorem strslfv2d
StepHypRef Expression
1 strslfv2d.e . . . 4 (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
21simpli 110 . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
3 strfv2d.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
41simpri 112 . . . 4 (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
54a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
62, 3, 5strnfvnd 11822 . 2 (𝜑 → (𝐸𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
7 cnvcnv2 4950 . . . 4 𝑆 = (𝑆 ↾ V)
87fveq1i 5376 . . 3 (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx))
95elexd 2670 . . . 4 (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ V)
10 fvres 5399 . . . 4 ((𝐸‘ndx) ∈ V → ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
119, 10syl 14 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
128, 11syl5eq 2159 . 2 (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
13 strfv2d.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝑆)
14 strfv2d.n . . . . 5 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
15 strfv2d.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑊)
1615elexd 2670 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ V)
179, 16opelxpd 4532 . . . . 5 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
1814, 17elind 3227 . . . 4 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (𝑆 ∩ (V × V)))
19 cnvcnv 4949 . . . 4 𝑆 = (𝑆 ∩ (V × V))
2018, 19syl6eleqr 2208 . . 3 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
21 funopfv 5415 . . 3 (Fun 𝑆 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶))
2213, 20, 21sylc 62 . 2 (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
236, 12, 223eqtr2rd 2154 1 (𝜑𝐶 = (𝐸𝑆))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463  Vcvv 2657  cin 3036  cop 3496   × cxp 4497  ccnv 4498  cres 4501  Fun wfun 5075  cfv 5081  cn 8630  ndxcnx 11799  Slot cslot 11801
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-sbc 2879  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-slot 11806
This theorem is referenced by:  strslfv2  11845  strslfv  11846  opelstrsl  11898
  Copyright terms: Public domain W3C validator