ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strslfv2d GIF version

Theorem strslfv2d 12519
Description: Deduction version of strslfv 12521. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
strslfv2d.e (𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx) ∧ (πΈβ€˜ndx) ∈ β„•)
strfv2d.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
strfv2d.f (πœ‘ β†’ Fun ◑◑𝑆)
strfv2d.n (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑆)
strfv2d.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
strslfv2d (πœ‘ β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘†))

Proof of Theorem strslfv2d
StepHypRef Expression
1 strslfv2d.e . . . 4 (𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx) ∧ (πΈβ€˜ndx) ∈ β„•)
21simpli 111 . . 3 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
3 strfv2d.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
41simpri 113 . . . 4 (πΈβ€˜ndx) ∈ β„•
54a1i 9 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜ndx) ∈ β„•)
62, 3, 5strnfvnd 12496 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘†) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)))
7 cnvcnv2 5094 . . . 4 ◑◑𝑆 = (𝑆 β†Ύ V)
87fveq1i 5528 . . 3 (β—‘β—‘π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = ((𝑆 β†Ύ V)β€˜(πΈβ€˜ndx))
95elexd 2762 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜ndx) ∈ V)
10 fvres 5551 . . . 4 ((πΈβ€˜ndx) ∈ V β†’ ((𝑆 β†Ύ V)β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)))
119, 10syl 14 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 β†Ύ V)β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)))
128, 11eqtrid 2232 . 2 (πœ‘ β†’ (β—‘β—‘π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)))
13 strfv2d.f . . 3 (πœ‘ β†’ Fun ◑◑𝑆)
14 strfv2d.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑆)
15 strfv2d.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Š)
1615elexd 2762 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ V)
179, 16opelxpd 4671 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ (V Γ— V))
1814, 17elind 3332 . . . 4 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ (𝑆 ∩ (V Γ— V)))
19 cnvcnv 5093 . . . 4 ◑◑𝑆 = (𝑆 ∩ (V Γ— V))
2018, 19eleqtrrdi 2281 . . 3 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ ◑◑𝑆)
21 funopfv 5568 . . 3 (Fun ◑◑𝑆 β†’ (⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ ◑◑𝑆 β†’ (β—‘β—‘π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = 𝐢))
2213, 20, 21sylc 62 . 2 (πœ‘ β†’ (β—‘β—‘π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = 𝐢)
236, 12, 223eqtr2rd 2227 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  Vcvv 2749   ∩ cin 3140  βŸ¨cop 3607   Γ— cxp 4636  β—‘ccnv 4637   β†Ύ cres 4640  Fun wfun 5222  β€˜cfv 5228  β„•cn 8933  ndxcnx 12473  Slot cslot 12475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-sbc 2975  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-slot 12480
This theorem is referenced by:  strslfv2  12520  strslfv  12521  opelstrsl  12588
  Copyright terms: Public domain W3C validator