Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strslfv2d GIF version

Theorem strslfv2d 12192
 Description: Deduction version of strslfv 12194. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
strslfv2d.e (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strfv2d.s (𝜑𝑆𝑉)
strfv2d.f (𝜑 → Fun 𝑆)
strfv2d.n (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
strfv2d.c (𝜑𝐶𝑊)
Assertion
Ref Expression
strslfv2d (𝜑𝐶 = (𝐸𝑆))

Proof of Theorem strslfv2d
StepHypRef Expression
1 strslfv2d.e . . . 4 (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
21simpli 110 . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
3 strfv2d.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
41simpri 112 . . . 4 (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
54a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
62, 3, 5strnfvnd 12170 . 2 (𝜑 → (𝐸𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
7 cnvcnv2 5036 . . . 4 𝑆 = (𝑆 ↾ V)
87fveq1i 5466 . . 3 (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx))
95elexd 2725 . . . 4 (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ V)
10 fvres 5489 . . . 4 ((𝐸‘ndx) ∈ V → ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
119, 10syl 14 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
128, 11syl5eq 2202 . 2 (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
13 strfv2d.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝑆)
14 strfv2d.n . . . . 5 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
15 strfv2d.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑊)
1615elexd 2725 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ V)
179, 16opelxpd 4616 . . . . 5 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
1814, 17elind 3292 . . . 4 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (𝑆 ∩ (V × V)))
19 cnvcnv 5035 . . . 4 𝑆 = (𝑆 ∩ (V × V))
2018, 19eleqtrrdi 2251 . . 3 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
21 funopfv 5505 . . 3 (Fun 𝑆 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶))
2213, 20, 21sylc 62 . 2 (𝜑 → (𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
236, 12, 223eqtr2rd 2197 1 (𝜑𝐶 = (𝐸𝑆))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  Vcvv 2712   ∩ cin 3101  ⟨cop 3563   × cxp 4581  ◡ccnv 4582   ↾ cres 4585  Fun wfun 5161  ‘cfv 5167  ℕcn 8816  ndxcnx 12147  Slot cslot 12149 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fv 5175  df-slot 12154 This theorem is referenced by:  strslfv2  12193  strslfv  12194  opelstrsl  12246
 Copyright terms: Public domain W3C validator