Theorem strslfv2d 13186

Description: Deduction version of strslfv 13188. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strslfv2d.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strfv2d.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
strfv2d.f	⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
strfv2d.n	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
strfv2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
strslfv2d	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strslfv2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strslfv2d.e	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	simpli 111	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
3		strfv2d.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4	1	simpri 113	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
6	2, 3, 5	strnfvnd 13163	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
7		cnvcnv2 5197	. . . 4 ⊢ ◡◡𝑆 = (𝑆 ↾ V)
8	7	fveq1i 5649	. . 3 ⊢ (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx))
9	5	elexd 2817	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ V)
10		fvres 5672	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ V → ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
11	9, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
12	8, 11	eqtrid 2276	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
13		strfv2d.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
14		strfv2d.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
15		strfv2d.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
16	15	elexd 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
17	9, 16	opelxpd 4764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
18	14, 17	elind 3394	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (𝑆 ∩ (V × V)))
19		cnvcnv 5196	. . . 4 ⊢ ◡◡𝑆 = (𝑆 ∩ (V × V))
20	18, 19	eleqtrrdi 2325	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ ◡◡𝑆)
21		funopfv 5692	. . 3 ⊢ (Fun ◡◡𝑆 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ ◡◡𝑆 → (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶))
22	13, 20, 21	sylc 62	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
23	6, 12, 22	3eqtr2rd 2271	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ∩ cin 3200  ⟨cop 3676   × cxp 4729  ^◡ccnv 4730   ↾ cres 4733  Fun wfun 5327  ‘cfv 5333  ℕcn 9186  ndxcnx 13140  Slot cslot 13142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-slot 13147

This theorem is referenced by:  strslfv2  13187  strslfv  13188  strslfv3  13189  opelstrsl  13258