ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strslfv2d GIF version

Theorem strslfv2d 12507
Description: Deduction version of strslfv 12509. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
strslfv2d.e (𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx) ∧ (πΈβ€˜ndx) ∈ β„•)
strfv2d.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
strfv2d.f (πœ‘ β†’ Fun ◑◑𝑆)
strfv2d.n (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑆)
strfv2d.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
strslfv2d (πœ‘ β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘†))

Proof of Theorem strslfv2d
StepHypRef Expression
1 strslfv2d.e . . . 4 (𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx) ∧ (πΈβ€˜ndx) ∈ β„•)
21simpli 111 . . 3 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
3 strfv2d.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
41simpri 113 . . . 4 (πΈβ€˜ndx) ∈ β„•
54a1i 9 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜ndx) ∈ β„•)
62, 3, 5strnfvnd 12484 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘†) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)))
7 cnvcnv2 5084 . . . 4 ◑◑𝑆 = (𝑆 β†Ύ V)
87fveq1i 5518 . . 3 (β—‘β—‘π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = ((𝑆 β†Ύ V)β€˜(πΈβ€˜ndx))
95elexd 2752 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜ndx) ∈ V)
10 fvres 5541 . . . 4 ((πΈβ€˜ndx) ∈ V β†’ ((𝑆 β†Ύ V)β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)))
119, 10syl 14 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 β†Ύ V)β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)))
128, 11eqtrid 2222 . 2 (πœ‘ β†’ (β—‘β—‘π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)))
13 strfv2d.f . . 3 (πœ‘ β†’ Fun ◑◑𝑆)
14 strfv2d.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑆)
15 strfv2d.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Š)
1615elexd 2752 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ V)
179, 16opelxpd 4661 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ (V Γ— V))
1814, 17elind 3322 . . . 4 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ (𝑆 ∩ (V Γ— V)))
19 cnvcnv 5083 . . . 4 ◑◑𝑆 = (𝑆 ∩ (V Γ— V))
2018, 19eleqtrrdi 2271 . . 3 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ ◑◑𝑆)
21 funopfv 5557 . . 3 (Fun ◑◑𝑆 β†’ (⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ ◑◑𝑆 β†’ (β—‘β—‘π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = 𝐢))
2213, 20, 21sylc 62 . 2 (πœ‘ β†’ (β—‘β—‘π‘†β€˜(πΈβ€˜ndx)) = 𝐢)
236, 12, 223eqtr2rd 2217 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   ∩ cin 3130  βŸ¨cop 3597   Γ— cxp 4626  β—‘ccnv 4627   β†Ύ cres 4630  Fun wfun 5212  β€˜cfv 5218  β„•cn 8921  ndxcnx 12461  Slot cslot 12463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-slot 12468
This theorem is referenced by:  strslfv2  12508  strslfv  12509  opelstrsl  12575
  Copyright terms: Public domain W3C validator