Theorem pilem3 14959

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pilem3	⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Proof of Theorem pilem3

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑞 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin0pilem2 14958	. 2 ⊢ ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
2		df-pi 11799	. . . . . 6 ⊢ π = inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < )
3		lttri3 8101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
5		elioore 9981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ)
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ ℝ)
7		0re 8021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 ∈ ℝ)
9		2re 9054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 2 ∈ ℝ)
11		2pos 9075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 < 2)
13		eliooord 9997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 4))
14	13	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 2 < 𝑞)
15	8, 10, 5, 12, 14	lttrd 8147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 < 𝑞)
16	5, 15	elrpd 9762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ+)
17	16	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ ℝ+)
18		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (sin‘𝑞) = 0)
19		sinf 11850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
20		ffun 5407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sin:ℂ⟶ℂ → Fun sin)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Fun sin
22	5	recnd 8050	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℂ)
23	19	fdmi 5412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom sin = ℂ
24	22, 23	eleqtrrdi 2287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ dom sin)
25		funbrfvb 5600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun sin ∧ 𝑞 ∈ dom sin) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
26	21, 24, 25	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
27	26	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
28	18, 27	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞sin0)
29		0nn0 9258	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
30		vex 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑞 ∈ V
31	30	eliniseg 5036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝑞 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ 𝑞sin0))
32	29, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ 𝑞sin0)
33	28, 32	sylibr 134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (◡sin “ {0}))
34	17, 33	elind 3345	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
35		fveq2 5555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (sin‘𝑥) = (sin‘𝑡))
36	35	breq2d 4042	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (0 < (sin‘𝑥) ↔ 0 < (sin‘𝑡)))
37		simprr 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
38	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
39		elinel1 3346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑡 ∈ ℝ+)
40	39	rpred 9765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑡 ∈ ℝ)
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 ∈ ℝ)
42	39	rpgt0d 9768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 0 < 𝑡)
43	42	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 0 < 𝑡)
44		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 < 𝑞)
45		0xr 8068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
46	5	rexrd 8071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ*)
47	46	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑞 ∈ ℝ*)
48		elioo2 9990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑞 ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ (0(,)𝑞) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑞)))
49	45, 47, 48	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → (𝑡 ∈ (0(,)𝑞) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑞)))
50	41, 43, 44, 49	mpbir3and 1182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 ∈ (0(,)𝑞))
51	36, 38, 50	rspcdva 2870	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 0 < (sin‘𝑡))
52		elinel2 3347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑡 ∈ (◡sin “ {0}))
53	7	ltnri 8114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 0 < 0
54		vex 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑡 ∈ V
55	54	eliniseg 5036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ 𝑡sin0))
56	29, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ 𝑡sin0)
57		funbrfv 5596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Fun sin → (𝑡sin0 → (sin‘𝑡) = 0))
58	21, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡sin0 → (sin‘𝑡) = 0)
59	56, 58	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) → (sin‘𝑡) = 0)
60	59	breq2d 4042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) → (0 < (sin‘𝑡) ↔ 0 < 0))
61	53, 60	mtbiri 676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
62	52, 61	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
63	62	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
64	51, 63	pm2.65da 662	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → ¬ 𝑡 < 𝑞)
65	4, 6, 34, 64	infminti 7088	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) = 𝑞)
66	2, 65	eqtrid 2238	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → π = 𝑞)
67		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (2(,)4))
68	66, 67	eqeltrd 2270	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → π ∈ (2(,)4))
69	66	fveqeq2d 5563	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ((sin‘π) = 0 ↔ (sin‘𝑞) = 0))
70	18, 69	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (sin‘π) = 0)
71	68, 70	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
72	71	rexlimiva 2606	. 2 ⊢ (∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
73	1, 72	ax-mp 5	1 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   ∩ cin 3153  {csn 3619   class class class wbr 4030  ^◡ccnv 4659  dom cdm 4660   “ cima 4663  Fun wfun 5249  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  infcinf 7044  ℂcc 7872  ℝcr 7873  0cc0 7874  ℝ^*cxr 8055   < clt 8056  2c2 9035  4c4 9037  ℕ₀cn0 9243  ℝ⁺crp 9722  (,)cioo 9957  sincsin 11790  πcpi 11793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994  ax-pre-suploc 7995  ax-addf 7996  ax-mulf 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-disj 4008  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-of 6132  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-map 6706  df-pm 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-xneg 9841  df-xadd 9842  df-ioo 9961  df-ioc 9962  df-ico 9963  df-icc 9964  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-fac 10800  df-bc 10822  df-ihash 10850  df-shft 10962  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500  df-ef 11794  df-sin 11796  df-cos 11797  df-pi 11799  df-rest 12855  df-topgen 12874  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-met 14044  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-top 14177  df-topon 14190  df-bases 14222  df-ntr 14275  df-cn 14367  df-cnp 14368  df-tx 14432  df-cncf 14750  df-limced 14835  df-dvap 14836

This theorem is referenced by:  pigt2lt4  14960  sinpi  14961  pire  14962