Theorem pilem3 13344

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pilem3	⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Proof of Theorem pilem3

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑞 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin0pilem2 13343	. 2 ⊢ ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
2		df-pi 11594	. . . . . 6 ⊢ π = inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < )
3		lttri3 7978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
4	3	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
5		elioore 9848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ)
6	5	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ ℝ)
7		0re 7899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 ∈ ℝ)
9		2re 8927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 2 ∈ ℝ)
11		2pos 8948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 < 2)
13		eliooord 9864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 4))
14	13	simpld 111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 2 < 𝑞)
15	8, 10, 5, 12, 14	lttrd 8024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 < 𝑞)
16	5, 15	elrpd 9629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ+)
17	16	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ ℝ+)
18		simprl 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (sin‘𝑞) = 0)
19		sinf 11645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
20		ffun 5340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sin:ℂ⟶ℂ → Fun sin)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Fun sin
22	5	recnd 7927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℂ)
23	19	fdmi 5345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom sin = ℂ
24	22, 23	eleqtrrdi 2260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ dom sin)
25		funbrfvb 5529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun sin ∧ 𝑞 ∈ dom sin) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
26	21, 24, 25	sylancr 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
27	26	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
28	18, 27	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞sin0)
29		0nn0 9129	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
30		vex 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑞 ∈ V
31	30	eliniseg 4974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝑞 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ 𝑞sin0))
32	29, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ 𝑞sin0)
33	28, 32	sylibr 133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (◡sin “ {0}))
34	17, 33	elind 3307	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
35		fveq2 5486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (sin‘𝑥) = (sin‘𝑡))
36	35	breq2d 3994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (0 < (sin‘𝑥) ↔ 0 < (sin‘𝑡)))
37		simprr 522	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
38	37	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
39		elinel1 3308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑡 ∈ ℝ+)
40	39	rpred 9632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑡 ∈ ℝ)
41	40	ad2antlr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 ∈ ℝ)
42	39	rpgt0d 9635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 0 < 𝑡)
43	42	ad2antlr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 0 < 𝑡)
44		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 < 𝑞)
45		0xr 7945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
46	5	rexrd 7948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ*)
47	46	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑞 ∈ ℝ*)
48		elioo2 9857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑞 ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ (0(,)𝑞) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑞)))
49	45, 47, 48	sylancr 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → (𝑡 ∈ (0(,)𝑞) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑞)))
50	41, 43, 44, 49	mpbir3and 1170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 ∈ (0(,)𝑞))
51	36, 38, 50	rspcdva 2835	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 0 < (sin‘𝑡))
52		elinel2 3309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑡 ∈ (◡sin “ {0}))
53	7	ltnri 7991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 0 < 0
54		vex 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑡 ∈ V
55	54	eliniseg 4974	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ 𝑡sin0))
56	29, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ 𝑡sin0)
57		funbrfv 5525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Fun sin → (𝑡sin0 → (sin‘𝑡) = 0))
58	21, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡sin0 → (sin‘𝑡) = 0)
59	56, 58	sylbi 120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) → (sin‘𝑡) = 0)
60	59	breq2d 3994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) → (0 < (sin‘𝑡) ↔ 0 < 0))
61	53, 60	mtbiri 665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
62	52, 61	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
63	62	ad2antlr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
64	51, 63	pm2.65da 651	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → ¬ 𝑡 < 𝑞)
65	4, 6, 34, 64	infminti 6992	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) = 𝑞)
66	2, 65	syl5eq 2211	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → π = 𝑞)
67		simpl 108	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (2(,)4))
68	66, 67	eqeltrd 2243	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → π ∈ (2(,)4))
69	66	fveqeq2d 5494	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ((sin‘π) = 0 ↔ (sin‘𝑞) = 0))
70	18, 69	mpbird 166	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (sin‘π) = 0)
71	68, 70	jca 304	. . 3 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
72	71	rexlimiva 2578	. 2 ⊢ (∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
73	1, 72	ax-mp 5	1 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∃wrex 2445   ∩ cin 3115  {csn 3576   class class class wbr 3982  ^◡ccnv 4603  dom cdm 4604   “ cima 4607  Fun wfun 5182  ⟶wf 5184  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  infcinf 6948  ℂcc 7751  ℝcr 7752  0cc0 7753  ℝ^*cxr 7932   < clt 7933  2c2 8908  4c4 8910  ℕ₀cn0 9114  ℝ⁺crp 9589  (,)cioo 9824  sincsin 11585  πcpi 11588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873  ax-pre-suploc 7874  ax-addf 7875  ax-mulf 7876

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-disj 3960  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-of 6050  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-map 6616  df-pm 6617  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-5 8919  df-6 8920  df-7 8921  df-8 8922  df-9 8923  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-ioo 9828  df-ioc 9829  df-ico 9830  df-icc 9831  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-fac 10639  df-bc 10661  df-ihash 10689  df-shft 10757  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295  df-ef 11589  df-sin 11591  df-cos 11592  df-pi 11594  df-rest 12558  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-met 12629  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-ntr 12736  df-cn 12828  df-cnp 12829  df-tx 12893  df-cncf 13198  df-limced 13265  df-dvap 13266

This theorem is referenced by:  pigt2lt4  13345  sinpi  13346  pire  13347