ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pilem3 GIF version

Theorem pilem3 14207
Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
pilem3 (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Proof of Theorem pilem3
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑞 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sin0pilem2 14206 . 2 𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
2 df-pi 11661 . . . . . 6 π = inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < )
3 lttri3 8037 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
43adantl 277 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
5 elioore 9912 . . . . . . . 8 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ)
65adantr 276 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ ℝ)
7 0re 7957 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
87a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 ∈ ℝ)
9 2re 8989 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
109a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 2 ∈ ℝ)
11 2pos 9010 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
1211a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 < 2)
13 eliooord 9928 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝑞𝑞 < 4))
1413simpld 112 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 2 < 𝑞)
158, 10, 5, 12, 14lttrd 8083 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 < 𝑞)
165, 15elrpd 9693 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ+)
1716adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ ℝ+)
18 simprl 529 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (sin‘𝑞) = 0)
19 sinf 11712 . . . . . . . . . . . . 13 sin:ℂ⟶ℂ
20 ffun 5369 . . . . . . . . . . . . 13 (sin:ℂ⟶ℂ → Fun sin)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 Fun sin
225recnd 7986 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℂ)
2319fdmi 5374 . . . . . . . . . . . . 13 dom sin = ℂ
2422, 23eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ dom sin)
25 funbrfvb 5559 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun sin ∧ 𝑞 ∈ dom sin) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
2621, 24, 25sylancr 414 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ (2(,)4) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
2726adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
2818, 27mpbid 147 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞sin0)
29 0nn0 9191 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
30 vex 2741 . . . . . . . . . . 11 𝑞 ∈ V
3130eliniseg 4999 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℕ0 → (𝑞 ∈ (sin “ {0}) ↔ 𝑞sin0))
3229, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ (sin “ {0}) ↔ 𝑞sin0)
3328, 32sylibr 134 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (sin “ {0}))
3417, 33elind 3321 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})))
35 fveq2 5516 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑡 → (sin‘𝑥) = (sin‘𝑡))
3635breq2d 4016 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑡 → (0 < (sin‘𝑥) ↔ 0 < (sin‘𝑡)))
37 simprr 531 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
3837ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
39 elinel1 3322 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 𝑡 ∈ ℝ+)
4039rpred 9696 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 𝑡 ∈ ℝ)
4140ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 ∈ ℝ)
4239rpgt0d 9699 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 0 < 𝑡)
4342ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 0 < 𝑡)
44 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 < 𝑞)
45 0xr 8004 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
465rexrd 8007 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ*)
4746ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑞 ∈ ℝ*)
48 elioo2 9921 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ*𝑞 ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ (0(,)𝑞) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡𝑡 < 𝑞)))
4945, 47, 48sylancr 414 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → (𝑡 ∈ (0(,)𝑞) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡𝑡 < 𝑞)))
5041, 43, 44, 49mpbir3and 1180 . . . . . . . . 9 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 ∈ (0(,)𝑞))
5136, 38, 50rspcdva 2847 . . . . . . . 8 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 0 < (sin‘𝑡))
52 elinel2 3323 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 𝑡 ∈ (sin “ {0}))
537ltnri 8050 . . . . . . . . . . 11 ¬ 0 < 0
54 vex 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑡 ∈ V
5554eliniseg 4999 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ (sin “ {0}) ↔ 𝑡sin0))
5629, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (sin “ {0}) ↔ 𝑡sin0)
57 funbrfv 5555 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun sin → (𝑡sin0 → (sin‘𝑡) = 0))
5821, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡sin0 → (sin‘𝑡) = 0)
5956, 58sylbi 121 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ (sin “ {0}) → (sin‘𝑡) = 0)
6059breq2d 4016 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (sin “ {0}) → (0 < (sin‘𝑡) ↔ 0 < 0))
6153, 60mtbiri 675 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (sin “ {0}) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
6252, 61syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
6362ad2antlr 489 . . . . . . . 8 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
6451, 63pm2.65da 661 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → ¬ 𝑡 < 𝑞)
654, 6, 34, 64infminti 7026 . . . . . 6 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) = 𝑞)
662, 65eqtrid 2222 . . . . 5 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → π = 𝑞)
67 simpl 109 . . . . 5 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (2(,)4))
6866, 67eqeltrd 2254 . . . 4 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → π ∈ (2(,)4))
6966fveqeq2d 5524 . . . . 5 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ((sin‘π) = 0 ↔ (sin‘𝑞) = 0))
7018, 69mpbird 167 . . . 4 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (sin‘π) = 0)
7168, 70jca 306 . . 3 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
7271rexlimiva 2589 . 2 (∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
731, 72ax-mp 5 1 (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  cin 3129  {csn 3593   class class class wbr 4004  ccnv 4626  dom cdm 4627  cima 4630  Fun wfun 5211  wf 5213  cfv 5217  (class class class)co 5875  infcinf 6982  cc 7809  cr 7810  0cc0 7811  *cxr 7991   < clt 7992  2c2 8970  4c4 8972  0cn0 9176  +crp 9653  (,)cioo 9888  sincsin 11652  πcpi 11655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931  ax-pre-suploc 7932  ax-addf 7933  ax-mulf 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-disj 3982  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-of 6083  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-map 6650  df-pm 6651  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-5 8981  df-6 8982  df-7 8983  df-8 8984  df-9 8985  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-ioo 9892  df-ioc 9893  df-ico 9894  df-icc 9895  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-bc 10728  df-ihash 10756  df-shft 10824  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362  df-ef 11656  df-sin 11658  df-cos 11659  df-pi 11661  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-ntr 13599  df-cn 13691  df-cnp 13692  df-tx 13756  df-cncf 14061  df-limced 14128  df-dvap 14129
This theorem is referenced by:  pigt2lt4  14208  sinpi  14209  pire  14210
  Copyright terms: Public domain W3C validator