ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pilem3 GIF version

Theorem pilem3 14140
Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
pilem3 (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Proof of Theorem pilem3
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑞 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sin0pilem2 14139 . 2 𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
2 df-pi 11660 . . . . . 6 π = inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < )
3 lttri3 8036 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
43adantl 277 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
5 elioore 9911 . . . . . . . 8 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ)
65adantr 276 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ ℝ)
7 0re 7956 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
87a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 ∈ ℝ)
9 2re 8988 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
109a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 2 ∈ ℝ)
11 2pos 9009 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
1211a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 < 2)
13 eliooord 9927 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝑞𝑞 < 4))
1413simpld 112 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 2 < 𝑞)
158, 10, 5, 12, 14lttrd 8082 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 < 𝑞)
165, 15elrpd 9692 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ+)
1716adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ ℝ+)
18 simprl 529 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (sin‘𝑞) = 0)
19 sinf 11711 . . . . . . . . . . . . 13 sin:ℂ⟶ℂ
20 ffun 5368 . . . . . . . . . . . . 13 (sin:ℂ⟶ℂ → Fun sin)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 Fun sin
225recnd 7985 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℂ)
2319fdmi 5373 . . . . . . . . . . . . 13 dom sin = ℂ
2422, 23eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ dom sin)
25 funbrfvb 5558 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun sin ∧ 𝑞 ∈ dom sin) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
2621, 24, 25sylancr 414 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ (2(,)4) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
2726adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
2818, 27mpbid 147 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞sin0)
29 0nn0 9190 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
30 vex 2740 . . . . . . . . . . 11 𝑞 ∈ V
3130eliniseg 4998 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℕ0 → (𝑞 ∈ (sin “ {0}) ↔ 𝑞sin0))
3229, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ (sin “ {0}) ↔ 𝑞sin0)
3328, 32sylibr 134 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (sin “ {0}))
3417, 33elind 3320 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})))
35 fveq2 5515 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑡 → (sin‘𝑥) = (sin‘𝑡))
3635breq2d 4015 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑡 → (0 < (sin‘𝑥) ↔ 0 < (sin‘𝑡)))
37 simprr 531 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
3837ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
39 elinel1 3321 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 𝑡 ∈ ℝ+)
4039rpred 9695 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 𝑡 ∈ ℝ)
4140ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 ∈ ℝ)
4239rpgt0d 9698 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 0 < 𝑡)
4342ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 0 < 𝑡)
44 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 < 𝑞)
45 0xr 8003 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
465rexrd 8006 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ*)
4746ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑞 ∈ ℝ*)
48 elioo2 9920 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ*𝑞 ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ (0(,)𝑞) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡𝑡 < 𝑞)))
4945, 47, 48sylancr 414 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → (𝑡 ∈ (0(,)𝑞) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡𝑡 < 𝑞)))
5041, 43, 44, 49mpbir3and 1180 . . . . . . . . 9 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 ∈ (0(,)𝑞))
5136, 38, 50rspcdva 2846 . . . . . . . 8 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 0 < (sin‘𝑡))
52 elinel2 3322 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 𝑡 ∈ (sin “ {0}))
537ltnri 8049 . . . . . . . . . . 11 ¬ 0 < 0
54 vex 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑡 ∈ V
5554eliniseg 4998 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ (sin “ {0}) ↔ 𝑡sin0))
5629, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (sin “ {0}) ↔ 𝑡sin0)
57 funbrfv 5554 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun sin → (𝑡sin0 → (sin‘𝑡) = 0))
5821, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡sin0 → (sin‘𝑡) = 0)
5956, 58sylbi 121 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ (sin “ {0}) → (sin‘𝑡) = 0)
6059breq2d 4015 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (sin “ {0}) → (0 < (sin‘𝑡) ↔ 0 < 0))
6153, 60mtbiri 675 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (sin “ {0}) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
6252, 61syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
6362ad2antlr 489 . . . . . . . 8 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
6451, 63pm2.65da 661 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → ¬ 𝑡 < 𝑞)
654, 6, 34, 64infminti 7025 . . . . . 6 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) = 𝑞)
662, 65eqtrid 2222 . . . . 5 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → π = 𝑞)
67 simpl 109 . . . . 5 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (2(,)4))
6866, 67eqeltrd 2254 . . . 4 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → π ∈ (2(,)4))
6966fveqeq2d 5523 . . . . 5 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ((sin‘π) = 0 ↔ (sin‘𝑞) = 0))
7018, 69mpbird 167 . . . 4 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (sin‘π) = 0)
7168, 70jca 306 . . 3 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
7271rexlimiva 2589 . 2 (∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
731, 72ax-mp 5 1 (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  cin 3128  {csn 3592   class class class wbr 4003  ccnv 4625  dom cdm 4626  cima 4629  Fun wfun 5210  wf 5212  cfv 5216  (class class class)co 5874  infcinf 6981  cc 7808  cr 7809  0cc0 7810  *cxr 7990   < clt 7991  2c2 8969  4c4 8971  0cn0 9175  +crp 9652  (,)cioo 9887  sincsin 11651  πcpi 11654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930  ax-pre-suploc 7931  ax-addf 7932  ax-mulf 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-disj 3981  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-of 6082  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-map 6649  df-pm 6650  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-5 8980  df-6 8981  df-7 8982  df-8 8983  df-9 8984  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-ioo 9891  df-ioc 9892  df-ico 9893  df-icc 9894  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-fac 10705  df-bc 10727  df-ihash 10755  df-shft 10823  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361  df-ef 11655  df-sin 11657  df-cos 11658  df-pi 11660  df-rest 12689  df-topgen 12708  df-psmet 13383  df-xmet 13384  df-met 13385  df-bl 13386  df-mopn 13387  df-top 13434  df-topon 13447  df-bases 13479  df-ntr 13532  df-cn 13624  df-cnp 13625  df-tx 13689  df-cncf 13994  df-limced 14061  df-dvap 14062
This theorem is referenced by:  pigt2lt4  14141  sinpi  14142  pire  14143
  Copyright terms: Public domain W3C validator