Theorem pilem3 15774

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pilem3	⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Proof of Theorem pilem3

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑞 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin0pilem2 15773	. 2 ⊢ ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
2		df-pi 12364	. . . . . 6 ⊢ π = inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < )
3		lttri3 8369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
5		elioore 10264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ)
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ ℝ)
7		0re 8290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 ∈ ℝ)
9		2re 9324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 2 ∈ ℝ)
11		2pos 9345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 < 2)
13		eliooord 10280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 4))
14	13	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 2 < 𝑞)
15	8, 10, 5, 12, 14	lttrd 8415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 < 𝑞)
16	5, 15	elrpd 10044	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ+)
17	16	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ ℝ+)
18		simprl 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (sin‘𝑞) = 0)
19		sinf 12415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
20		ffun 5516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sin:ℂ⟶ℂ → Fun sin)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Fun sin
22	5	recnd 8318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℂ)
23	19	fdmi 5521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom sin = ℂ
24	22, 23	eleqtrrdi 2328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ dom sin)
25		funbrfvb 5722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun sin ∧ 𝑞 ∈ dom sin) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
26	21, 24, 25	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
27	26	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
28	18, 27	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞sin0)
29		0nn0 9528	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
30		vex 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑞 ∈ V
31	30	eliniseg 5137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝑞 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ 𝑞sin0))
32	29, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ 𝑞sin0)
33	28, 32	sylibr 134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (◡sin “ {0}))
34	17, 33	elind 3408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
35		fveq2 5675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (sin‘𝑥) = (sin‘𝑡))
36	35	breq2d 4126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (0 < (sin‘𝑥) ↔ 0 < (sin‘𝑡)))
37		simprr 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
38	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
39		elinel1 3409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑡 ∈ ℝ+)
40	39	rpred 10047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑡 ∈ ℝ)
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 ∈ ℝ)
42	39	rpgt0d 10050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 0 < 𝑡)
43	42	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 0 < 𝑡)
44		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 < 𝑞)
45		0xr 8336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
46	5	rexrd 8339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ*)
47	46	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑞 ∈ ℝ*)
48		elioo2 10273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑞 ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ (0(,)𝑞) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑞)))
49	45, 47, 48	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → (𝑡 ∈ (0(,)𝑞) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑞)))
50	41, 43, 44, 49	mpbir3and 1207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 ∈ (0(,)𝑞))
51	36, 38, 50	rspcdva 2928	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 0 < (sin‘𝑡))
52		elinel2 3410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑡 ∈ (◡sin “ {0}))
53	7	ltnri 8382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 0 < 0
54		vex 2818	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑡 ∈ V
55	54	eliniseg 5137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ 𝑡sin0))
56	29, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ 𝑡sin0)
57		funbrfv 5718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Fun sin → (𝑡sin0 → (sin‘𝑡) = 0))
58	21, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡sin0 → (sin‘𝑡) = 0)
59	56, 58	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) → (sin‘𝑡) = 0)
60	59	breq2d 4126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) → (0 < (sin‘𝑡) ↔ 0 < 0))
61	53, 60	mtbiri 682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
62	52, 61	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
63	62	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
64	51, 63	pm2.65da 667	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → ¬ 𝑡 < 𝑞)
65	4, 6, 34, 64	infminti 7331	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) = 𝑞)
66	2, 65	eqtrid 2279	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → π = 𝑞)
67		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (2(,)4))
68	66, 67	eqeltrd 2311	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → π ∈ (2(,)4))
69	66	fveqeq2d 5683	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ((sin‘π) = 0 ↔ (sin‘𝑞) = 0))
70	18, 69	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (sin‘π) = 0)
71	68, 70	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
72	71	rexlimiva 2657	. 2 ⊢ (∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
73	1, 72	ax-mp 5	1 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   ∩ cin 3213  {csn 3694   class class class wbr 4114  ^◡ccnv 4753  dom cdm 4754   “ cima 4757  Fun wfun 5351  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  infcinf 7287  ℂcc 8141  ℝcr 8142  0cc0 8143  ℝ^*cxr 8323   < clt 8324  2c2 9305  4c4 9307  ℕ₀cn0 9513  ℝ⁺crp 10004  (,)cioo 10240  sincsin 12355  πcpi 12358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263  ax-pre-suploc 8264  ax-addf 8265  ax-mulf 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-disj 4091  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-map 6897  df-pm 6898  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-ioo 10244  df-ioc 10245  df-ico 10246  df-icc 10247  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-fac 11113  df-bc 11135  df-ihash 11164  df-shft 11525  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064  df-ef 12359  df-sin 12361  df-cos 12362  df-pi 12364  df-rest 13538  df-topgen 13557  df-psmet 14817  df-xmet 14818  df-met 14819  df-bl 14820  df-mopn 14821  df-top 14989  df-topon 15002  df-bases 15034  df-ntr 15087  df-cn 15179  df-cnp 15180  df-tx 15244  df-cncf 15562  df-limced 15647  df-dvap 15648

This theorem is referenced by:  pigt2lt4  15775  sinpi  15776  pire  15777