Theorem pilem3 15807

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pilem3	⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Proof of Theorem pilem3

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑞 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin0pilem2 15806	. 2 ⊢ ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
2		df-pi 12398	. . . . . 6 ⊢ π = inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < )
3		lttri3 8395	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
5		elioore 10293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ)
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ ℝ)
7		0re 8316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 ∈ ℝ)
9		2re 9353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 2 ∈ ℝ)
11		2pos 9374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 < 2)
13		eliooord 10309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 4))
14	13	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 2 < 𝑞)
15	8, 10, 5, 12, 14	lttrd 8442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 < 𝑞)
16	5, 15	elrpd 10073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ+)
17	16	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ ℝ+)
18		simprl 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (sin‘𝑞) = 0)
19		sinf 12449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
20		ffun 5531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sin:ℂ⟶ℂ → Fun sin)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Fun sin
22	5	recnd 8344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℂ)
23	19	fdmi 5536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom sin = ℂ
24	22, 23	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ dom sin)
25		funbrfvb 5737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun sin ∧ 𝑞 ∈ dom sin) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
26	21, 24, 25	sylancr 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
27	26	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
28	18, 27	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞sin0)
29		0nn0 9557	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
30		vex 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑞 ∈ V
31	30	eliniseg 5152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝑞 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ 𝑞sin0))
32	29, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ 𝑞sin0)
33	28, 32	sylibr 134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (◡sin “ {0}))
34	17, 33	elind 3414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
35		fveq2 5690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (sin‘𝑥) = (sin‘𝑡))
36	35	breq2d 4137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (0 < (sin‘𝑥) ↔ 0 < (sin‘𝑡)))
37		simprr 537	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
38	37	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
39		elinel1 3415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑡 ∈ ℝ+)
40	39	rpred 10076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑡 ∈ ℝ)
41	40	ad2antlr 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 ∈ ℝ)
42	39	rpgt0d 10079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 0 < 𝑡)
43	42	ad2antlr 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 0 < 𝑡)
44		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 < 𝑞)
45		0xr 8362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
46	5	rexrd 8365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ*)
47	46	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑞 ∈ ℝ*)
48		elioo2 10302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑞 ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ (0(,)𝑞) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑞)))
49	45, 47, 48	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → (𝑡 ∈ (0(,)𝑞) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑞)))
50	41, 43, 44, 49	mpbir3and 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 ∈ (0(,)𝑞))
51	36, 38, 50	rspcdva 2934	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 0 < (sin‘𝑡))
52		elinel2 3416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑡 ∈ (◡sin “ {0}))
53	7	ltnri 8408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 0 < 0
54		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑡 ∈ V
55	54	eliniseg 5152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ 𝑡sin0))
56	29, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ 𝑡sin0)
57		funbrfv 5733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Fun sin → (𝑡sin0 → (sin‘𝑡) = 0))
58	21, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡sin0 → (sin‘𝑡) = 0)
59	56, 58	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) → (sin‘𝑡) = 0)
60	59	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) → (0 < (sin‘𝑡) ↔ 0 < 0))
61	53, 60	mtbiri 686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
62	52, 61	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
63	62	ad2antlr 493	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
64	51, 63	pm2.65da 671	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → ¬ 𝑡 < 𝑞)
65	4, 6, 34, 64	infminti 7357	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) = 𝑞)
66	2, 65	eqtrid 2283	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → π = 𝑞)
67		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (2(,)4))
68	66, 67	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → π ∈ (2(,)4))
69	66	fveqeq2d 5698	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ((sin‘π) = 0 ↔ (sin‘𝑞) = 0))
70	18, 69	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (sin‘π) = 0)
71	68, 70	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
72	71	rexlimiva 2663	. 2 ⊢ (∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
73	1, 72	ax-mp 5	1 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ∩ cin 3219  {csn 3705   class class class wbr 4125  ^◡ccnv 4768  dom cdm 4769   “ cima 4772  Fun wfun 5366  ⟶wf 5368  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  infcinf 7313  ℂcc 8167  ℝcr 8168  0cc0 8169  ℝ^*cxr 8349   < clt 8350  2c2 9334  4c4 9336  ℕ₀cn0 9542  ℝ⁺crp 10033  (,)cioo 10269  sincsin 12389  πcpi 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289  ax-pre-suploc 8290  ax-addf 8291  ax-mulf 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-disj 4102  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-of 6292  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-map 6914  df-pm 6915  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-xneg 10153  df-xadd 10154  df-ioo 10273  df-ioc 10274  df-ico 10275  df-icc 10276  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-fac 11142  df-bc 11164  df-ihash 11193  df-shft 11558  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098  df-ef 12393  df-sin 12395  df-cos 12396  df-pi 12398  df-rest 13572  df-topgen 13591  df-psmet 14852  df-xmet 14853  df-met 14854  df-bl 14855  df-mopn 14856  df-top 15022  df-topon 15035  df-bases 15067  df-ntr 15120  df-cn 15212  df-cnp 15213  df-tx 15277  df-cncf 15595  df-limced 15680  df-dvap 15681

This theorem is referenced by:  pigt2lt4  15808  sinpi  15809  pire  15810