Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pilem3 GIF version

Theorem pilem3 12874
 Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
pilem3 (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Proof of Theorem pilem3
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑞 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sin0pilem2 12873 . 2 𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
2 df-pi 11366 . . . . . 6 π = inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < )
3 lttri3 7851 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
43adantl 275 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
5 elioore 9702 . . . . . . . 8 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ)
65adantr 274 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ ℝ)
7 0re 7773 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
87a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 ∈ ℝ)
9 2re 8797 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
109a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 2 ∈ ℝ)
11 2pos 8818 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
1211a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 < 2)
13 eliooord 9718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝑞𝑞 < 4))
1413simpld 111 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 2 < 𝑞)
158, 10, 5, 12, 14lttrd 7895 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 < 𝑞)
165, 15elrpd 9488 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ+)
1716adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ ℝ+)
18 simprl 520 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (sin‘𝑞) = 0)
19 sinf 11418 . . . . . . . . . . . . 13 sin:ℂ⟶ℂ
20 ffun 5275 . . . . . . . . . . . . 13 (sin:ℂ⟶ℂ → Fun sin)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 Fun sin
225recnd 7801 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℂ)
2319fdmi 5280 . . . . . . . . . . . . 13 dom sin = ℂ
2422, 23eleqtrrdi 2233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ dom sin)
25 funbrfvb 5464 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun sin ∧ 𝑞 ∈ dom sin) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
2621, 24, 25sylancr 410 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ (2(,)4) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
2726adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
2818, 27mpbid 146 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞sin0)
29 0nn0 8999 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
30 vex 2689 . . . . . . . . . . 11 𝑞 ∈ V
3130eliniseg 4909 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℕ0 → (𝑞 ∈ (sin “ {0}) ↔ 𝑞sin0))
3229, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ (sin “ {0}) ↔ 𝑞sin0)
3328, 32sylibr 133 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (sin “ {0}))
3417, 33elind 3261 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})))
35 fveq2 5421 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑡 → (sin‘𝑥) = (sin‘𝑡))
3635breq2d 3941 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑡 → (0 < (sin‘𝑥) ↔ 0 < (sin‘𝑡)))
37 simprr 521 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
3837ad2antrr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
39 elinel1 3262 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 𝑡 ∈ ℝ+)
4039rpred 9490 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 𝑡 ∈ ℝ)
4140ad2antlr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 ∈ ℝ)
4239rpgt0d 9493 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 0 < 𝑡)
4342ad2antlr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 0 < 𝑡)
44 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 < 𝑞)
45 0xr 7819 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
465rexrd 7822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ*)
4746ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑞 ∈ ℝ*)
48 elioo2 9711 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ*𝑞 ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ (0(,)𝑞) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡𝑡 < 𝑞)))
4945, 47, 48sylancr 410 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → (𝑡 ∈ (0(,)𝑞) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡𝑡 < 𝑞)))
5041, 43, 44, 49mpbir3and 1164 . . . . . . . . 9 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 ∈ (0(,)𝑞))
5136, 38, 50rspcdva 2794 . . . . . . . 8 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 0 < (sin‘𝑡))
52 elinel2 3263 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 𝑡 ∈ (sin “ {0}))
537ltnri 7863 . . . . . . . . . . 11 ¬ 0 < 0
54 vex 2689 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑡 ∈ V
5554eliniseg 4909 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ (sin “ {0}) ↔ 𝑡sin0))
5629, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (sin “ {0}) ↔ 𝑡sin0)
57 funbrfv 5460 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun sin → (𝑡sin0 → (sin‘𝑡) = 0))
5821, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡sin0 → (sin‘𝑡) = 0)
5956, 58sylbi 120 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ (sin “ {0}) → (sin‘𝑡) = 0)
6059breq2d 3941 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (sin “ {0}) → (0 < (sin‘𝑡) ↔ 0 < 0))
6153, 60mtbiri 664 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (sin “ {0}) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
6252, 61syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
6362ad2antlr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
6451, 63pm2.65da 650 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → ¬ 𝑡 < 𝑞)
654, 6, 34, 64infminti 6914 . . . . . 6 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) = 𝑞)
662, 65syl5eq 2184 . . . . 5 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → π = 𝑞)
67 simpl 108 . . . . 5 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (2(,)4))
6866, 67eqeltrd 2216 . . . 4 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → π ∈ (2(,)4))
6966fveqeq2d 5429 . . . . 5 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ((sin‘π) = 0 ↔ (sin‘𝑞) = 0))
7018, 69mpbird 166 . . . 4 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (sin‘π) = 0)
7168, 70jca 304 . . 3 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
7271rexlimiva 2544 . 2 (∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
731, 72ax-mp 5 1 (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417   ∩ cin 3070  {csn 3527   class class class wbr 3929  ◡ccnv 4538  dom cdm 4539   “ cima 4542  Fun wfun 5117  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  infcinf 6870  ℂcc 7625  ℝcr 7626  0cc0 7627  ℝ*cxr 7806   < clt 7807  2c2 8778  4c4 8780  ℕ0cn0 8984  ℝ+crp 9448  (,)cioo 9678  sincsin 11357  πcpi 11360 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747  ax-pre-suploc 7748  ax-addf 7749  ax-mulf 7750 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-5 8789  df-6 8790  df-7 8791  df-8 8792  df-9 8793  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-xneg 9566  df-xadd 9567  df-ioo 9682  df-ioc 9683  df-ico 9684  df-icc 9685  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-bc 10501  df-ihash 10529  df-shft 10594  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361  df-sin 11363  df-cos 11364  df-pi 11366  df-rest 12132  df-topgen 12151  df-psmet 12166  df-xmet 12167  df-met 12168  df-bl 12169  df-mopn 12170  df-top 12175  df-topon 12188  df-bases 12220  df-ntr 12275  df-cn 12367  df-cnp 12368  df-tx 12432  df-cncf 12737  df-limced 12804  df-dvap 12805 This theorem is referenced by:  pigt2lt4  12875  sinpi  12876  pire  12877
 Copyright terms: Public domain W3C validator