ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pilem3 GIF version

Theorem pilem3 12874
Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
pilem3 (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Proof of Theorem pilem3
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑞 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sin0pilem2 12873 . 2 𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
2 df-pi 11366 . . . . . 6 π = inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < )
3 lttri3 7851 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
43adantl 275 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
5 elioore 9702 . . . . . . . 8 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ)
65adantr 274 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ ℝ)
7 0re 7773 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
87a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 ∈ ℝ)
9 2re 8797 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
109a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 2 ∈ ℝ)
11 2pos 8818 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
1211a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 < 2)
13 eliooord 9718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝑞𝑞 < 4))
1413simpld 111 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 2 < 𝑞)
158, 10, 5, 12, 14lttrd 7895 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 < 𝑞)
165, 15elrpd 9488 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ+)
1716adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ ℝ+)
18 simprl 520 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (sin‘𝑞) = 0)
19 sinf 11418 . . . . . . . . . . . . 13 sin:ℂ⟶ℂ
20 ffun 5275 . . . . . . . . . . . . 13 (sin:ℂ⟶ℂ → Fun sin)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 Fun sin
225recnd 7801 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℂ)
2319fdmi 5280 . . . . . . . . . . . . 13 dom sin = ℂ
2422, 23eleqtrrdi 2233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ dom sin)
25 funbrfvb 5464 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun sin ∧ 𝑞 ∈ dom sin) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
2621, 24, 25sylancr 410 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ (2(,)4) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
2726adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
2818, 27mpbid 146 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞sin0)
29 0nn0 8999 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
30 vex 2689 . . . . . . . . . . 11 𝑞 ∈ V
3130eliniseg 4909 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℕ0 → (𝑞 ∈ (sin “ {0}) ↔ 𝑞sin0))
3229, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ (sin “ {0}) ↔ 𝑞sin0)
3328, 32sylibr 133 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (sin “ {0}))
3417, 33elind 3261 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})))
35 fveq2 5421 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑡 → (sin‘𝑥) = (sin‘𝑡))
3635breq2d 3941 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑡 → (0 < (sin‘𝑥) ↔ 0 < (sin‘𝑡)))
37 simprr 521 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
3837ad2antrr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
39 elinel1 3262 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 𝑡 ∈ ℝ+)
4039rpred 9490 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 𝑡 ∈ ℝ)
4140ad2antlr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 ∈ ℝ)
4239rpgt0d 9493 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 0 < 𝑡)
4342ad2antlr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 0 < 𝑡)
44 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 < 𝑞)
45 0xr 7819 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
465rexrd 7822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ*)
4746ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑞 ∈ ℝ*)
48 elioo2 9711 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ*𝑞 ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ (0(,)𝑞) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡𝑡 < 𝑞)))
4945, 47, 48sylancr 410 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → (𝑡 ∈ (0(,)𝑞) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡𝑡 < 𝑞)))
5041, 43, 44, 49mpbir3and 1164 . . . . . . . . 9 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 ∈ (0(,)𝑞))
5136, 38, 50rspcdva 2794 . . . . . . . 8 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 0 < (sin‘𝑡))
52 elinel2 3263 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 𝑡 ∈ (sin “ {0}))
537ltnri 7863 . . . . . . . . . . 11 ¬ 0 < 0
54 vex 2689 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑡 ∈ V
5554eliniseg 4909 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ (sin “ {0}) ↔ 𝑡sin0))
5629, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (sin “ {0}) ↔ 𝑡sin0)
57 funbrfv 5460 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun sin → (𝑡sin0 → (sin‘𝑡) = 0))
5821, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡sin0 → (sin‘𝑡) = 0)
5956, 58sylbi 120 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ (sin “ {0}) → (sin‘𝑡) = 0)
6059breq2d 3941 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (sin “ {0}) → (0 < (sin‘𝑡) ↔ 0 < 0))
6153, 60mtbiri 664 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (sin “ {0}) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
6252, 61syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
6362ad2antlr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
6451, 63pm2.65da 650 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → ¬ 𝑡 < 𝑞)
654, 6, 34, 64infminti 6914 . . . . . 6 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) = 𝑞)
662, 65syl5eq 2184 . . . . 5 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → π = 𝑞)
67 simpl 108 . . . . 5 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (2(,)4))
6866, 67eqeltrd 2216 . . . 4 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → π ∈ (2(,)4))
6966fveqeq2d 5429 . . . . 5 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ((sin‘π) = 0 ↔ (sin‘𝑞) = 0))
7018, 69mpbird 166 . . . 4 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (sin‘π) = 0)
7168, 70jca 304 . . 3 ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
7271rexlimiva 2544 . 2 (∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
731, 72ax-mp 5 1 (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  cin 3070  {csn 3527   class class class wbr 3929  ccnv 4538  dom cdm 4539  cima 4542  Fun wfun 5117  wf 5119  cfv 5123  (class class class)co 5774  infcinf 6870  cc 7625  cr 7626  0cc0 7627  *cxr 7806   < clt 7807  2c2 8778  4c4 8780  0cn0 8984  +crp 9448  (,)cioo 9678  sincsin 11357  πcpi 11360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747  ax-pre-suploc 7748  ax-addf 7749  ax-mulf 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-5 8789  df-6 8790  df-7 8791  df-8 8792  df-9 8793  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-xneg 9566  df-xadd 9567  df-ioo 9682  df-ioc 9683  df-ico 9684  df-icc 9685  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-bc 10501  df-ihash 10529  df-shft 10594  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361  df-sin 11363  df-cos 11364  df-pi 11366  df-rest 12132  df-topgen 12151  df-psmet 12166  df-xmet 12167  df-met 12168  df-bl 12169  df-mopn 12170  df-top 12175  df-topon 12188  df-bases 12220  df-ntr 12275  df-cn 12367  df-cnp 12368  df-tx 12432  df-cncf 12737  df-limced 12804  df-dvap 12805
This theorem is referenced by:  pigt2lt4  12875  sinpi  12876  pire  12877
  Copyright terms: Public domain W3C validator