Theorem pilem3 15451

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pilem3	⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Proof of Theorem pilem3

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑞 𝑥 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin0pilem2 15450	. 2 ⊢ ∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
2		df-pi 12159	. . . . . 6 ⊢ π = inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < )
3		lttri3 8222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
5		elioore 10104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ)
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ ℝ)
7		0re 8142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 ∈ ℝ)
9		2re 9176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 2 ∈ ℝ)
11		2pos 9197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 < 2)
13		eliooord 10120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 4))
14	13	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 2 < 𝑞)
15	8, 10, 5, 12, 14	lttrd 8268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 0 < 𝑞)
16	5, 15	elrpd 9885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ+)
17	16	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ ℝ+)
18		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (sin‘𝑞) = 0)
19		sinf 12210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
20		ffun 5475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sin:ℂ⟶ℂ → Fun sin)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Fun sin
22	5	recnd 8171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℂ)
23	19	fdmi 5480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom sin = ℂ
24	22, 23	eleqtrrdi 2323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ dom sin)
25		funbrfvb 5673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun sin ∧ 𝑞 ∈ dom sin) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
26	21, 24, 25	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
27	26	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ((sin‘𝑞) = 0 ↔ 𝑞sin0))
28	18, 27	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞sin0)
29		0nn0 9380	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
30		vex 2802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑞 ∈ V
31	30	eliniseg 5097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝑞 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ 𝑞sin0))
32	29, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ 𝑞sin0)
33	28, 32	sylibr 134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (◡sin “ {0}))
34	17, 33	elind 3389	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
35		fveq2 5626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (sin‘𝑥) = (sin‘𝑡))
36	35	breq2d 4094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (0 < (sin‘𝑥) ↔ 0 < (sin‘𝑡)))
37		simprr 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
38	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))
39		elinel1 3390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑡 ∈ ℝ+)
40	39	rpred 9888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑡 ∈ ℝ)
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 ∈ ℝ)
42	39	rpgt0d 9891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 0 < 𝑡)
43	42	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 0 < 𝑡)
44		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 < 𝑞)
45		0xr 8189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
46	5	rexrd 8192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (2(,)4) → 𝑞 ∈ ℝ*)
47	46	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑞 ∈ ℝ*)
48		elioo2 10113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑞 ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ (0(,)𝑞) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑞)))
49	45, 47, 48	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → (𝑡 ∈ (0(,)𝑞) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑞)))
50	41, 43, 44, 49	mpbir3and 1204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 ∈ (0(,)𝑞))
51	36, 38, 50	rspcdva 2912	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 0 < (sin‘𝑡))
52		elinel2 3391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑡 ∈ (◡sin “ {0}))
53	7	ltnri 8235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 0 < 0
54		vex 2802	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑡 ∈ V
55	54	eliniseg 5097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ 𝑡sin0))
56	29, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ 𝑡sin0)
57		funbrfv 5669	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Fun sin → (𝑡sin0 → (sin‘𝑡) = 0))
58	21, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡sin0 → (sin‘𝑡) = 0)
59	56, 58	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) → (sin‘𝑡) = 0)
60	59	breq2d 4094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) → (0 < (sin‘𝑡) ↔ 0 < 0))
61	53, 60	mtbiri 679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (◡sin “ {0}) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
62	52, 61	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
63	62	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → ¬ 0 < (sin‘𝑡))
64	51, 63	pm2.65da 665	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → ¬ 𝑡 < 𝑞)
65	4, 6, 34, 64	infminti 7190	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) = 𝑞)
66	2, 65	eqtrid 2274	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → π = 𝑞)
67		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → 𝑞 ∈ (2(,)4))
68	66, 67	eqeltrd 2306	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → π ∈ (2(,)4))
69	66	fveqeq2d 5634	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → ((sin‘π) = 0 ↔ (sin‘𝑞) = 0))
70	18, 69	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (sin‘π) = 0)
71	68, 70	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝑞 ∈ (2(,)4) ∧ ((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥))) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
72	71	rexlimiva 2643	. 2 ⊢ (∃𝑞 ∈ (2(,)4)((sin‘𝑞) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)𝑞)0 < (sin‘𝑥)) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
73	1, 72	ax-mp 5	1 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   ∩ cin 3196  {csn 3666   class class class wbr 4082  ^◡ccnv 4717  dom cdm 4718   “ cima 4721  Fun wfun 5311  ⟶wf 5313  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  infcinf 7146  ℂcc 7993  ℝcr 7994  0cc0 7995  ℝ^*cxr 8176   < clt 8177  2c2 9157  4c4 9159  ℕ₀cn0 9365  ℝ⁺crp 9845  (,)cioo 10080  sincsin 12150  πcpi 12153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115  ax-pre-suploc 8116  ax-addf 8117  ax-mulf 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-disj 4059  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-of 6216  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-frec 6535  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-er 6678  df-map 6795  df-pm 6796  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-sup 7147  df-inf 7148  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-xneg 9964  df-xadd 9965  df-ioo 10084  df-ioc 10085  df-ico 10086  df-icc 10087  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-fac 10943  df-bc 10965  df-ihash 10993  df-shft 11321  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-clim 11785  df-sumdc 11860  df-ef 12154  df-sin 12156  df-cos 12157  df-pi 12159  df-rest 13269  df-topgen 13288  df-psmet 14501  df-xmet 14502  df-met 14503  df-bl 14504  df-mopn 14505  df-top 14666  df-topon 14679  df-bases 14711  df-ntr 14764  df-cn 14856  df-cnp 14857  df-tx 14921  df-cncf 15239  df-limced 15324  df-dvap 15325

This theorem is referenced by:  pigt2lt4  15452  sinpi  15453  pire  15454