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Theorem insubm 12872
Description: The intersection of two submonoids is a submonoid. (Contributed by AV, 25-Feb-2024.)
Assertion
Ref Expression
insubm ((𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ∧ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ (SubMndβ€˜π‘€))

Proof of Theorem insubm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 12862 . . 3 (𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
2 ssinss1 3365 . . . . . . . . 9 (𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
323ad2ant1 1018 . . . . . . . 8 ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
43ad2antrl 490 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
5 elin 3319 . . . . . . . . . . . . 13 ((0gβ€˜π‘€) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡) ↔ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡))
65simplbi2com 1444 . . . . . . . . . . . 12 ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 β†’ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)))
763ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)))
87com12 30 . . . . . . . . . 10 ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 β†’ ((𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)))
983ad2ant2 1019 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) β†’ ((𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)))
109imp 124 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡)) β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
1110adantl 277 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))) β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
12 elin 3319 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
13 elin 3319 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐡) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
1412, 13anbi12i 460 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)))
15 oveq1 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑏))
1615eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = π‘₯ β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴))
17 oveq2 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑦 β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑏) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦))
1817eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑦 β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐴))
19 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
2019adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
21 eqidd 2178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘Ž = π‘₯) β†’ 𝐴 = 𝐴)
22 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
2322adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
2416, 18, 20, 21, 23rspc2vd 3126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐴))
2524com12 30 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐴))
26253ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐴))
2726ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐴))
2827imp 124 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐴)
2915eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = π‘₯ β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡 ↔ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))
3017eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑦 β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡 ↔ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡))
31 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
3231adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
33 eqidd 2178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ π‘Ž = π‘₯) β†’ 𝐡 = 𝐡)
34 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
3534adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
3629, 30, 32, 33, 35rspc2vd 3126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡))
3736com12 30 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡))
38373ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡))
3938adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡))
4039adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡))
4140imp 124 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡)
4228, 41elind 3321 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
4342ex 115 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)))
4414, 43biimtrid 152 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)))
4544ralrimivv 2558 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
464, 11, 453jca 1177 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))) β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)))
4746ex 115 . . . . 5 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))))
48 eqid 2177 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
49 eqid 2177 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
50 eqid 2177 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
5148, 49, 50issubm 12863 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ (𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴)))
5248, 49, 50issubm 12863 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡)))
5351, 52anbi12d 473 . . . . 5 (𝑀 ∈ Mnd β†’ ((𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ∧ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ↔ ((𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐴 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))))
5448, 49, 50issubm 12863 . . . . 5 (𝑀 ∈ Mnd β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))))
5547, 53, 543imtr4d 203 . . . 4 (𝑀 ∈ Mnd β†’ ((𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ∧ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ (SubMndβ€˜π‘€)))
5655expd 258 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) β†’ (𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ (SubMndβ€˜π‘€))))
571, 56mpcom 36 . 2 (𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) β†’ (𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ (SubMndβ€˜π‘€)))
5857imp 124 1 ((𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ∧ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455   ∩ cin 3129   βŠ† wss 3130  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  Basecbs 12462  +gcplusg 12536  0gc0g 12705  Mndcmnd 12817  SubMndcsubmnd 12850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1re 7905  ax-addrcl 7908
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-fv 5225  df-ov 5878  df-inn 8920  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-submnd 12852
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