Theorem elfir 7032

Description: Sufficient condition for an element of (fi‘𝐵). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elfir	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐵))

Proof of Theorem elfir

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		elpw2g 4185	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	imbitrrid 156	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵))
4	3	imp 124	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
5		simpr3 1007	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ Fin)
6	4, 5	elind 3344	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
7		eqid 2193	. . 3 ⊢ ∩ 𝐴 = ∩ 𝐴
8		inteq 3873	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∩ 𝑥 = ∩ 𝐴)
9	8	rspceeqv 2882	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ ∩ 𝐴 = ∩ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∩ 𝐴 = ∩ 𝑥)
10	6, 7, 9	sylancl 413	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∩ 𝐴 = ∩ 𝑥)
11		simp2 1000	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
12		fin0 6941	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴))
13	12	3ad2ant3 1022	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴))
14	11, 13	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
15		inteximm 4178	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ∈ V)
16	14, 15	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∩ 𝐴 ∈ V)
17		id 19	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ 𝑉)
18		elfi 7030	. . 3 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∩ 𝐴 = ∩ 𝑥))
19	16, 17, 18	syl2anr 290	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → (∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∩ 𝐴 = ∩ 𝑥))
20	10, 19	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∃wrex 2473  Vcvv 2760   ∩ cin 3152   ⊆ wss 3153  ∅c0 3446  𝒫 cpw 3601  ∩ cint 3870  ‘cfv 5254  Fincfn 6794  ficfi 7027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797  df-fi 7028

This theorem is referenced by:  ssfii  7033