ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfir GIF version

Theorem elfir 6965
Description: Sufficient condition for an element of (fi‘𝐵). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elfir ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (fi‘𝐵))

Proof of Theorem elfir
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
2 elpw2g 4153 . . . . . 6 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐴𝐵))
31, 2syl5ibr 156 . . . . 5 (𝐵𝑉 → ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵))
43imp 124 . . . 4 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
5 simpr3 1005 . . . 4 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ Fin)
64, 5elind 3320 . . 3 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
7 eqid 2177 . . 3 𝐴 = 𝐴
8 inteq 3845 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 𝑥 = 𝐴)
98rspceeqv 2859 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) 𝐴 = 𝑥)
106, 7, 9sylancl 413 . 2 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) 𝐴 = 𝑥)
11 simp2 998 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
12 fin0 6878 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴))
13123ad2ant3 1020 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴))
1411, 13mpbid 147 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑧 𝑧𝐴)
15 inteximm 4146 . . . 4 (∃𝑧 𝑧𝐴 𝐴 ∈ V)
1614, 15syl 14 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ V)
17 id 19 . . 3 (𝐵𝑉𝐵𝑉)
18 elfi 6963 . . 3 (( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → ( 𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) 𝐴 = 𝑥))
1916, 17, 18syl2anr 290 . 2 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ( 𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) 𝐴 = 𝑥))
2010, 19mpbird 167 1 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (fi‘𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wne 2347  wrex 2456  Vcvv 2737  cin 3128  wss 3129  c0 3422  𝒫 cpw 3574   cint 3842  cfv 5211  Fincfn 6733  ficfi 6960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-iinf 4583
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-er 6528  df-en 6734  df-fin 6736  df-fi 6961
This theorem is referenced by:  ssfii  6966
  Copyright terms: Public domain W3C validator