Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfir GIF version

Theorem elfir 6874
 Description: Sufficient condition for an element of (fi‘𝐵). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elfir ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (fi‘𝐵))

Proof of Theorem elfir
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 982 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
2 elpw2g 4090 . . . . . 6 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐴𝐵))
31, 2syl5ibr 155 . . . . 5 (𝐵𝑉 → ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵))
43imp 123 . . . 4 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
5 simpr3 990 . . . 4 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ Fin)
64, 5elind 3267 . . 3 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
7 eqid 2140 . . 3 𝐴 = 𝐴
8 inteq 3783 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 𝑥 = 𝐴)
98rspceeqv 2812 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) 𝐴 = 𝑥)
106, 7, 9sylancl 410 . 2 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) 𝐴 = 𝑥)
11 simp2 983 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
12 fin0 6789 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴))
13123ad2ant3 1005 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴))
1411, 13mpbid 146 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑧 𝑧𝐴)
15 inteximm 4083 . . . 4 (∃𝑧 𝑧𝐴 𝐴 ∈ V)
1614, 15syl 14 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ V)
17 id 19 . . 3 (𝐵𝑉𝐵𝑉)
18 elfi 6872 . . 3 (( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → ( 𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) 𝐴 = 𝑥))
1916, 17, 18syl2anr 288 . 2 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ( 𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) 𝐴 = 𝑥))
2010, 19mpbird 166 1 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (fi‘𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309  ∃wrex 2418  Vcvv 2690   ∩ cin 3076   ⊆ wss 3077  ∅c0 3369  𝒫 cpw 3516  ∩ cint 3780  ‘cfv 5133  Fincfn 6644  ficfi 6869 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-iinf 4511 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4224  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4555  df-rel 4556  df-cnv 4557  df-co 4558  df-dm 4559  df-rn 4560  df-res 4561  df-ima 4562  df-iota 5098  df-fun 5135  df-fn 5136  df-f 5137  df-f1 5138  df-fo 5139  df-f1o 5140  df-fv 5141  df-er 6439  df-en 6645  df-fin 6647  df-fi 6870 This theorem is referenced by:  ssfii  6875
 Copyright terms: Public domain W3C validator