ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmss GIF version

Theorem lmss 13749
Description: Limit on a subspace. (Contributed by NM, 30-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmss.1 𝐾 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
lmss.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
lmss.3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lmss.4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
lmss.5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ π‘Œ)
lmss.6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
lmss.7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘Œ)
Assertion
Ref Expression
lmss (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑃))

Proof of Theorem lmss
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmss.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 eqid 2177 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
32toptopon 13521 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
41, 3sylib 122 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
5 lmcl 13748 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽)
64, 5sylan 283 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽)
7 lmfss 13747 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— βˆͺ 𝐽))
84, 7sylan 283 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— βˆͺ 𝐽))
9 rnss 4858 . . . . . 6 (𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— βˆͺ 𝐽) β†’ ran 𝐹 βŠ† ran (β„‚ Γ— βˆͺ 𝐽))
108, 9syl 14 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ ran 𝐹 βŠ† ran (β„‚ Γ— βˆͺ 𝐽))
11 rnxpss 5061 . . . . 5 ran (β„‚ Γ— βˆͺ 𝐽) βŠ† βˆͺ 𝐽
1210, 11sstrdi 3168 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)
136, 12jca 306 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽))
1413ex 115 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 β†’ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)))
15 inss2 3357 . . . . 5 (π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽) βŠ† βˆͺ 𝐽
16 lmss.1 . . . . . . 7 𝐾 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
17 lmss.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
18 resttopon2 13681 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ (TopOnβ€˜(π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽)))
194, 17, 18syl2anc 411 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ (TopOnβ€˜(π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽)))
2016, 19eqeltrid 2264 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜(π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽)))
21 lmcl 13748 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜(π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑃) β†’ 𝑃 ∈ (π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽))
2220, 21sylan 283 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑃) β†’ 𝑃 ∈ (π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽))
2315, 22sselid 3154 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑃) β†’ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽)
24 lmfss 13747 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜(π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑃) β†’ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— (π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽)))
2520, 24sylan 283 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑃) β†’ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— (π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽)))
26 rnss 4858 . . . . . . 7 (𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— (π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽)) β†’ ran 𝐹 βŠ† ran (β„‚ Γ— (π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽)))
2725, 26syl 14 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑃) β†’ ran 𝐹 βŠ† ran (β„‚ Γ— (π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽)))
28 rnxpss 5061 . . . . . 6 ran (β„‚ Γ— (π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽)) βŠ† (π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽)
2927, 28sstrdi 3168 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑃) β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽))
3029, 15sstrdi 3168 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑃) β†’ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)
3123, 30jca 306 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑃) β†’ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽))
3231ex 115 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑃 β†’ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)))
33 simprl 529 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽)
34 lmss.5 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ π‘Œ)
3534adantr 276 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ 𝑃 ∈ π‘Œ)
3635, 33elind 3321 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ 𝑃 ∈ (π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽))
3733, 362thd 175 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ↔ 𝑃 ∈ (π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽)))
3816eleq2i 2244 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ 𝐾 ↔ 𝑣 ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
391adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
4017adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
41 elrest 12695 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑣 ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 𝑣 = (𝑒 ∩ π‘Œ)))
4239, 40, 41syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ (𝑣 ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 𝑣 = (𝑒 ∩ π‘Œ)))
4342biimpa 296 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 𝑣 = (𝑒 ∩ π‘Œ))
4438, 43sylan2b 287 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 𝑣 = (𝑒 ∩ π‘Œ))
45 r19.29r 2615 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 𝑣 = (𝑒 ∩ π‘Œ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑣 = (𝑒 ∩ π‘Œ) ∧ (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
4635biantrud 304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ (𝑃 ∈ 𝑒 ↔ (𝑃 ∈ 𝑒 ∧ 𝑃 ∈ π‘Œ)))
47 elin 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ) ↔ (𝑃 ∈ 𝑒 ∧ 𝑃 ∈ π‘Œ))
4846, 47bitr4di 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ (𝑃 ∈ 𝑒 ↔ 𝑃 ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ)))
49 lmss.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
5049uztrn2 9545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
51 lmss.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘Œ)
5251adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘Œ)
5352ffvelcdmda 5652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘Œ)
5453biantrud 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘Œ)))
55 elin 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ π‘Œ))
5654, 55bitr4di 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ)))
5750, 56sylan2 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ)))
5857anassrs 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ)))
5958ralbidva 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ)))
6059rexbidva 2474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ)))
6148, 60imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ (𝑃 ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ))))
6261adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ (𝑃 ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ))))
6362biimpd 144 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) β†’ (𝑃 ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ))))
64 eleq2 2241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑒 ∩ π‘Œ) β†’ (𝑃 ∈ 𝑣 ↔ 𝑃 ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ)))
65 eleq2 2241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (𝑒 ∩ π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣 ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ)))
6665rexralbidv 2503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = (𝑒 ∩ π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ)))
6764, 66imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = (𝑒 ∩ π‘Œ) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) ↔ (𝑃 ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ))))
6867imbi2d 230 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑒 ∩ π‘Œ) β†’ (((𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) β†’ (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ↔ ((𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) β†’ (𝑃 ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ)))))
6963, 68syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (𝑣 = (𝑒 ∩ π‘Œ) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) β†’ (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))))
7069impd 254 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ ((𝑣 = (𝑒 ∩ π‘Œ) ∧ (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)) β†’ (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
7170rexlimdva 2594 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 (𝑣 = (𝑒 ∩ π‘Œ) ∧ (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)) β†’ (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
7245, 71syl5 32 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ ((βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 𝑣 = (𝑒 ∩ π‘Œ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)) β†’ (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
7372expdimp 259 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 𝑣 = (𝑒 ∩ π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) β†’ (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
7444, 73syldan 282 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) β†’ (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
7574ralrimdva 2557 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
7639adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ Top)
7740adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
78 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
79 elrestr 12696 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (𝑒 ∩ π‘Œ) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
8076, 77, 78, 79syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (𝑒 ∩ π‘Œ) ∈ (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
8180, 16eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (𝑒 ∩ π‘Œ) ∈ 𝐾)
8267rspcv 2838 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∩ π‘Œ) ∈ 𝐾 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ (𝑃 ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ))))
8381, 82syl 14 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ (𝑃 ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑒 ∩ π‘Œ))))
8483, 62sylibrd 169 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
8584ralrimdva 2557 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
8675, 85impbid 129 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
8737, 86anbi12d 473 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ ((𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)) ↔ (𝑃 ∈ (π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))))
8839, 3sylib 122 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
89 lmss.6 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
9089adantr 276 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
9152ffnd 5367 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
92 simprr 531 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)
93 df-f 5221 . . . . . 6 (𝐹:π‘βŸΆβˆͺ 𝐽 ↔ (𝐹 Fn 𝑍 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽))
9491, 92, 93sylanbrc 417 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβˆͺ 𝐽)
95 eqidd 2178 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
9688, 49, 90, 94, 95lmbrf 13718 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))))
9720adantr 276 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜(π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽)))
9852frnd 5376 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ ran 𝐹 βŠ† π‘Œ)
9998, 92ssind 3360 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽))
100 df-f 5221 . . . . . 6 (𝐹:π‘βŸΆ(π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽) ↔ (𝐹 Fn 𝑍 ∧ ran 𝐹 βŠ† (π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽)))
10191, 99, 100sylanbrc 417 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽))
10297, 49, 90, 101, 95lmbrf 13718 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑃 ↔ (𝑃 ∈ (π‘Œ ∩ βˆͺ 𝐽) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐾 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))))
10387, 96, 1023bitr4d 220 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑃))
104103ex 115 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑃)))
10514, 32, 104pm5.21ndd 705 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜πΎ)𝑃))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456   ∩ cin 3129   βŠ† wss 3130  βˆͺ cuni 3810   class class class wbr 4004   Γ— cxp 4625  ran crn 4628   Fn wfn 5212  βŸΆwf 5213  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  β„‚cc 7809  β„€cz 9253  β„€β‰₯cuz 9528   β†Ύt crest 12688  Topctop 13500  TopOnctopon 13513  β‡π‘‘clm 13690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-pm 6651  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-lm 13693
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator