Theorem bastg 12701

Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bastg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem bastg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
2		vex 2729	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	pwid 3574	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑥
4	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑥)
5	1, 4	elind 3307	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
6		elssuni 3817	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
8	7	ex 114	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
9		eltg 12692	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
10	8, 9	sylibrd 168	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
11	10	ssrdv 3148	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2136   ∩ cin 3115   ⊆ wss 3116  𝒫 cpw 3559  ∪ cuni 3789  ‘cfv 5188  topGenctg 12571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-topgen 12577

This theorem is referenced by:  unitg  12702  tgclb  12705  tgtop  12708  tgidm  12714  tgss3  12718  bastop2  12724  tgcn  12848  tgcnp  12849  txopn  12905  txbasval  12907  blssopn  13125  xmettxlem  13149  iooretopg  13168