ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isopn3 GIF version

Theorem isopn3 12283
Description: A subset is open iff it equals its own interior. (Contributed by NM, 9-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
isopn3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))

Proof of Theorem isopn3
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . . . 5 𝑋 = 𝐽
21ntrval 12268 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
3 inss2 3292 . . . . . . . 8 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
43unissi 3754 . . . . . . 7 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
5 unipw 4134 . . . . . . 7 𝒫 𝑆 = 𝑆
64, 5sseqtri 3126 . . . . . 6 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝑆
76a1i 9 . . . . 5 (𝑆𝐽 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝑆)
8 id 19 . . . . . . 7 (𝑆𝐽𝑆𝐽)
9 pwidg 3519 . . . . . . 7 (𝑆𝐽𝑆 ∈ 𝒫 𝑆)
108, 9elind 3256 . . . . . 6 (𝑆𝐽𝑆 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
11 elssuni 3759 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) → 𝑆 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
1210, 11syl 14 . . . . 5 (𝑆𝐽𝑆 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
137, 12eqssd 3109 . . . 4 (𝑆𝐽 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = 𝑆)
142, 13sylan9eq 2190 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑆𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
1514ex 114 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆𝐽 → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
161ntropn 12275 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ∈ 𝐽)
17 eleq1 2200 . . 3 (((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆 → (((int‘𝐽)‘𝑆) ∈ 𝐽𝑆𝐽))
1816, 17syl5ibcom 154 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆𝑆𝐽))
1915, 18impbid 128 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  cin 3065  wss 3066  𝒫 cpw 3505   cuni 3731  cfv 5118  Topctop 12153  intcnt 12251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-top 12154  df-ntr 12254
This theorem is referenced by:  ntridm  12284  ntrtop  12286  ntr0  12292  isopn3i  12293  cnntr  12383
  Copyright terms: Public domain W3C validator