Theorem isopn3 14784

Description: A subset is open iff it equals its own interior. (Contributed by NM, 9-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
isopn3	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))

Proof of Theorem isopn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	ntrval 14769	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
3		inss2 3425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
4	3	unissi 3910	. . . . . . 7 ⊢ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ ∪ 𝒫 𝑆
5		unipw 4302	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝒫 𝑆 = 𝑆
6	4, 5	sseqtri 3258	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝑆
7	6	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐽 → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝑆)
8		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐽 → 𝑆 ∈ 𝐽)
9		pwidg 3663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐽 → 𝑆 ∈ 𝒫 𝑆)
10	8, 9	elind 3389	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐽 → 𝑆 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
11		elssuni 3915	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) → 𝑆 ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐽 → 𝑆 ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
13	7, 12	eqssd 3241	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐽 → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = 𝑆)
14	2, 13	sylan9eq 2282	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
15	14	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ∈ 𝐽 → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
16	1	ntropn 14776	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ∈ 𝐽)
17		eleq1 2292	. . 3 ⊢ (((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆 → (((int‘𝐽)‘𝑆) ∈ 𝐽 ↔ 𝑆 ∈ 𝐽))
18	16, 17	syl5ibcom 155	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆 → 𝑆 ∈ 𝐽))
19	15, 18	impbid 129	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∩ cin 3196   ⊆ wss 3197  𝒫 cpw 3649  ∪ cuni 3887  ‘cfv 5314  Topctop 14656  intcnt 14752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-top 14657  df-ntr 14755

This theorem is referenced by:  ntridm  14785  ntrtop  14787  ntr0  14793  isopn3i  14794  cnntr  14884