Theorem isopn3 14361

Description: A subset is open iff it equals its own interior. (Contributed by NM, 9-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
isopn3	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))

Proof of Theorem isopn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	ntrval 14346	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
3		inss2 3384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
4	3	unissi 3862	. . . . . . 7 ⊢ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ ∪ 𝒫 𝑆
5		unipw 4250	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝒫 𝑆 = 𝑆
6	4, 5	sseqtri 3217	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝑆
7	6	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐽 → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝑆)
8		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐽 → 𝑆 ∈ 𝐽)
9		pwidg 3619	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐽 → 𝑆 ∈ 𝒫 𝑆)
10	8, 9	elind 3348	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐽 → 𝑆 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
11		elssuni 3867	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) → 𝑆 ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐽 → 𝑆 ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
13	7, 12	eqssd 3200	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐽 → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = 𝑆)
14	2, 13	sylan9eq 2249	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
15	14	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ∈ 𝐽 → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
16	1	ntropn 14353	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ∈ 𝐽)
17		eleq1 2259	. . 3 ⊢ (((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆 → (((int‘𝐽)‘𝑆) ∈ 𝐽 ↔ 𝑆 ∈ 𝐽))
18	16, 17	syl5ibcom 155	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆 → 𝑆 ∈ 𝐽))
19	15, 18	impbid 129	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∩ cin 3156   ⊆ wss 3157  𝒫 cpw 3605  ∪ cuni 3839  ‘cfv 5258  Topctop 14233  intcnt 14329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-top 14234  df-ntr 14332

This theorem is referenced by:  ntridm  14362  ntrtop  14364  ntr0  14370  isopn3i  14371  cnntr  14461