Theorem dvmulxxbr 15803

Description: The product rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvmulxx 15805. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 1-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvadd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvaddxx.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
dvaddbr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvadd.bf	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvadd.bg	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
dvaddcntop.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Assertion

Ref	Expression
dvmulxxbr	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))))

Proof of Theorem dvmulxxbr

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvadd.bf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
2		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t 𝑆)
3		dvaddcntop.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
4		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
5		dvaddbr.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		dvadd.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
7		dvadd.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	eldvap 15783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
9	1, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶)))
10	9	simpld 112	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋))
11	7, 5	sstrd 3258	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
12	3	cntoptopon 15633	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
13		resttopon 15272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
14	12, 5, 13	sylancr 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
15		topontop 15115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top)
17		toponuni 15116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
18	14, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
19	7, 18	sseqtrd 3286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
20		eqid 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆) = ∪ (𝐽 ↾t 𝑆)
21	20	ntrss2 15222	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
22	16, 19, 21	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
23	22, 10	sseldd 3249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
24	6, 11, 23	dvlemap 15781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) ∈ ℂ)
25		dvaddxx.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
26	25	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
27		elrabi 2979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} → 𝑧 ∈ 𝑋)
28	27	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 ∈ 𝑋)
29	26, 28	ffvelcdmd 5844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
30	24, 29	mulcld 8346	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
31	25, 11, 23	dvlemap 15781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) ∈ ℂ)
32	6, 23	ffvelcdmd 5844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
33	32	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
34	31, 33	mulcld 8346	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
35		ssidd 3269	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
36		txtopon 15363	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
37	12, 12, 36	mp2an 430	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
38	37	toponrestid 15122	. . . 4 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ))
39	9	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
40		cnex 8303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ V
41	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
42	41, 5	ssexd 4273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
43		elpm2r 6940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) ∧ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
44	41, 42, 25, 7, 43	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
45		reldvg 15780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D 𝐺))
46	5, 44, 45	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑆 D 𝐺))
47		dvadd.bg	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
48		releldm 5017	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Rel (𝑆 D 𝐺) ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿) → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
49	46, 47, 48	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
50		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = (𝐽 ↾t 𝑋)
51	50, 3	dvcnp2cntop 15800	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺)) → 𝐺 ∈ (((𝐽 ↾t 𝑋) CnP 𝐽)‘𝐶))
52	5, 25, 7, 49, 51	syl31anc 1281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (((𝐽 ↾t 𝑋) CnP 𝐽)‘𝐶))
53	3, 50	cnplimccntop 15771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐺 ∈ (((𝐽 ↾t 𝑋) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ (𝐺‘𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐶))))
54	11, 23, 53	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (((𝐽 ↾t 𝑋) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ (𝐺‘𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐶))))
55	52, 54	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ (𝐺‘𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐶)))
56	55	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐶))
57	25, 11	limcdifap 15763	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 limℂ 𝐶) = ((𝐺 ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) limℂ 𝐶))
58		ssrab2 3333	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ⊆ 𝑋
59	58	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ⊆ 𝑋)
60	25, 59	feqresmpt 5757	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺‘𝑧)))
61	60	oveq1d 6100	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺‘𝑧)) limℂ 𝐶))
62	57, 61	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺‘𝑧)) limℂ 𝐶))
63	56, 62	eleqtrd 2317	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺‘𝑧)) limℂ 𝐶))
64	3	mulcncntop 15665	. . . . . 6 ⊢ · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
65	5, 6, 7	dvcl 15784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
66	1, 65	mpdan 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
67	25, 23	ffvelcdmd 5844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
68	66, 67	opelxpd 4807	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, (𝐺‘𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
69	37	toponunii 15118	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ × ℂ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
70	69	cncnpi 15329	. . . . . 6 ⊢ (( · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, (𝐺‘𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, (𝐺‘𝐶)⟩))
71	64, 68, 70	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, (𝐺‘𝐶)⟩))
72	24, 29, 35, 35, 3, 38, 39, 63, 71	limccnp2cntop 15778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (𝐺‘𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧))) limℂ 𝐶))
73		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
74	2, 3, 73, 5, 25, 7	eldvap 15783	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
75	47, 74	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶)))
76	75	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
77		cncfmptc 15697	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
78	32, 11, 35, 77	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
79		eqidd 2239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))
80	78, 23, 79	cnmptlimc 15775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶))
81	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
82	81	fmpttd 5863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)):𝑋⟶ℂ)
83	82, 11	limcdifap 15763	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶) = (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) limℂ 𝐶))
84		resmpt 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ⊆ 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹‘𝐶)))
85	58, 84	mp1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹‘𝐶)))
86	85	oveq1d 6100	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶))
87	83, 86	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶))
88	80, 87	eleqtrd 2317	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶))
89	5, 25, 7	dvcl 15784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
90	47, 89	mpdan 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
91	90, 32	opelxpd 4807	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐿, (𝐹‘𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
92	69	cncnpi 15329	. . . . . 6 ⊢ (( · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐿, (𝐹‘𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐿, (𝐹‘𝐶)⟩))
93	64, 91, 92	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐿, (𝐹‘𝐶)⟩))
94	31, 33, 35, 35, 3, 38, 76, 88, 93	limccnp2cntop 15778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · (𝐹‘𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶))) limℂ 𝐶))
95	3	addcncntop 15663	. . . . 5 ⊢ + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
96	66, 67	mulcld 8346	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
97	90, 32	mulcld 8346	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
98	96, 97	opelxpd 4807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐾 · (𝐺‘𝐶)), (𝐿 · (𝐹‘𝐶))⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
99	69	cncnpi 15329	. . . . 5 ⊢ (( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨(𝐾 · (𝐺‘𝐶)), (𝐿 · (𝐹‘𝐶))⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨(𝐾 · (𝐺‘𝐶)), (𝐿 · (𝐹‘𝐶))⟩))
100	95, 98, 99	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨(𝐾 · (𝐺‘𝐶)), (𝐿 · (𝐹‘𝐶))⟩))
101	30, 34, 35, 35, 3, 38, 72, 94, 100	limccnp2cntop 15778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶)))) limℂ 𝐶))
102	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
103	102, 28	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
104	103, 33	subcld 8637	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
105	104, 29	mulcld 8346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
106	67	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
107	29, 106	subcld 8637	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
108	107, 33	mulcld 8346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
109	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑋 ⊆ ℂ)
110	109, 28	sseldd 3249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 ∈ ℂ)
111	11, 23	sseldd 3249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
112	111	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℂ)
113	110, 112	subcld 8637	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑧 − 𝐶) ∈ ℂ)
114		breq1 4133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝐶 ↔ 𝑧 # 𝐶))
115	114	elrab 2982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 # 𝐶))
116	115	simprbi 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} → 𝑧 # 𝐶)
117	116	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 # 𝐶)
118	110, 112, 117	subap0d 8972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑧 − 𝐶) # 0)
119	105, 108, 113, 118	divdirapd 9159	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶))) / (𝑧 − 𝐶)) = (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) / (𝑧 − 𝐶)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))))
120	103, 29	mulcld 8346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
121	33, 29	mulcld 8346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
122	33, 106	mulcld 8346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
123	120, 121, 122	npncand 8661	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧))) + (((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)))) = (((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶))))
124	103, 33, 29	subdird 8742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧))))
125	107, 33	mulcomd 8347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) = ((𝐹‘𝐶) · ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))))
126	33, 29, 106	subdid 8741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹‘𝐶) · ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) = (((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶))))
127	125, 126	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) = (((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶))))
128	124, 127	oveq12d 6103	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶))) = ((((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧))) + (((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)))))
129	28, 28	elind 3414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑋))
130	6	ffnd 5534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
131	130	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐹 Fn 𝑋)
132	25	ffnd 5534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑋)
133	132	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐺 Fn 𝑋)
134		ssexg 4272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
135	11, 40, 134	sylancl 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
136	135	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑋 ∈ V)
137		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = (𝑋 ∩ 𝑋)
138		eqidd 2239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
139		eqidd 2239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
140	120	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
141	131, 133, 136, 136, 137, 138, 139, 140	ofvalg 6312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑋)) → ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)))
142	129, 141	mpdan 425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)))
143	23, 23	elind 3414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋 ∩ 𝑋))
144		eqidd 2239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))
145		eqidd 2239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝐶) = (𝐺‘𝐶))
146	122	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶 ∈ (𝑋 ∩ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
147	131, 133, 136, 136, 137, 144, 145, 146	ofvalg 6312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶 ∈ (𝑋 ∩ 𝑋)) → ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)))
148	143, 147	mpidan 427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)))
149	142, 148	oveq12d 6103	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶))))
150	123, 128, 149	3eqtr4d 2281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶))) = (((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)))
151	150	oveq1d 6100	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶))) / (𝑧 − 𝐶)) = ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
152	104, 29, 113, 118	div23apd 9158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) / (𝑧 − 𝐶)) = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)))
153	107, 33, 113, 118	div23apd 9158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) = ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶)))
154	152, 153	oveq12d 6103	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) / (𝑧 − 𝐶)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶))))
155	119, 151, 154	3eqtr3d 2279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) = (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶))))
156	155	mpteq2dva 4221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶)))))
157	156	oveq1d 6100	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶)))) limℂ 𝐶))
158	101, 157	eleqtrrd 2318	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
159		eqid 2238	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
160		mulcl 8306	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
161	160	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
162		inidm 3440	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
163	161, 6, 25, 135, 135, 162	off 6315	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺):𝑋⟶ℂ)
164	2, 3, 159, 5, 163, 7	eldvap 15783	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ ((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
165	10, 158, 164	mpbir2and 957	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  ⟨cop 3712  ∪ cuni 3935   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192   × cxp 4772  dom cdm 4774   ↾ cres 4776   ∘ ccom 4778  Rel wrel 4779   Fn wfn 5372  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ∘_𝑓 cof 6300   ↑_pm cpm 6923  ℂcc 8177   + caddc 8182   · cmul 8184   − cmin 8497   # cap 8909   / cdiv 9002  abscabs 11763   ↾_t crest 13593  MetOpencmopn 14878  Topctop 15098  TopOnctopon 15111  intcnt 15194   Cn ccn 15286   CnP ccnp 15287   ×_t ctx 15353  –cn→ccncf 15671   lim_ℂ climc 15755   D cdv 15756

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-map 6924  df-pm 6925  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-xneg 10174  df-xadd 10175  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-rest 13595  df-topgen 13614  df-psmet 14880  df-xmet 14881  df-met 14882  df-bl 14883  df-mopn 14884  df-top 15099  df-topon 15112  df-bases 15144  df-ntr 15197  df-cn 15289  df-cnp 15290  df-tx 15354  df-cncf 15672  df-limced 15757  df-dvap 15758

This theorem is used by:  dvmulxx  15805  dvimulf  15807  dvef  15828