Theorem dvmulxxbr 14102

Description: The product rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvmulxx 14104. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 1-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvadd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvaddxx.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
dvaddbr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvadd.bf	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvadd.bg	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
dvaddcntop.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Assertion

Ref	Expression
dvmulxxbr	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))))

Proof of Theorem dvmulxxbr

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvadd.bf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
2		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t 𝑆)
3		dvaddcntop.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
4		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
5		dvaddbr.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		dvadd.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
7		dvadd.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	eldvap 14087	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
9	1, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶)))
10	9	simpld 112	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋))
11	7, 5	sstrd 3165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
12	3	cntoptopon 13968	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
13		resttopon 13607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
14	12, 5, 13	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
15		topontop 13450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top)
17		toponuni 13451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
18	14, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
19	7, 18	sseqtrd 3193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
20		eqid 2177	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆) = ∪ (𝐽 ↾t 𝑆)
21	20	ntrss2 13557	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
22	16, 19, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
23	22, 10	sseldd 3156	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
24	6, 11, 23	dvlemap 14085	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) ∈ ℂ)
25		dvaddxx.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
26	25	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
27		elrabi 2890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} → 𝑧 ∈ 𝑋)
28	27	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 ∈ 𝑋)
29	26, 28	ffvelcdmd 5652	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
30	24, 29	mulcld 7977	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
31	25, 11, 23	dvlemap 14085	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) ∈ ℂ)
32	6, 23	ffvelcdmd 5652	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
33	32	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
34	31, 33	mulcld 7977	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
35		ssidd 3176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
36		txtopon 13698	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
37	12, 12, 36	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
38	37	toponrestid 13457	. . . 4 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ))
39	9	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
40		cnex 7934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ V
41	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
42	41, 5	ssexd 4143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
43		elpm2r 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) ∧ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
44	41, 42, 25, 7, 43	syl22anc 1239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
45		reldvg 14084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D 𝐺))
46	5, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑆 D 𝐺))
47		dvadd.bg	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
48		releldm 4862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Rel (𝑆 D 𝐺) ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿) → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
49	46, 47, 48	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
50		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = (𝐽 ↾t 𝑋)
51	50, 3	dvcnp2cntop 14099	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺)) → 𝐺 ∈ (((𝐽 ↾t 𝑋) CnP 𝐽)‘𝐶))
52	5, 25, 7, 49, 51	syl31anc 1241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (((𝐽 ↾t 𝑋) CnP 𝐽)‘𝐶))
53	3, 50	cnplimccntop 14075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐺 ∈ (((𝐽 ↾t 𝑋) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ (𝐺‘𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐶))))
54	11, 23, 53	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (((𝐽 ↾t 𝑋) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ (𝐺‘𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐶))))
55	52, 54	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ (𝐺‘𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐶)))
56	55	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐶))
57	25, 11	limcdifap 14067	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 limℂ 𝐶) = ((𝐺 ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) limℂ 𝐶))
58		ssrab2 3240	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ⊆ 𝑋
59	58	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ⊆ 𝑋)
60	25, 59	feqresmpt 5570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺‘𝑧)))
61	60	oveq1d 5889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺‘𝑧)) limℂ 𝐶))
62	57, 61	eqtrd 2210	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺‘𝑧)) limℂ 𝐶))
63	56, 62	eleqtrd 2256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺‘𝑧)) limℂ 𝐶))
64	3	mulcncntop 13990	. . . . . 6 ⊢ · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
65	5, 6, 7	dvcl 14088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
66	1, 65	mpdan 421	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
67	25, 23	ffvelcdmd 5652	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
68	66, 67	opelxpd 4659	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, (𝐺‘𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
69	37	toponunii 13453	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ × ℂ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
70	69	cncnpi 13664	. . . . . 6 ⊢ (( · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, (𝐺‘𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, (𝐺‘𝐶)⟩))
71	64, 68, 70	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, (𝐺‘𝐶)⟩))
72	24, 29, 35, 35, 3, 38, 39, 63, 71	limccnp2cntop 14082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (𝐺‘𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧))) limℂ 𝐶))
73		eqid 2177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
74	2, 3, 73, 5, 25, 7	eldvap 14087	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
75	47, 74	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶)))
76	75	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
77		cncfmptc 14018	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
78	32, 11, 35, 77	syl3anc 1238	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
79		eqidd 2178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))
80	78, 23, 79	cnmptlimc 14079	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶))
81	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
82	81	fmpttd 5671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)):𝑋⟶ℂ)
83	82, 11	limcdifap 14067	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶) = (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) limℂ 𝐶))
84		resmpt 4955	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ⊆ 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹‘𝐶)))
85	58, 84	mp1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹‘𝐶)))
86	85	oveq1d 5889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶))
87	83, 86	eqtrd 2210	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶))
88	80, 87	eleqtrd 2256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶))
89	5, 25, 7	dvcl 14088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
90	47, 89	mpdan 421	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
91	90, 32	opelxpd 4659	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐿, (𝐹‘𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
92	69	cncnpi 13664	. . . . . 6 ⊢ (( · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐿, (𝐹‘𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐿, (𝐹‘𝐶)⟩))
93	64, 91, 92	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐿, (𝐹‘𝐶)⟩))
94	31, 33, 35, 35, 3, 38, 76, 88, 93	limccnp2cntop 14082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · (𝐹‘𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶))) limℂ 𝐶))
95	3	addcncntop 13988	. . . . 5 ⊢ + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
96	66, 67	mulcld 7977	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
97	90, 32	mulcld 7977	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
98	96, 97	opelxpd 4659	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐾 · (𝐺‘𝐶)), (𝐿 · (𝐹‘𝐶))⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
99	69	cncnpi 13664	. . . . 5 ⊢ (( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨(𝐾 · (𝐺‘𝐶)), (𝐿 · (𝐹‘𝐶))⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨(𝐾 · (𝐺‘𝐶)), (𝐿 · (𝐹‘𝐶))⟩))
100	95, 98, 99	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨(𝐾 · (𝐺‘𝐶)), (𝐿 · (𝐹‘𝐶))⟩))
101	30, 34, 35, 35, 3, 38, 72, 94, 100	limccnp2cntop 14082	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶)))) limℂ 𝐶))
102	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
103	102, 28	ffvelcdmd 5652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
104	103, 33	subcld 8267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
105	104, 29	mulcld 7977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
106	67	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
107	29, 106	subcld 8267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
108	107, 33	mulcld 7977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
109	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑋 ⊆ ℂ)
110	109, 28	sseldd 3156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 ∈ ℂ)
111	11, 23	sseldd 3156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
112	111	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℂ)
113	110, 112	subcld 8267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑧 − 𝐶) ∈ ℂ)
114		breq1 4006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝐶 ↔ 𝑧 # 𝐶))
115	114	elrab 2893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 # 𝐶))
116	115	simprbi 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} → 𝑧 # 𝐶)
117	116	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 # 𝐶)
118	110, 112, 117	subap0d 8600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑧 − 𝐶) # 0)
119	105, 108, 113, 118	divdirapd 8785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶))) / (𝑧 − 𝐶)) = (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) / (𝑧 − 𝐶)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))))
120	103, 29	mulcld 7977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
121	33, 29	mulcld 7977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
122	33, 106	mulcld 7977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
123	120, 121, 122	npncand 8291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧))) + (((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)))) = (((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶))))
124	103, 33, 29	subdird 8371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧))))
125	107, 33	mulcomd 7978	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) = ((𝐹‘𝐶) · ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))))
126	33, 29, 106	subdid 8370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹‘𝐶) · ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) = (((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶))))
127	125, 126	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) = (((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶))))
128	124, 127	oveq12d 5892	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶))) = ((((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧))) + (((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)))))
129	28, 28	elind 3320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑋))
130	6	ffnd 5366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
131	130	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐹 Fn 𝑋)
132	25	ffnd 5366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑋)
133	132	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐺 Fn 𝑋)
134		ssexg 4142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
135	11, 40, 134	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
136	135	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑋 ∈ V)
137		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = (𝑋 ∩ 𝑋)
138		eqidd 2178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
139		eqidd 2178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
140	120	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
141	131, 133, 136, 136, 137, 138, 139, 140	ofvalg 6091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑋)) → ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)))
142	129, 141	mpdan 421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)))
143	23, 23	elind 3320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋 ∩ 𝑋))
144		eqidd 2178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))
145		eqidd 2178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝐶) = (𝐺‘𝐶))
146	122	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶 ∈ (𝑋 ∩ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
147	131, 133, 136, 136, 137, 144, 145, 146	ofvalg 6091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶 ∈ (𝑋 ∩ 𝑋)) → ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)))
148	143, 147	mpidan 423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)))
149	142, 148	oveq12d 5892	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶))))
150	123, 128, 149	3eqtr4d 2220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶))) = (((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)))
151	150	oveq1d 5889	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶))) / (𝑧 − 𝐶)) = ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
152	104, 29, 113, 118	div23apd 8784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) / (𝑧 − 𝐶)) = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)))
153	107, 33, 113, 118	div23apd 8784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) = ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶)))
154	152, 153	oveq12d 5892	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) / (𝑧 − 𝐶)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶))))
155	119, 151, 154	3eqtr3d 2218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) = (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶))))
156	155	mpteq2dva 4093	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶)))))
157	156	oveq1d 5889	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶)))) limℂ 𝐶))
158	101, 157	eleqtrrd 2257	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
159		eqid 2177	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
160		mulcl 7937	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
161	160	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
162		inidm 3344	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
163	161, 6, 25, 135, 135, 162	off 6094	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺):𝑋⟶ℂ)
164	2, 3, 159, 5, 163, 7	eldvap 14087	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ ((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
165	10, 158, 164	mpbir2and 944	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {crab 2459  Vcvv 2737   ∩ cin 3128   ⊆ wss 3129  ⟨cop 3595  ∪ cuni 3809   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064   × cxp 4624  dom cdm 4626   ↾ cres 4628   ∘ ccom 4630  Rel wrel 4631   Fn wfn 5211  ⟶wf 5212  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874   ∘_𝑓 cof 6080   ↑_pm cpm 6648  ℂcc 7808   + caddc 7813   · cmul 7815   − cmin 8127   # cap 8537   / cdiv 8628  abscabs 11005   ↾_t crest 12687  MetOpencmopn 13381  Topctop 13433  TopOnctopon 13446  intcnt 13529   Cn ccn 13621   CnP ccnp 13622   ×_t ctx 13688  –cn→ccncf 13993   lim_ℂ climc 14059   D cdv 14060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930  ax-addf 7932  ax-mulf 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-of 6082  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-pm 6650  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-rest 12689  df-topgen 12708  df-psmet 13383  df-xmet 13384  df-met 13385  df-bl 13386  df-mopn 13387  df-top 13434  df-topon 13447  df-bases 13479  df-ntr 13532  df-cn 13624  df-cnp 13625  df-tx 13689  df-cncf 13994  df-limced 14061  df-dvap 14062

This theorem is referenced by:  dvmulxx  14104  dvimulf  14106  dvef  14124