Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvmulxxbr GIF version

Theorem dvmulxxbr 13026
 Description: The product rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvmulxx 13028. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 1-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvaddcntop.j 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
Assertion
Ref Expression
dvmulxxbr (𝜑𝐶(𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))((𝐾 · (𝐺𝐶)) + (𝐿 · (𝐹𝐶))))

Proof of Theorem dvmulxxbr
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bf . . . 4 (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
2 eqid 2157 . . . . 5 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
3 dvaddcntop.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
4 eqid 2157 . . . . 5 (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)))
5 dvaddbr.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 dvadd.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
7 dvadd.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑆)
82, 3, 4, 5, 6, 7eldvap 13011 . . . 4 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
91, 8mpbid 146 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶)))
109simpld 111 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋))
117, 5sstrd 3138 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
123cntoptopon 12892 . . . . . . . . . 10 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
13 resttopon 12531 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
1412, 5, 13sylancr 411 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
15 topontop 12372 . . . . . . . . 9 ((𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
1614, 15syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
17 toponuni 12373 . . . . . . . . . 10 ((𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
1814, 17syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 = (𝐽t 𝑆))
197, 18sseqtrd 3166 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 (𝐽t 𝑆))
20 eqid 2157 . . . . . . . . 9 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
2120ntrss2 12481 . . . . . . . 8 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 (𝐽t 𝑆)) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
2216, 19, 21syl2anc 409 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
2322, 10sseldd 3129 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑋)
246, 11, 23dvlemap 13009 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
25 dvaddxx.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
2625adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
27 elrabi 2865 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} → 𝑧𝑋)
2827adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑧𝑋)
2926, 28ffvelrnd 5600 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
3024, 29mulcld 7881 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
3125, 11, 23dvlemap 13009 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
326, 23ffvelrnd 5600 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
3332adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
3431, 33mulcld 7881 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
35 ssidd 3149 . . . 4 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
36 txtopon 12622 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
3712, 12, 36mp2an 423 . . . . 5 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
3837toponrestid 12379 . . . 4 (𝐽 ×t 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ))
399simprd 113 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
40 cnex 7839 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
4140a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ∈ V)
4241, 5ssexd 4104 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ V)
43 elpm2r 6604 . . . . . . . . . . . 12 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) ∧ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋𝑆)) → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
4441, 42, 25, 7, 43syl22anc 1221 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
45 reldvg 13008 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D 𝐺))
465, 44, 45syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Rel (𝑆 D 𝐺))
47 dvadd.bg . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
48 releldm 4818 . . . . . . . . . 10 ((Rel (𝑆 D 𝐺) ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿) → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
4946, 47, 48syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
50 eqid 2157 . . . . . . . . . 10 (𝐽t 𝑋) = (𝐽t 𝑋)
5150, 3dvcnp2cntop 13023 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋𝑆) ∧ 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺)) → 𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑋) CnP 𝐽)‘𝐶))
525, 25, 7, 49, 51syl31anc 1223 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑋) CnP 𝐽)‘𝐶))
533, 50cnplimccntop 12999 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝐶𝑋) → (𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑋) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))))
5411, 23, 53syl2anc 409 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑋) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))))
5552, 54mpbid 146 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶)))
5655simprd 113 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))
5725, 11limcdifap 12991 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 lim 𝐶) = ((𝐺 ↾ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) lim 𝐶))
58 ssrab2 3213 . . . . . . . . . 10 {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ⊆ 𝑋
5958a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ⊆ 𝑋)
6025, 59feqresmpt 5519 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ↾ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺𝑧)))
6160oveq1d 5833 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 ↾ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
6257, 61eqtrd 2190 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
6356, 62eleqtrd 2236 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
643mulcncntop 12914 . . . . . 6 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
655, 6, 7dvcl 13012 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
661, 65mpdan 418 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
6725, 23ffvelrnd 5600 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
6866, 67opelxpd 4616 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝐾, (𝐺𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
6937toponunii 12375 . . . . . . 7 (ℂ × ℂ) = (𝐽 ×t 𝐽)
7069cncnpi 12588 . . . . . 6 (( · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, (𝐺𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, (𝐺𝐶)⟩))
7164, 68, 70sylancr 411 . . . . 5 (𝜑 → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, (𝐺𝐶)⟩))
7224, 29, 35, 35, 3, 38, 39, 63, 71limccnp2cntop 13006 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 · (𝐺𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧))) lim 𝐶))
73 eqid 2157 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
742, 3, 73, 5, 25, 7eldvap 13011 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
7547, 74mpbid 146 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶)))
7675simprd 113 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
77 cncfmptc 12942 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝐶)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
7832, 11, 35, 77syl3anc 1220 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝐶)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
79 eqidd 2158 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐶 → (𝐹𝐶) = (𝐹𝐶))
8078, 23, 79cnmptlimc 13003 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝐶)) lim 𝐶))
8132adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
8281fmpttd 5619 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝐶)):𝑋⟶ℂ)
8382, 11limcdifap 12991 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝐶)) lim 𝐶) = (((𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝐶)) ↾ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) lim 𝐶))
84 resmpt 4911 . . . . . . . . 9 ({𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ⊆ 𝑋 → ((𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝐶)) ↾ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹𝐶)))
8558, 84mp1i 10 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝐶)) ↾ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹𝐶)))
8685oveq1d 5833 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝐶)) ↾ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹𝐶)) lim 𝐶))
8783, 86eqtrd 2190 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝐶)) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹𝐶)) lim 𝐶))
8880, 87eleqtrd 2236 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹𝐶)) lim 𝐶))
895, 25, 7dvcl 13012 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
9047, 89mpdan 418 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
9190, 32opelxpd 4616 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝐿, (𝐹𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
9269cncnpi 12588 . . . . . 6 (( · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐿, (𝐹𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐿, (𝐹𝐶)⟩))
9364, 91, 92sylancr 411 . . . . 5 (𝜑 → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐿, (𝐹𝐶)⟩))
9431, 33, 35, 35, 3, 38, 76, 88, 93limccnp2cntop 13006 . . . 4 (𝜑 → (𝐿 · (𝐹𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶))) lim 𝐶))
953addcncntop 12912 . . . . 5 + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
9666, 67mulcld 7881 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 · (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
9790, 32mulcld 7881 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 · (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
9896, 97opelxpd 4616 . . . . 5 (𝜑 → ⟨(𝐾 · (𝐺𝐶)), (𝐿 · (𝐹𝐶))⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
9969cncnpi 12588 . . . . 5 (( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨(𝐾 · (𝐺𝐶)), (𝐿 · (𝐹𝐶))⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨(𝐾 · (𝐺𝐶)), (𝐿 · (𝐹𝐶))⟩))
10095, 98, 99sylancr 411 . . . 4 (𝜑 → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨(𝐾 · (𝐺𝐶)), (𝐿 · (𝐹𝐶))⟩))
10130, 34, 35, 35, 3, 38, 72, 94, 100limccnp2cntop 13006 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 · (𝐺𝐶)) + (𝐿 · (𝐹𝐶))) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧)) + ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶)))) lim 𝐶))
1026adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
103102, 28ffvelrnd 5600 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
104103, 33subcld 8169 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
105104, 29mulcld 7881 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
10667adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
10729, 106subcld 8169 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
108107, 33mulcld 7881 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
10911adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑋 ⊆ ℂ)
110109, 28sseldd 3129 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 ∈ ℂ)
11111, 23sseldd 3129 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
112111adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℂ)
113110, 112subcld 8169 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝑧𝐶) ∈ ℂ)
114 breq1 3968 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝐶𝑧 # 𝐶))
115114elrab 2868 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↔ (𝑧𝑋𝑧 # 𝐶))
116115simprbi 273 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} → 𝑧 # 𝐶)
117116adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 # 𝐶)
118110, 112, 117subap0d 8502 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝑧𝐶) # 0)
119105, 108, 113, 118divdirapd 8685 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶))) / (𝑧𝐶)) = (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) / (𝑧𝐶)) + ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))))
120103, 29mulcld 7881 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
12133, 29mulcld 7881 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
12233, 106mulcld 7881 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
123120, 121, 122npncand 8193 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧))) + (((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶)))) = (((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶))))
124103, 33, 29subdird 8273 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧))))
125107, 33mulcomd 7882 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶)) = ((𝐹𝐶) · ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))
12633, 29, 106subdid 8272 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹𝐶) · ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) = (((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶))))
127125, 126eqtrd 2190 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶)) = (((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶))))
128124, 127oveq12d 5836 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶))) = ((((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧))) + (((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶)))))
12928, 28elind 3292 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 ∈ (𝑋𝑋))
1306ffnd 5317 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
131130adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝐹 Fn 𝑋)
13225ffnd 5317 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 Fn 𝑋)
133132adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝐺 Fn 𝑋)
134 ssexg 4103 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
13511, 40, 134sylancl 410 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ V)
136135adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑋 ∈ V)
137 eqid 2157 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑋) = (𝑋𝑋)
138 eqidd 2158 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
139 eqidd 2158 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧𝑋) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
140120adantr 274 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝑋)) → ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
141131, 133, 136, 136, 137, 138, 139, 140ofvalg 6035 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝑋)) → ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
142129, 141mpdan 418 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
14323, 23elind 3292 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ (𝑋𝑋))
144 eqidd 2158 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶𝑋) → (𝐹𝐶) = (𝐹𝐶))
145 eqidd 2158 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶𝑋) → (𝐺𝐶) = (𝐺𝐶))
146122adantr 274 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶 ∈ (𝑋𝑋)) → ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
147131, 133, 136, 136, 137, 144, 145, 146ofvalg 6035 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶 ∈ (𝑋𝑋)) → ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶)))
148143, 147mpidan 420 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶)))
149142, 148oveq12d 5836 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶))))
150123, 128, 1493eqtr4d 2200 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶))) = (((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)))
151150oveq1d 5833 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶))) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
152104, 29, 113, 118div23apd 8684 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧)))
153107, 33, 113, 118div23apd 8684 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶)))
154152, 153oveq12d 5836 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) / (𝑧𝐶)) + ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧)) + ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶))))
155119, 151, 1543eqtr3d 2198 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)) = (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧)) + ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶))))
156155mpteq2dva 4054 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧)) + ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶)))))
157156oveq1d 5833 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧)) + ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶)))) lim 𝐶))
158101, 157eleqtrrd 2237 . 2 (𝜑 → ((𝐾 · (𝐺𝐶)) + (𝐿 · (𝐹𝐶))) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
159 eqid 2157 . . 3 (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
160 mulcl 7842 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
161160adantl 275 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
162 inidm 3316 . . . 4 (𝑋𝑋) = 𝑋
163161, 6, 25, 135, 135, 162off 6038 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺):𝑋⟶ℂ)
1642, 3, 159, 5, 163, 7eldvap 13011 . 2 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))((𝐾 · (𝐺𝐶)) + (𝐿 · (𝐹𝐶))) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ ((𝐾 · (𝐺𝐶)) + (𝐿 · (𝐹𝐶))) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
16510, 158, 164mpbir2and 929 1 (𝜑𝐶(𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))((𝐾 · (𝐺𝐶)) + (𝐿 · (𝐹𝐶))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  {crab 2439  Vcvv 2712   ∩ cin 3101   ⊆ wss 3102  ⟨cop 3563  ∪ cuni 3772   class class class wbr 3965   ↦ cmpt 4025   × cxp 4581  dom cdm 4583   ↾ cres 4585   ∘ ccom 4587  Rel wrel 4588   Fn wfn 5162  ⟶wf 5163  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818   ∘𝑓 cof 6024   ↑pm cpm 6587  ℂcc 7713   + caddc 7718   · cmul 7720   − cmin 8029   # cap 8439   / cdiv 8528  abscabs 10879   ↾t crest 12311  MetOpencmopn 12345  Topctop 12355  TopOnctopon 12368  intcnt 12453   Cn ccn 12545   CnP ccnp 12546   ×t ctx 12612  –cn→ccncf 12917   limℂ climc 12983   D cdv 12984 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835  ax-addf 7837  ax-mulf 7838 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-of 6026  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-map 6588  df-pm 6589  df-sup 6920  df-inf 6921  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-xneg 9661  df-xadd 9662  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-rest 12313  df-topgen 12332  df-psmet 12347  df-xmet 12348  df-met 12349  df-bl 12350  df-mopn 12351  df-top 12356  df-topon 12369  df-bases 12401  df-ntr 12456  df-cn 12548  df-cnp 12549  df-tx 12613  df-cncf 12918  df-limced 12985  df-dvap 12986 This theorem is referenced by:  dvmulxx  13028  dvimulf  13030  dvef  13048
 Copyright terms: Public domain W3C validator