Theorem dvmulxxbr 15416

Description: The product rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvmulxx 15418. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 1-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvadd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvaddxx.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
dvaddbr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvadd.bf	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvadd.bg	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
dvaddcntop.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Assertion

Ref	Expression
dvmulxxbr	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))))

Proof of Theorem dvmulxxbr

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvadd.bf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
2		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t 𝑆)
3		dvaddcntop.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
4		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
5		dvaddbr.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		dvadd.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
7		dvadd.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	eldvap 15396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
9	1, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶)))
10	9	simpld 112	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋))
11	7, 5	sstrd 3235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
12	3	cntoptopon 15246	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
13		resttopon 14885	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
14	12, 5, 13	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
15		topontop 14728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top)
17		toponuni 14729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
18	14, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
19	7, 18	sseqtrd 3263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
20		eqid 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆) = ∪ (𝐽 ↾t 𝑆)
21	20	ntrss2 14835	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
22	16, 19, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
23	22, 10	sseldd 3226	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
24	6, 11, 23	dvlemap 15394	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) ∈ ℂ)
25		dvaddxx.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
26	25	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
27		elrabi 2957	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} → 𝑧 ∈ 𝑋)
28	27	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 ∈ 𝑋)
29	26, 28	ffvelcdmd 5779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
30	24, 29	mulcld 8190	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
31	25, 11, 23	dvlemap 15394	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) ∈ ℂ)
32	6, 23	ffvelcdmd 5779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
33	32	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
34	31, 33	mulcld 8190	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
35		ssidd 3246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
36		txtopon 14976	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
37	12, 12, 36	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
38	37	toponrestid 14735	. . . 4 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ))
39	9	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
40		cnex 8146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ V
41	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
42	41, 5	ssexd 4227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
43		elpm2r 6830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) ∧ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
44	41, 42, 25, 7, 43	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
45		reldvg 15393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D 𝐺))
46	5, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑆 D 𝐺))
47		dvadd.bg	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
48		releldm 4965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Rel (𝑆 D 𝐺) ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿) → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
49	46, 47, 48	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
50		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = (𝐽 ↾t 𝑋)
51	50, 3	dvcnp2cntop 15413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺)) → 𝐺 ∈ (((𝐽 ↾t 𝑋) CnP 𝐽)‘𝐶))
52	5, 25, 7, 49, 51	syl31anc 1274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (((𝐽 ↾t 𝑋) CnP 𝐽)‘𝐶))
53	3, 50	cnplimccntop 15384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐺 ∈ (((𝐽 ↾t 𝑋) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ (𝐺‘𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐶))))
54	11, 23, 53	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (((𝐽 ↾t 𝑋) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ (𝐺‘𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐶))))
55	52, 54	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ (𝐺‘𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐶)))
56	55	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐶))
57	25, 11	limcdifap 15376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 limℂ 𝐶) = ((𝐺 ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) limℂ 𝐶))
58		ssrab2 3310	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ⊆ 𝑋
59	58	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ⊆ 𝑋)
60	25, 59	feqresmpt 5696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺‘𝑧)))
61	60	oveq1d 6028	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺‘𝑧)) limℂ 𝐶))
62	57, 61	eqtrd 2262	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺‘𝑧)) limℂ 𝐶))
63	56, 62	eleqtrd 2308	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺‘𝑧)) limℂ 𝐶))
64	3	mulcncntop 15278	. . . . . 6 ⊢ · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
65	5, 6, 7	dvcl 15397	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
66	1, 65	mpdan 421	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
67	25, 23	ffvelcdmd 5779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
68	66, 67	opelxpd 4756	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, (𝐺‘𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
69	37	toponunii 14731	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ × ℂ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
70	69	cncnpi 14942	. . . . . 6 ⊢ (( · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, (𝐺‘𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, (𝐺‘𝐶)⟩))
71	64, 68, 70	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, (𝐺‘𝐶)⟩))
72	24, 29, 35, 35, 3, 38, 39, 63, 71	limccnp2cntop 15391	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (𝐺‘𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧))) limℂ 𝐶))
73		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
74	2, 3, 73, 5, 25, 7	eldvap 15396	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
75	47, 74	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶)))
76	75	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
77		cncfmptc 15310	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
78	32, 11, 35, 77	syl3anc 1271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
79		eqidd 2230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))
80	78, 23, 79	cnmptlimc 15388	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶))
81	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
82	81	fmpttd 5798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)):𝑋⟶ℂ)
83	82, 11	limcdifap 15376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶) = (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) limℂ 𝐶))
84		resmpt 5059	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ⊆ 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹‘𝐶)))
85	58, 84	mp1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹‘𝐶)))
86	85	oveq1d 6028	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶))
87	83, 86	eqtrd 2262	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶))
88	80, 87	eleqtrd 2308	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶))
89	5, 25, 7	dvcl 15397	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
90	47, 89	mpdan 421	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
91	90, 32	opelxpd 4756	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐿, (𝐹‘𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
92	69	cncnpi 14942	. . . . . 6 ⊢ (( · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐿, (𝐹‘𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐿, (𝐹‘𝐶)⟩))
93	64, 91, 92	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐿, (𝐹‘𝐶)⟩))
94	31, 33, 35, 35, 3, 38, 76, 88, 93	limccnp2cntop 15391	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · (𝐹‘𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶))) limℂ 𝐶))
95	3	addcncntop 15276	. . . . 5 ⊢ + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
96	66, 67	mulcld 8190	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
97	90, 32	mulcld 8190	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
98	96, 97	opelxpd 4756	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐾 · (𝐺‘𝐶)), (𝐿 · (𝐹‘𝐶))⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
99	69	cncnpi 14942	. . . . 5 ⊢ (( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨(𝐾 · (𝐺‘𝐶)), (𝐿 · (𝐹‘𝐶))⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨(𝐾 · (𝐺‘𝐶)), (𝐿 · (𝐹‘𝐶))⟩))
100	95, 98, 99	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨(𝐾 · (𝐺‘𝐶)), (𝐿 · (𝐹‘𝐶))⟩))
101	30, 34, 35, 35, 3, 38, 72, 94, 100	limccnp2cntop 15391	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶)))) limℂ 𝐶))
102	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
103	102, 28	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
104	103, 33	subcld 8480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
105	104, 29	mulcld 8190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
106	67	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
107	29, 106	subcld 8480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
108	107, 33	mulcld 8190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
109	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑋 ⊆ ℂ)
110	109, 28	sseldd 3226	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 ∈ ℂ)
111	11, 23	sseldd 3226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
112	111	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℂ)
113	110, 112	subcld 8480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑧 − 𝐶) ∈ ℂ)
114		breq1 4089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝐶 ↔ 𝑧 # 𝐶))
115	114	elrab 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 # 𝐶))
116	115	simprbi 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} → 𝑧 # 𝐶)
117	116	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 # 𝐶)
118	110, 112, 117	subap0d 8814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (𝑧 − 𝐶) # 0)
119	105, 108, 113, 118	divdirapd 8999	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶))) / (𝑧 − 𝐶)) = (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) / (𝑧 − 𝐶)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))))
120	103, 29	mulcld 8190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
121	33, 29	mulcld 8190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
122	33, 106	mulcld 8190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
123	120, 121, 122	npncand 8504	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧))) + (((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)))) = (((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶))))
124	103, 33, 29	subdird 8584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧))))
125	107, 33	mulcomd 8191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) = ((𝐹‘𝐶) · ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))))
126	33, 29, 106	subdid 8583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹‘𝐶) · ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) = (((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶))))
127	125, 126	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) = (((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶))))
128	124, 127	oveq12d 6031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶))) = ((((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧))) + (((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)))))
129	28, 28	elind 3390	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑋))
130	6	ffnd 5480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
131	130	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐹 Fn 𝑋)
132	25	ffnd 5480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑋)
133	132	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝐺 Fn 𝑋)
134		ssexg 4226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
135	11, 40, 134	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
136	135	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → 𝑋 ∈ V)
137		eqid 2229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = (𝑋 ∩ 𝑋)
138		eqidd 2230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
139		eqidd 2230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
140	120	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
141	131, 133, 136, 136, 137, 138, 139, 140	ofvalg 6240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑋)) → ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)))
142	129, 141	mpdan 421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)))
143	23, 23	elind 3390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋 ∩ 𝑋))
144		eqidd 2230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))
145		eqidd 2230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝐶) = (𝐺‘𝐶))
146	122	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶 ∈ (𝑋 ∩ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
147	131, 133, 136, 136, 137, 144, 145, 146	ofvalg 6240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶 ∈ (𝑋 ∩ 𝑋)) → ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)))
148	143, 147	mpidan 423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)))
149	142, 148	oveq12d 6031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶))))
150	123, 128, 149	3eqtr4d 2272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶))) = (((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)))
151	150	oveq1d 6028	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶))) / (𝑧 − 𝐶)) = ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
152	104, 29, 113, 118	div23apd 8998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) / (𝑧 − 𝐶)) = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)))
153	107, 33, 113, 118	div23apd 8998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) = ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶)))
154	152, 153	oveq12d 6031	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) / (𝑧 − 𝐶)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶))))
155	119, 151, 154	3eqtr3d 2270	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) = (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶))))
156	155	mpteq2dva 4177	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶)))))
157	156	oveq1d 6028	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶)))) limℂ 𝐶))
158	101, 157	eleqtrrd 2309	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
159		eqid 2229	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
160		mulcl 8149	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
161	160	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
162		inidm 3414	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
163	161, 6, 25, 135, 135, 162	off 6243	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺):𝑋⟶ℂ)
164	2, 3, 159, 5, 163, 7	eldvap 15396	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ ((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
165	10, 158, 164	mpbir2and 950	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512  Vcvv 2800   ∩ cin 3197   ⊆ wss 3198  ⟨cop 3670  ∪ cuni 3891   class class class wbr 4086   ↦ cmpt 4148   × cxp 4721  dom cdm 4723   ↾ cres 4725   ∘ ccom 4727  Rel wrel 4728   Fn wfn 5319  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   ∘_𝑓 cof 6228   ↑_pm cpm 6813  ℂcc 8020   + caddc 8025   · cmul 8027   − cmin 8340   # cap 8751   / cdiv 8842  abscabs 11548   ↾_t crest 13312  MetOpencmopn 14545  Topctop 14711  TopOnctopon 14724  intcnt 14807   Cn ccn 14899   CnP ccnp 14900   ×_t ctx 14966  –cn→ccncf 15284   lim_ℂ climc 15368   D cdv 15369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142  ax-addf 8144  ax-mulf 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-of 6230  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-map 6814  df-pm 6815  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-xneg 9997  df-xadd 9998  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-rest 13314  df-topgen 13333  df-psmet 14547  df-xmet 14548  df-met 14549  df-bl 14550  df-mopn 14551  df-top 14712  df-topon 14725  df-bases 14757  df-ntr 14810  df-cn 14902  df-cnp 14903  df-tx 14967  df-cncf 15285  df-limced 15370  df-dvap 15371

This theorem is referenced by:  dvmulxx  15418  dvimulf  15420  dvef  15441