ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvmulxxbr GIF version

Theorem dvmulxxbr 13737
Description: The product rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvmulxx 13739. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 1-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadd.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvadd.x (𝜑𝑋𝑆)
dvaddxx.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
dvaddbr.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvadd.bf (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvadd.bg (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
dvaddcntop.j 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
Assertion
Ref Expression
dvmulxxbr (𝜑𝐶(𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))((𝐾 · (𝐺𝐶)) + (𝐿 · (𝐹𝐶))))

Proof of Theorem dvmulxxbr
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bf . . . 4 (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
2 eqid 2175 . . . . 5 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
3 dvaddcntop.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
4 eqid 2175 . . . . 5 (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)))
5 dvaddbr.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 dvadd.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
7 dvadd.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑆)
82, 3, 4, 5, 6, 7eldvap 13722 . . . 4 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
91, 8mpbid 147 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶)))
109simpld 112 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋))
117, 5sstrd 3163 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
123cntoptopon 13603 . . . . . . . . . 10 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
13 resttopon 13242 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
1412, 5, 13sylancr 414 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
15 topontop 13083 . . . . . . . . 9 ((𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
1614, 15syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
17 toponuni 13084 . . . . . . . . . 10 ((𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
1814, 17syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 = (𝐽t 𝑆))
197, 18sseqtrd 3191 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 (𝐽t 𝑆))
20 eqid 2175 . . . . . . . . 9 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
2120ntrss2 13192 . . . . . . . 8 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 (𝐽t 𝑆)) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
2216, 19, 21syl2anc 411 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
2322, 10sseldd 3154 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑋)
246, 11, 23dvlemap 13720 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
25 dvaddxx.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
2625adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
27 elrabi 2888 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} → 𝑧𝑋)
2827adantl 277 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑧𝑋)
2926, 28ffvelcdmd 5644 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
3024, 29mulcld 7952 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
3125, 11, 23dvlemap 13720 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
326, 23ffvelcdmd 5644 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
3332adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
3431, 33mulcld 7952 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
35 ssidd 3174 . . . 4 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
36 txtopon 13333 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
3712, 12, 36mp2an 426 . . . . 5 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
3837toponrestid 13090 . . . 4 (𝐽 ×t 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ))
399simprd 114 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
40 cnex 7910 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
4140a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ∈ V)
4241, 5ssexd 4138 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ V)
43 elpm2r 6656 . . . . . . . . . . . 12 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) ∧ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋𝑆)) → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
4441, 42, 25, 7, 43syl22anc 1239 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
45 reldvg 13719 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D 𝐺))
465, 44, 45syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Rel (𝑆 D 𝐺))
47 dvadd.bg . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
48 releldm 4855 . . . . . . . . . 10 ((Rel (𝑆 D 𝐺) ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿) → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
4946, 47, 48syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
50 eqid 2175 . . . . . . . . . 10 (𝐽t 𝑋) = (𝐽t 𝑋)
5150, 3dvcnp2cntop 13734 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋𝑆) ∧ 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺)) → 𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑋) CnP 𝐽)‘𝐶))
525, 25, 7, 49, 51syl31anc 1241 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑋) CnP 𝐽)‘𝐶))
533, 50cnplimccntop 13710 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝐶𝑋) → (𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑋) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))))
5411, 23, 53syl2anc 411 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ∈ (((𝐽t 𝑋) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))))
5552, 54mpbid 147 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶)))
5655simprd 114 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ (𝐺 lim 𝐶))
5725, 11limcdifap 13702 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 lim 𝐶) = ((𝐺 ↾ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) lim 𝐶))
58 ssrab2 3238 . . . . . . . . . 10 {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ⊆ 𝑋
5958a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ⊆ 𝑋)
6025, 59feqresmpt 5562 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ↾ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺𝑧)))
6160oveq1d 5880 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 ↾ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
6257, 61eqtrd 2208 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
6356, 62eleqtrd 2254 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐺𝑧)) lim 𝐶))
643mulcncntop 13625 . . . . . 6 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
655, 6, 7dvcl 13723 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
661, 65mpdan 421 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
6725, 23ffvelcdmd 5644 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
6866, 67opelxpd 4653 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝐾, (𝐺𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
6937toponunii 13086 . . . . . . 7 (ℂ × ℂ) = (𝐽 ×t 𝐽)
7069cncnpi 13299 . . . . . 6 (( · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, (𝐺𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, (𝐺𝐶)⟩))
7164, 68, 70sylancr 414 . . . . 5 (𝜑 → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, (𝐺𝐶)⟩))
7224, 29, 35, 35, 3, 38, 39, 63, 71limccnp2cntop 13717 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 · (𝐺𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧))) lim 𝐶))
73 eqid 2175 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
742, 3, 73, 5, 25, 7eldvap 13722 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
7547, 74mpbid 147 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶)))
7675simprd 114 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
77 cncfmptc 13653 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝐶)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
7832, 11, 35, 77syl3anc 1238 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝐶)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
79 eqidd 2176 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐶 → (𝐹𝐶) = (𝐹𝐶))
8078, 23, 79cnmptlimc 13714 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝐶)) lim 𝐶))
8132adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
8281fmpttd 5663 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝐶)):𝑋⟶ℂ)
8382, 11limcdifap 13702 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝐶)) lim 𝐶) = (((𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝐶)) ↾ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) lim 𝐶))
84 resmpt 4948 . . . . . . . . 9 ({𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ⊆ 𝑋 → ((𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝐶)) ↾ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹𝐶)))
8558, 84mp1i 10 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝐶)) ↾ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹𝐶)))
8685oveq1d 5880 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝐶)) ↾ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹𝐶)) lim 𝐶))
8783, 86eqtrd 2208 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝐶)) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹𝐶)) lim 𝐶))
8880, 87eleqtrd 2254 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (𝐹𝐶)) lim 𝐶))
895, 25, 7dvcl 13723 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
9047, 89mpdan 421 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
9190, 32opelxpd 4653 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝐿, (𝐹𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
9269cncnpi 13299 . . . . . 6 (( · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐿, (𝐹𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐿, (𝐹𝐶)⟩))
9364, 91, 92sylancr 414 . . . . 5 (𝜑 → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐿, (𝐹𝐶)⟩))
9431, 33, 35, 35, 3, 38, 76, 88, 93limccnp2cntop 13717 . . . 4 (𝜑 → (𝐿 · (𝐹𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶))) lim 𝐶))
953addcncntop 13623 . . . . 5 + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
9666, 67mulcld 7952 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 · (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
9790, 32mulcld 7952 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 · (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
9896, 97opelxpd 4653 . . . . 5 (𝜑 → ⟨(𝐾 · (𝐺𝐶)), (𝐿 · (𝐹𝐶))⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
9969cncnpi 13299 . . . . 5 (( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨(𝐾 · (𝐺𝐶)), (𝐿 · (𝐹𝐶))⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨(𝐾 · (𝐺𝐶)), (𝐿 · (𝐹𝐶))⟩))
10095, 98, 99sylancr 414 . . . 4 (𝜑 → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨(𝐾 · (𝐺𝐶)), (𝐿 · (𝐹𝐶))⟩))
10130, 34, 35, 35, 3, 38, 72, 94, 100limccnp2cntop 13717 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 · (𝐺𝐶)) + (𝐿 · (𝐹𝐶))) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧)) + ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶)))) lim 𝐶))
1026adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
103102, 28ffvelcdmd 5644 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
104103, 33subcld 8242 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
105104, 29mulcld 7952 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
10667adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
10729, 106subcld 8242 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
108107, 33mulcld 7952 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
10911adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑋 ⊆ ℂ)
110109, 28sseldd 3154 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 ∈ ℂ)
11111, 23sseldd 3154 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
112111adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℂ)
113110, 112subcld 8242 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝑧𝐶) ∈ ℂ)
114 breq1 4001 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝐶𝑧 # 𝐶))
115114elrab 2891 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↔ (𝑧𝑋𝑧 # 𝐶))
116115simprbi 275 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} → 𝑧 # 𝐶)
117116adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 # 𝐶)
118110, 112, 117subap0d 8575 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (𝑧𝐶) # 0)
119105, 108, 113, 118divdirapd 8759 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶))) / (𝑧𝐶)) = (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) / (𝑧𝐶)) + ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))))
120103, 29mulcld 7952 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
12133, 29mulcld 7952 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
12233, 106mulcld 7952 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
123120, 121, 122npncand 8266 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧))) + (((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶)))) = (((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶))))
124103, 33, 29subdird 8346 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧))))
125107, 33mulcomd 7953 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶)) = ((𝐹𝐶) · ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))
12633, 29, 106subdid 8345 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹𝐶) · ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) = (((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶))))
127125, 126eqtrd 2208 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶)) = (((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶))))
128124, 127oveq12d 5883 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶))) = ((((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧))) + (((𝐹𝐶) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶)))))
12928, 28elind 3318 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑧 ∈ (𝑋𝑋))
1306ffnd 5358 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
131130adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝐹 Fn 𝑋)
13225ffnd 5358 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 Fn 𝑋)
133132adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝐺 Fn 𝑋)
134 ssexg 4137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
13511, 40, 134sylancl 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ V)
136135adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → 𝑋 ∈ V)
137 eqid 2175 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑋) = (𝑋𝑋)
138 eqidd 2176 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
139 eqidd 2176 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧𝑋) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
140120adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝑋)) → ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
141131, 133, 136, 136, 137, 138, 139, 140ofvalg 6082 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝑋)) → ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
142129, 141mpdan 421 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
14323, 23elind 3318 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ (𝑋𝑋))
144 eqidd 2176 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶𝑋) → (𝐹𝐶) = (𝐹𝐶))
145 eqidd 2176 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶𝑋) → (𝐺𝐶) = (𝐺𝐶))
146122adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶 ∈ (𝑋𝑋)) → ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
147131, 133, 136, 136, 137, 144, 145, 146ofvalg 6082 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) ∧ 𝐶 ∈ (𝑋𝑋)) → ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶)))
148143, 147mpidan 423 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶)))
149142, 148oveq12d 5883 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) · (𝐺𝐶))))
150123, 128, 1493eqtr4d 2218 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶))) = (((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)))
151150oveq1d 5880 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶))) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
152104, 29, 113, 118div23apd 8758 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧)))
153107, 33, 113, 118div23apd 8758 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶)))
154152, 153oveq12d 5883 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) · (𝐺𝑧)) / (𝑧𝐶)) + ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) · (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧)) + ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶))))
155119, 151, 1543eqtr3d 2216 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶}) → ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)) = (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧)) + ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶))))
156155mpteq2dva 4088 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧)) + ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶)))))
157156oveq1d 5880 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐺𝑧)) + ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) · (𝐹𝐶)))) lim 𝐶))
158101, 157eleqtrrd 2255 . 2 (𝜑 → ((𝐾 · (𝐺𝐶)) + (𝐿 · (𝐹𝐶))) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
159 eqid 2175 . . 3 (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
160 mulcl 7913 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
161160adantl 277 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
162 inidm 3342 . . . 4 (𝑋𝑋) = 𝑋
163161, 6, 25, 135, 135, 162off 6085 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺):𝑋⟶ℂ)
1642, 3, 159, 5, 163, 7eldvap 13722 . 2 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))((𝐾 · (𝐺𝐶)) + (𝐿 · (𝐹𝐶))) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ ((𝐾 · (𝐺𝐶)) + (𝐿 · (𝐹𝐶))) ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤𝑋𝑤 # 𝐶} ↦ ((((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
16510, 158, 164mpbir2and 944 1 (𝜑𝐶(𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))((𝐾 · (𝐺𝐶)) + (𝐿 · (𝐹𝐶))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2146  {crab 2457  Vcvv 2735  cin 3126  wss 3127  cop 3592   cuni 3805   class class class wbr 3998  cmpt 4059   × cxp 4618  dom cdm 4620  cres 4622  ccom 4624  Rel wrel 4625   Fn wfn 5203  wf 5204  cfv 5208  (class class class)co 5865  𝑓 cof 6071  pm cpm 6639  cc 7784   + caddc 7789   · cmul 7791  cmin 8102   # cap 8512   / cdiv 8602  abscabs 10974  t crest 12610  MetOpencmopn 13056  Topctop 13066  TopOnctopon 13079  intcnt 13164   Cn ccn 13256   CnP ccnp 13257   ×t ctx 13323  cnccncf 13628   lim climc 13694   D cdv 13695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906  ax-addf 7908  ax-mulf 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-of 6073  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-map 6640  df-pm 6641  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-xneg 9743  df-xadd 9744  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-rest 12612  df-topgen 12631  df-psmet 13058  df-xmet 13059  df-met 13060  df-bl 13061  df-mopn 13062  df-top 13067  df-topon 13080  df-bases 13112  df-ntr 13167  df-cn 13259  df-cnp 13260  df-tx 13324  df-cncf 13629  df-limced 13696  df-dvap 13697
This theorem is referenced by:  dvmulxx  13739  dvimulf  13741  dvef  13759
  Copyright terms: Public domain W3C validator