Theorem elrab2 2976

Description: Membership in a class abstraction, using implicit substitution. (Contributed by NM, 2-Nov-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrab2.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
elrab2.2	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑}

Assertion

Ref	Expression
elrab2	⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem elrab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrab2.2	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑}
2	1	eleq2i 2299	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑})
3		elrab2.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	3	elrab 2973	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))
5	2, 4	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {crab 2524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rab 2529  df-v 2815

This theorem is referenced by:  elrabsf  3081  pwnss  4272  regexmidlemm  4654  regexmidlem1  4655  reg2exmidlema  4656  tfis  4705  ctssdccl  7402  nninff  7413  nninfninc  7414  infnninf  7415  infnninfOLD  7416  nnnninf  7417  nnnninfeq  7419  nnnninfeq2  7420  nninfwlpoimlemg  7466  exmidaclem  7515  ltexprlemell  7913  ltexprlemelu  7914  cauappcvgprlemm  7960  cauappcvgprlemopl  7961  cauappcvgprlemlol  7962  cauappcvgprlemopu  7963  cauappcvgprlemupu  7964  cauappcvgprlemdisj  7966  cauappcvgprlemloc  7967  cauappcvgprlemladdfu  7969  cauappcvgprlemladdfl  7970  cauappcvgprlemladdru  7971  cauappcvgprlemladdrl  7972  cauappcvgprlem2  7975  caucvgprlemm  7983  caucvgprlemopl  7984  caucvgprlemlol  7985  caucvgprlemopu  7986  caucvgprlemupu  7987  caucvgprlemdisj  7989  caucvgprlemloc  7990  caucvgprlemladdfu  7992  caucvgprlem2  7995  caucvgprprlemell  8000  caucvgprprlemelu  8001  caucvgprprlemml  8009  caucvgprprlemmu  8010  caucvgprprlemexbt  8021  caucvgprprlem2  8025  suplocsrlemb  8121  suplocsrlempr  8122  suplocsrlem  8123  axpre-suploclemres  8216  elz  9579  elrp  9988  repos  10303  zsupssdc  10598  bitsfzolem  12640  isprm  12806  oddpwdc  12871  sqpweven  12872  2sqpwodd  12873  phimullem  12922  eulerthlem1  12924  eulerthlemfi  12925  eulerthlemrprm  12926  eulerthlemth  12929  hashgcdlem  12935  pclem0  12984  pclemub  12985  pclemdc  12986  pcprecl  12987  pcprendvds  12988  1arith  13065  elgz  13069  4sqlem13m  13101  4sqlem17  13105  4sqlem18  13106  ballotfilemelo  13141  ctiunctlemu1st  13185  ctiunctlemu2nd  13186  ctiunctlemudc  13188  ctiunctlemfo  13190  infpn2  13207  issgrp  13616  ismnddef  13631  gsumvallem2  13706  isgrp  13719  elnmz  13925  iscmn  14010  isrng  14078  issrg  14109  isring  14144  iscrng  14147  isnzr  14326  islring  14337  isrrg  14408  isdomn  14415  islmod  14439  psrbag  14817  psrbagconcl  14827  psr1clfi  14843  isxms  15316  isms  15318  ivthinclemlm  15499  ivthinclemum  15500  ivthinclemlopn  15501  ivthinclemlr  15502  ivthinclemuopn  15503  ivthinclemur  15504  ivthinclemdisj  15505  ivthinclemloc  15506  mpodvdsmulf1o  15858  lgslem2  15874  lgslem3  15875  lgsfcl2  15879  lfgredg2dom  16127  uspgredg2vlem  16215  uspgredg2v  16216  usgredg2vlem1  16217  usgredg2vlem2  16218  ushgredgedg  16221  ushgredgedgloop  16223  isclwwlknon  16425  s2elclwwlknon2  16431  0nninf  16782  nnsf  16783  peano4nninf  16784  nninfalllem1  16786  nninfself  16791  qdencn  16807