Theorem elrab2 2885

Description: Membership in a class abstraction, using implicit substitution. (Contributed by NM, 2-Nov-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrab2.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
elrab2.2	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑}

Assertion

Ref	Expression
elrab2	⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem elrab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrab2.2	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑}
2	1	eleq2i 2233	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑})
3		elrab2.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	3	elrab 2882	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))
5	2, 4	bitri 183	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {crab 2448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rab 2453  df-v 2728

This theorem is referenced by:  elrabsf  2989  pwnss  4138  regexmidlemm  4509  regexmidlem1  4510  reg2exmidlema  4511  tfis  4560  ctssdccl  7076  nninff  7087  infnninf  7088  infnninfOLD  7089  nnnninf  7090  nnnninfeq  7092  nnnninfeq2  7093  exmidaclem  7164  ltexprlemell  7539  ltexprlemelu  7540  cauappcvgprlemm  7586  cauappcvgprlemopl  7587  cauappcvgprlemlol  7588  cauappcvgprlemopu  7589  cauappcvgprlemupu  7590  cauappcvgprlemdisj  7592  cauappcvgprlemloc  7593  cauappcvgprlemladdfu  7595  cauappcvgprlemladdfl  7596  cauappcvgprlemladdru  7597  cauappcvgprlemladdrl  7598  cauappcvgprlem2  7601  caucvgprlemm  7609  caucvgprlemopl  7610  caucvgprlemlol  7611  caucvgprlemopu  7612  caucvgprlemupu  7613  caucvgprlemdisj  7615  caucvgprlemloc  7616  caucvgprlemladdfu  7618  caucvgprlem2  7621  caucvgprprlemell  7626  caucvgprprlemelu  7627  caucvgprprlemml  7635  caucvgprprlemmu  7636  caucvgprprlemexbt  7647  caucvgprprlem2  7651  suplocsrlemb  7747  suplocsrlempr  7748  suplocsrlem  7749  axpre-suploclemres  7842  elz  9193  elrp  9591  repos  9906  zsupssdc  11887  isprm  12041  oddpwdc  12106  sqpweven  12107  2sqpwodd  12108  phimullem  12157  eulerthlem1  12159  eulerthlemfi  12160  eulerthlemrprm  12161  eulerthlemth  12164  hashgcdlem  12170  pclem0  12218  pclemub  12219  pclemdc  12220  pcprecl  12221  pcprendvds  12222  1arith  12297  elgz  12301  ctiunctlemu1st  12367  ctiunctlemu2nd  12368  ctiunctlemudc  12370  ctiunctlemfo  12372  infpn2  12389  isxms  13091  isms  13093  ivthinclemlm  13252  ivthinclemum  13253  ivthinclemlopn  13254  ivthinclemlr  13255  ivthinclemuopn  13256  ivthinclemur  13257  ivthinclemdisj  13258  ivthinclemloc  13259  lgslem2  13542  lgslem3  13543  lgsfcl2  13547  0nninf  13884  nnsf  13885  peano4nninf  13886  nninfalllem1  13888  nninfself  13893  qdencn  13906