Theorem fzf 10087

Description: Establish the domain and codomain of the finite integer sequence function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fzf	⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ

Proof of Theorem fzf

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3268	. . . 4 ⊢ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)} ⊆ ℤ
2		zex 9335	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
3	2	elpw2 4190	. . . 4 ⊢ ({𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)} ∈ 𝒫 ℤ ↔ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)} ⊆ ℤ)
4	1, 3	mpbir 146	. . 3 ⊢ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)} ∈ 𝒫 ℤ
5	4	rgen2w 2553	. 2 ⊢ ∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)} ∈ 𝒫 ℤ
6		df-fz 10084	. . 3 ⊢ ... = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)})
7	6	fmpo 6259	. 2 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)} ∈ 𝒫 ℤ ↔ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ)
8	5, 7	mpbi 145	1 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  {crab 2479   ⊆ wss 3157  𝒫 cpw 3605   class class class wbr 4033   × cxp 4661  ⟶wf 5254   ≤ cle 8062  ℤcz 9326  ...cfz 10083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-neg 8200  df-z 9327  df-fz 10084

This theorem is referenced by:  fzen  10118  fzof  10219  fzoval  10223