Theorem uzf 9560

Description: The domain and codomain of the upper integers function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzf	⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ

Proof of Theorem uzf

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3255	. . . 4 ⊢ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘} ⊆ ℤ
2		zex 9291	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
3	2	elpw2 4175	. . . 4 ⊢ ({𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘} ∈ 𝒫 ℤ ↔ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘} ⊆ ℤ)
4	1, 3	mpbir 146	. . 3 ⊢ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘} ∈ 𝒫 ℤ
5	4	rgenw 2545	. 2 ⊢ ∀𝑗 ∈ ℤ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘} ∈ 𝒫 ℤ
6		df-uz 9558	. . 3 ⊢ ℤ≥ = (𝑗 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘})
7	6	fmpt 5686	. 2 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℤ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘} ∈ 𝒫 ℤ ↔ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ)
8	5, 7	mpbi 145	1 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  {crab 2472   ⊆ wss 3144  𝒫 cpw 3590   class class class wbr 4018  ⟶wf 5231   ≤ cle 8022  ℤcz 9282  ℤ_≥cuz 9557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5898  df-neg 8160  df-z 9283  df-uz 9558

This theorem is referenced by:  eluzel2  9562  uzn0  9572  uzin2  11027  rexanuz  11028  climmpt  11339  lmbr2  14166  lmff  14201