Theorem uzf 9763

Description: The domain and codomain of the upper integers function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzf	⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ

Proof of Theorem uzf

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3311	. . . 4 ⊢ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘} ⊆ ℤ
2		zex 9493	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
3	2	elpw2 4248	. . . 4 ⊢ ({𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘} ∈ 𝒫 ℤ ↔ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘} ⊆ ℤ)
4	1, 3	mpbir 146	. . 3 ⊢ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘} ∈ 𝒫 ℤ
5	4	rgenw 2586	. 2 ⊢ ∀𝑗 ∈ ℤ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘} ∈ 𝒫 ℤ
6		df-uz 9761	. . 3 ⊢ ℤ≥ = (𝑗 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘})
7	6	fmpt 5800	. 2 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℤ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘} ∈ 𝒫 ℤ ↔ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ)
8	5, 7	mpbi 145	1 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2201  ∀wral 2509  {crab 2513   ⊆ wss 3199  𝒫 cpw 3653   class class class wbr 4089  ⟶wf 5324   ≤ cle 8220  ℤcz 9484  ℤ_≥cuz 9760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-ov 6026  df-neg 8358  df-z 9485  df-uz 9761

This theorem is referenced by:  eluzel2  9765  uzn0  9777  uzin2  11570  rexanuz  11571  climmpt  11883  lmbr2  14967  lmff  15002