ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cauappcvgprlemcl GIF version

Theorem cauappcvgprlemcl 7630
Description: Lemma for cauappcvgpr 7639. The putative limit is a positive real. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemcl (𝜑𝐿P)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemcl
Dummy variables 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cauappcvgpr.f . . . 4 (𝜑𝐹:QQ)
2 cauappcvgpr.app . . . 4 (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
3 cauappcvgpr.bnd . . . 4 (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
4 cauappcvgpr.lim . . . 4 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
51, 2, 3, 4cauappcvgprlemm 7622 . . 3 (𝜑 → (∃𝑠Q 𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ (2nd𝐿)))
6 ssrab2 3240 . . . . . 6 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ⊆ Q
7 nqex 7340 . . . . . . 7 Q ∈ V
87elpw2 4154 . . . . . 6 ({𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ∈ 𝒫 Q ↔ {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ⊆ Q)
96, 8mpbir 146 . . . . 5 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ∈ 𝒫 Q
10 ssrab2 3240 . . . . . 6 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ⊆ Q
117elpw2 4154 . . . . . 6 ({𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ 𝒫 Q ↔ {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ⊆ Q)
1210, 11mpbir 146 . . . . 5 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ 𝒫 Q
13 opelxpi 4654 . . . . 5 (({𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ∈ 𝒫 Q ∧ {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ 𝒫 Q) → ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩ ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q))
149, 12, 13mp2an 426 . . . 4 ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩ ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
154, 14eqeltri 2250 . . 3 𝐿 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
165, 15jctil 312 . 2 (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) ∧ (∃𝑠Q 𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ (2nd𝐿))))
171, 2, 3, 4cauappcvgprlemrnd 7627 . . 3 (𝜑 → (∀𝑠Q (𝑠 ∈ (1st𝐿) ↔ ∃𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿))) ∧ ∀𝑟Q (𝑟 ∈ (2nd𝐿) ↔ ∃𝑠Q (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)))))
181, 2, 3, 4cauappcvgprlemdisj 7628 . . 3 (𝜑 → ∀𝑠Q ¬ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿)))
191, 2, 3, 4cauappcvgprlemloc 7629 . . 3 (𝜑 → ∀𝑠Q𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿))))
2017, 18, 193jca 1177 . 2 (𝜑 → ((∀𝑠Q (𝑠 ∈ (1st𝐿) ↔ ∃𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿))) ∧ ∀𝑟Q (𝑟 ∈ (2nd𝐿) ↔ ∃𝑠Q (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)))) ∧ ∀𝑠Q ¬ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿)) ∧ ∀𝑠Q𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿)))))
21 elnp1st2nd 7453 . 2 (𝐿P ↔ ((𝐿 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) ∧ (∃𝑠Q 𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ (2nd𝐿))) ∧ ((∀𝑠Q (𝑠 ∈ (1st𝐿) ↔ ∃𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿))) ∧ ∀𝑟Q (𝑟 ∈ (2nd𝐿) ↔ ∃𝑠Q (𝑠 <Q 𝑟𝑠 ∈ (2nd𝐿)))) ∧ ∀𝑠Q ¬ (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ 𝑠 ∈ (2nd𝐿)) ∧ ∀𝑠Q𝑟Q (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠 ∈ (1st𝐿) ∨ 𝑟 ∈ (2nd𝐿))))))
2216, 20, 21sylanbrc 417 1 (𝜑𝐿P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  {crab 2459  wss 3129  𝒫 cpw 3574  cop 3594   class class class wbr 4000   × cxp 4620  wf 5207  cfv 5211  (class class class)co 5868  1st c1st 6132  2nd c2nd 6133  Qcnq 7257   +Q cplq 7259   <Q cltq 7262  Pcnp 7268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4285  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-irdg 6364  df-1o 6410  df-oadd 6414  df-omul 6415  df-er 6528  df-ec 6530  df-qs 6534  df-ni 7281  df-pli 7282  df-mi 7283  df-lti 7284  df-plpq 7321  df-mpq 7322  df-enq 7324  df-nqqs 7325  df-plqqs 7326  df-mqqs 7327  df-1nqqs 7328  df-rq 7329  df-ltnqqs 7330  df-inp 7443
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemladdfu  7631  cauappcvgprlemladdfl  7632  cauappcvgprlemladdru  7633  cauappcvgprlemladdrl  7634  cauappcvgprlemladd  7635  cauappcvgprlem1  7636  cauappcvgprlem2  7637  cauappcvgpr  7639
  Copyright terms: Public domain W3C validator