Theorem fv2prc 5708

Description: A function value of a function value at a proper class is the empty set. (Contributed by AV, 8-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fv2prc	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((𝐹‘𝐴)‘𝐵) = ∅)

Proof of Theorem fv2prc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvprc 5663	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐹‘𝐴) = ∅)
2	1	fveq1d 5671	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((𝐹‘𝐴)‘𝐵) = (∅‘𝐵))
3		0fv 5707	. 2 ⊢ (∅‘𝐵) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2281	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((𝐹‘𝐴)‘𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812  ∅c0 3507  ‘cfv 5351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-setind 4658

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-iota 5311  df-fv 5359

This theorem is referenced by: (None)