Theorem iotaexel 5917

Description: Set existence of an iota expression in which all values are contained within a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2025.)

Assertion

Ref	Expression
iotaexel	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)) → (℩𝑥𝜑) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iotaexel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-riota 5912	. . 3 ⊢ (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) = (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
2		pm4.71r 390	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
3	2	albii 1494	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑥(𝜑 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
4		iotabi 5250	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝜑 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) → (℩𝑥𝜑) = (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
5	3, 4	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴) → (℩𝑥𝜑) = (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
6	5	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)) → (℩𝑥𝜑) = (℩𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
7	1, 6	eqtr4id 2258	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)) → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) = (℩𝑥𝜑))
8		riotaexg 5916	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ V)
9	8	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)) → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ V)
10	7, 9	eqeltrrd 2284	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)) → (℩𝑥𝜑) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1371   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  ℩cio 5239  ℩crio 5911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-un 4488

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-uni 3857  df-iota 5241  df-riota 5912

This theorem is referenced by: (None)