Theorem ofmresval 6091

Description: Value of a restriction of the function operation map. (Contributed by NM, 20-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofmresval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ofmresval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ofmresval	⊢ (𝜑 → (𝐹( ∘𝑓 𝑅 ↾ (𝐴 × 𝐵))𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺))

Proof of Theorem ofmresval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofmresval.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
2		ofmresval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
3		ovres 6011	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹( ∘𝑓 𝑅 ↾ (𝐴 × 𝐵))𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹( ∘𝑓 𝑅 ↾ (𝐴 × 𝐵))𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   × cxp 4623   ↾ cres 4627  (class class class)co 5872   ∘_𝑓 cof 6078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-xp 4631  df-res 4637  df-iota 5177  df-fv 5223  df-ov 5875

This theorem is referenced by: (None)