Theorem ofmresval 6246

Description: Value of a restriction of the function operation map. (Contributed by NM, 20-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofmresval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ofmresval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ofmresval	⊢ (𝜑 → (𝐹( ∘𝑓 𝑅 ↾ (𝐴 × 𝐵))𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺))

Proof of Theorem ofmresval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofmresval.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
2		ofmresval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
3		ovres 6161	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹( ∘𝑓 𝑅 ↾ (𝐴 × 𝐵))𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹( ∘𝑓 𝑅 ↾ (𝐴 × 𝐵))𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   × cxp 4723   ↾ cres 4727  (class class class)co 6017   ∘_𝑓 cof 6232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-res 4737  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020

This theorem is referenced by:  psradd  14692