Theorem ofmresval 6144

Description: Value of a restriction of the function operation map. (Contributed by NM, 20-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofmresval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ofmresval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ofmresval	⊢ (𝜑 → (𝐹( ∘𝑓 𝑅 ↾ (𝐴 × 𝐵))𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺))

Proof of Theorem ofmresval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofmresval.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
2		ofmresval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
3		ovres 6060	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹( ∘𝑓 𝑅 ↾ (𝐴 × 𝐵))𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹( ∘𝑓 𝑅 ↾ (𝐴 × 𝐵))𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   × cxp 4658   ↾ cres 4662  (class class class)co 5919   ∘_𝑓 cof 6130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-res 4672  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922

This theorem is referenced by:  psradd  14174