Theorem ovres 6194

Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ovres	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))

Proof of Theorem ovres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4781	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2		fvres 5694	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
4		df-ov 6053	. 2 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
5		df-ov 6053	. 2 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2290	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ⟨cop 3692   × cxp 4747   ↾ cres 4751  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-res 4761  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053

This theorem is referenced by:  ovresd  6195  oprssov  6196  ofmresval  6278  elq  9954  mgmsscl  13574  grpissubg  13911  xmetres2  15244  blres  15299  xmetresbl  15305  mscl  15330  xmscl  15331  xmsge0  15332  xmseq0  15333  divcnap  15430  cncfmet  15457  mpodvdsmulf1o  15858