ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ovres GIF version

Theorem ovres 5992
Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
ovres ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))

Proof of Theorem ovres
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4643 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2 fvres 5520 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
31, 2syl 14 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
4 df-ov 5856 . 2 (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
5 df-ov 5856 . 2 (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
63, 4, 53eqtr4g 2228 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1348  wcel 2141  cop 3586   × cxp 4609  cres 4613  cfv 5198  (class class class)co 5853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-res 4623  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856
This theorem is referenced by:  ovresd  5993  oprssov  5994  ofmresval  6072  elq  9581  mgmsscl  12615  xmetres2  13173  blres  13228  xmetresbl  13234  mscl  13259  xmscl  13260  xmsge0  13261  xmseq0  13262  divcnap  13349  cncfmet  13373
  Copyright terms: Public domain W3C validator