Theorem ovres 6060

Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ovres	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))

Proof of Theorem ovres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4692	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2		fvres 5579	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
4		df-ov 5922	. 2 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
5		df-ov 5922	. 2 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2251	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ⟨cop 3622   × cxp 4658   ↾ cres 4662  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-res 4672  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922

This theorem is referenced by:  ovresd  6061  oprssov  6062  ofmresval  6144  elq  9690  mgmsscl  12947  grpissubg  13267  xmetres2  14558  blres  14613  xmetresbl  14619  mscl  14644  xmscl  14645  xmsge0  14646  xmseq0  14647  divcnap  14744  cncfmet  14771