ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ovres GIF version

Theorem ovres 5960
Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
ovres ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))

Proof of Theorem ovres
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4618 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2 fvres 5492 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
31, 2syl 14 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
4 df-ov 5827 . 2 (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
5 df-ov 5827 . 2 (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
63, 4, 53eqtr4g 2215 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1335  wcel 2128  cop 3563   × cxp 4584  cres 4588  cfv 5170  (class class class)co 5824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4592  df-res 4598  df-iota 5135  df-fv 5178  df-ov 5827
This theorem is referenced by:  ovresd  5961  oprssov  5962  ofmresval  6043  elq  9531  xmetres2  12779  blres  12834  xmetresbl  12840  mscl  12865  xmscl  12866  xmsge0  12867  xmseq0  12868  divcnap  12955  cncfmet  12979
  Copyright terms: Public domain W3C validator