Theorem off 6073

Description: The function operation produces a function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
off.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
off.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
off.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝑇)
off.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
off.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
off.6	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
off	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺):𝐶⟶𝑈)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐺   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem off

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		off.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
2		off.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐶
3		inss1 3347	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
4	2, 3	eqsstrri 3180	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐴
5	4	sseli 3143	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐴)
6		ffvelrn 5629	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
7	1, 5, 6	syl2an 287	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
8		off.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝑇)
9		inss2 3348	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
10	2, 9	eqsstrri 3180	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐵
11	10	sseli 3143	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐵)
12		ffvelrn 5629	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:𝐵⟶𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑇)
13	8, 11, 12	syl2an 287	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑇)
14		off.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
15	14	ralrimivva 2552	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
16	15	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
17		oveq1 5860	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑧) → (𝑥𝑅𝑦) = ((𝐹‘𝑧)𝑅𝑦))
18	17	eleq1d 2239	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑧) → ((𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐹‘𝑧)𝑅𝑦) ∈ 𝑈))
19		oveq2 5861	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑧) → ((𝐹‘𝑧)𝑅𝑦) = ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧)))
20	19	eleq1d 2239	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑧) → (((𝐹‘𝑧)𝑅𝑦) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧)) ∈ 𝑈))
21	18, 20	rspc2va 2848	. . . 4 ⊢ ((((𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆 ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ 𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈) → ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧)) ∈ 𝑈)
22	7, 13, 16, 21	syl21anc 1232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧)) ∈ 𝑈)
23		eqid 2170	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧)))
24	22, 23	fmptd 5650	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧))):𝐶⟶𝑈)
25		ffn 5347	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝑆 → 𝐹 Fn 𝐴)
26	1, 25	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
27		ffn 5347	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐵⟶𝑇 → 𝐺 Fn 𝐵)
28	8, 27	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
29		off.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
30		off.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
31		eqidd 2171	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
32		eqidd 2171	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
33	26, 28, 29, 30, 2, 31, 32	offval 6068	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺) = (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧))))
34	33	feq1d 5334	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺):𝐶⟶𝑈 ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑧)𝑅(𝐺‘𝑧))):𝐶⟶𝑈))
35	24, 34	mpbird 166	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺):𝐶⟶𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448   ∩ cin 3120   ↦ cmpt 4050   Fn wfn 5193  ⟶wf 5194  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853   ∘_𝑓 cof 6059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-of 6061

This theorem is referenced by:  offeq  6074  dvaddxxbr  13459  dvmulxxbr  13460  dvaddxx  13461  dvmulxx  13462  dviaddf  13463  dvimulf  13464