Theorem poirr2 4990

Description: A partial order relation is irreflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
poirr2	⊢ (𝑅 Po 𝐴 → (𝑅 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ∅)

Proof of Theorem poirr2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 4906	. . . 4 ⊢ Rel ( I ↾ 𝐴)
2		relin2 4717	. . . 4 ⊢ (Rel ( I ↾ 𝐴) → Rel (𝑅 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
3	1, 2	mp1i 10	. . 3 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → Rel (𝑅 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
4		df-br 3977	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝑅 ∩ ( I ↾ 𝐴))𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑅 ∩ ( I ↾ 𝐴)))
5		brin 4028	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝑅 ∩ ( I ↾ 𝐴))𝑦 ↔ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑥( I ↾ 𝐴)𝑦))
6	4, 5	bitr3i 185	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑅 ∩ ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑥( I ↾ 𝐴)𝑦))
7		vex 2724	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
8	7	brres 4884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥( I ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 I 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
9		poirr 4279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
10	7	ideq 4750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 I 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦)
11		breq2 3980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑦))
12	10, 11	sylbi 120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 I 𝑦 → (𝑥𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑦))
13	12	notbid 657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 I 𝑦 → (¬ 𝑥𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
14	9, 13	syl5ibcom 154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 I 𝑦 → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
15	14	expimpd 361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 I 𝑦) → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
16	15	ancomsd 267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → ((𝑥 I 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
17	8, 16	syl5bi 151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → (𝑥( I ↾ 𝐴)𝑦 → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
18	17	con2d 614	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → (𝑥𝑅𝑦 → ¬ 𝑥( I ↾ 𝐴)𝑦))
19		imnan 680	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥𝑅𝑦 → ¬ 𝑥( I ↾ 𝐴)𝑦) ↔ ¬ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑥( I ↾ 𝐴)𝑦))
20	18, 19	sylib 121	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → ¬ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑥( I ↾ 𝐴)𝑦))
21	20	pm2.21d 609	. . . 4 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑥( I ↾ 𝐴)𝑦) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅))
22	6, 21	syl5bi 151	. . 3 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑅 ∩ ( I ↾ 𝐴)) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∅))
23	3, 22	relssdv 4690	. 2 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → (𝑅 ∩ ( I ↾ 𝐴)) ⊆ ∅)
24		ss0 3444	. 2 ⊢ ((𝑅 ∩ ( I ↾ 𝐴)) ⊆ ∅ → (𝑅 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ∅)
25	23, 24	syl 14	1 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → (𝑅 ∩ ( I ↾ 𝐴)) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1342   ∈ wcel 2135   ∩ cin 3110   ⊆ wss 3111  ∅c0 3404  ⟨cop 3573   class class class wbr 3976   I cid 4260   Po wpo 4266   ↾ cres 4600  Rel wrel 4603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-po 4268  df-xp 4604  df-rel 4605  df-res 4610

This theorem is referenced by: (None)