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Theorem nninfsellemdc 14729
Description: Lemma for nninfself 14732. Showing that the selection function is well defined. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninfsellemdc ((𝑄 ∈ (2o𝑚) ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑄,𝑘   𝑖,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem nninfsellemdc
Dummy variables 𝑤 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 4402 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → suc 𝑤 = suc ∅)
21raleqdv 2678 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
32dcbid 838 . . . 4 (𝑤 = ∅ → (DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1oDECID𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
43imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = ∅ → ((𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
5 suceq 4402 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑗 → suc 𝑤 = suc 𝑗)
65raleqdv 2678 . . . . 5 (𝑤 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
76dcbid 838 . . . 4 (𝑤 = 𝑗 → (DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1oDECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
87imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 𝑗 → ((𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
9 suceq 4402 . . . . . 6 (𝑤 = suc 𝑗 → suc 𝑤 = suc suc 𝑗)
109raleqdv 2678 . . . . 5 (𝑤 = suc 𝑗 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
1110dcbid 838 . . . 4 (𝑤 = suc 𝑗 → (DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1oDECID𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
1211imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = suc 𝑗 → ((𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
13 suceq 4402 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → suc 𝑤 = suc 𝑁)
1413raleqdv 2678 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
1514dcbid 838 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → (DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1oDECID𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
1615imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
17 elmapi 6669 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ (2o𝑚) → 𝑄:ℕ⟶2o)
18 peano1 4593 . . . . . . . 8 ∅ ∈ ω
19 nnnninf 7123 . . . . . . . 8 (∅ ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
2018, 19mp1i 10 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ (2o𝑚) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
2117, 20ffvelcdmd 5652 . . . . . 6 (𝑄 ∈ (2o𝑚) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ 2o)
22 2onn 6521 . . . . . 6 2o ∈ ω
23 elnn 4605 . . . . . 6 (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ 2o ∧ 2o ∈ ω) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ ω)
2421, 22, 23sylancl 413 . . . . 5 (𝑄 ∈ (2o𝑚) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ ω)
25 1onn 6520 . . . . 5 1o ∈ ω
26 nndceq 6499 . . . . 5 (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
2724, 25, 26sylancl 413 . . . 4 (𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
28 suc0 4411 . . . . . . 7 suc ∅ = {∅}
2928raleqi 2676 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ {∅} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
30 0ex 4130 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
31 eleq2 2241 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = ∅ → (𝑖𝑘𝑖 ∈ ∅))
3231ifbid 3555 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = ∅ → if(𝑖𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))
3332mpteq2dv 4094 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ∅ → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)))
3433fveq2d 5519 . . . . . . . 8 (𝑘 = ∅ → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))))
3534eqeq1d 2186 . . . . . . 7 (𝑘 = ∅ → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o))
3630, 35ralsn 3635 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ {∅} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
3729, 36bitri 184 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
3837dcbii 840 . . . 4 (DECID𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1oDECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
3927, 38sylibr 134 . . 3 (𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
4017adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) → 𝑄:ℕ⟶2o)
41 peano2 4594 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ ω)
4241adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) → suc 𝑗 ∈ ω)
43 nnnninf 7123 . . . . . . . . . . . . 13 (suc 𝑗 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
4442, 43syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
4540, 44ffvelcdmd 5652 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ 2o)
46 elnn 4605 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ 2o ∧ 2o ∈ ω) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ ω)
4745, 22, 46sylancl 413 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ ω)
48 nndceq 6499 . . . . . . . . . 10 (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o)
4947, 25, 48sylancl 413 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o)
50 eleq2 2241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = suc 𝑗 → (𝑖𝑘𝑖 ∈ suc 𝑗))
5150ifbid 3555 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = suc 𝑗 → if(𝑖𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))
5251mpteq2dv 4094 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = suc 𝑗 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅)))
5352fveq2d 5519 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = suc 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))))
5453eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = suc 𝑗 → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
5554ralsng 3632 . . . . . . . . . . 11 (suc 𝑗 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
5642, 55syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) → (∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
5756dcbid 838 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) → (DECID𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1oDECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
5849, 57mpbird 167 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) → DECID𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
59 dcan2 934 . . . . . . . 8 (DECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o → (DECID𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1oDECID (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
6058, 59mpan9 281 . . . . . . 7 (((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) ∧ DECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → DECID (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
61 ralunb 3316 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
6261dcbii 840 . . . . . . 7 (DECID𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1oDECID (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
6360, 62sylibr 134 . . . . . 6 (((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) ∧ DECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → DECID𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
64 df-suc 4371 . . . . . . . 8 suc suc 𝑗 = (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})
6564raleqi 2676 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
6665dcbii 840 . . . . . 6 (DECID𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1oDECID𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
6763, 66sylibr 134 . . . . 5 (((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) ∧ DECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → DECID𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
6867exp31 364 . . . 4 (𝑗 ∈ ω → (𝑄 ∈ (2o𝑚) → (DECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1oDECID𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
6968a2d 26 . . 3 (𝑗 ∈ ω → ((𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → (𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
704, 8, 12, 16, 39, 69finds 4599 . 2 (𝑁 ∈ ω → (𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
7170impcom 125 1 ((𝑄 ∈ (2o𝑚) ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  cun 3127  c0 3422  ifcif 3534  {csn 3592  cmpt 4064  suc csuc 4365  ωcom 4589  wf 5212  cfv 5216  (class class class)co 5874  1oc1o 6409  2oc2o 6410  𝑚 cmap 6647  xnninf 7117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1o 6416  df-2o 6417  df-map 6649  df-nninf 7118
This theorem is referenced by:  nninfsellemcl  14730  nninfsellemsuc  14731
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