Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfsellemdc GIF version

Theorem nninfsellemdc 11559
Description: Lemma for nninfself 11562. Showing that the selection function is well defined. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninfsellemdc ((𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑄,𝑘   𝑖,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem nninfsellemdc
Dummy variables 𝑤 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 4220 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → suc 𝑤 = suc ∅)
21raleqdv 2568 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ↔ ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
32dcbid 786 . . . 4 (𝑤 = ∅ → (DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜DECID𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
43imbi2d 228 . . 3 (𝑤 = ∅ → ((𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜) ↔ (𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)))
5 suceq 4220 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑗 → suc 𝑤 = suc 𝑗)
65raleqdv 2568 . . . . 5 (𝑤 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
76dcbid 786 . . . 4 (𝑤 = 𝑗 → (DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜DECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
87imbi2d 228 . . 3 (𝑤 = 𝑗 → ((𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜) ↔ (𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)))
9 suceq 4220 . . . . . 6 (𝑤 = suc 𝑗 → suc 𝑤 = suc suc 𝑗)
109raleqdv 2568 . . . . 5 (𝑤 = suc 𝑗 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ↔ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
1110dcbid 786 . . . 4 (𝑤 = suc 𝑗 → (DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜DECID𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
1211imbi2d 228 . . 3 (𝑤 = suc 𝑗 → ((𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜) ↔ (𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)))
13 suceq 4220 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → suc 𝑤 = suc 𝑁)
1413raleqdv 2568 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
1514dcbid 786 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → (DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜DECID𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
1615imbi2d 228 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜) ↔ (𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)))
17 elmapi 6407 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) → 𝑄:ℕ⟶2𝑜)
18 peano1 4399 . . . . . . . 8 ∅ ∈ ω
19 nnnninf 6785 . . . . . . . 8 (∅ ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅)) ∈ ℕ)
2018, 19mp1i 10 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅)) ∈ ℕ)
2117, 20ffvelrnd 5419 . . . . . 6 (𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅))) ∈ 2𝑜)
22 2onn 6260 . . . . . 6 2𝑜 ∈ ω
23 elnn 4410 . . . . . 6 (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅))) ∈ 2𝑜 ∧ 2𝑜 ∈ ω) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅))) ∈ ω)
2421, 22, 23sylancl 404 . . . . 5 (𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅))) ∈ ω)
25 1onn 6259 . . . . 5 1𝑜 ∈ ω
26 nndceq 6242 . . . . 5 (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅))) ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
2724, 25, 26sylancl 404 . . . 4 (𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
28 suc0 4229 . . . . . . 7 suc ∅ = {∅}
2928raleqi 2566 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ↔ ∀𝑘 ∈ {∅} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
30 0ex 3958 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
31 eleq2 2151 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = ∅ → (𝑖𝑘𝑖 ∈ ∅))
3231ifbid 3408 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = ∅ → if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅) = if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅))
3332mpteq2dv 3921 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ∅ → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅)))
3433fveq2d 5293 . . . . . . . 8 (𝑘 = ∅ → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅))))
3534eqeq1d 2096 . . . . . . 7 (𝑘 = ∅ → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
3630, 35ralsn 3481 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ {∅} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
3729, 36bitri 182 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
3837dcbii 785 . . . 4 (DECID𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
3927, 38sylibr 132 . . 3 (𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
4017adantl 271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2𝑜𝑚)) → 𝑄:ℕ⟶2𝑜)
41 peano2 4400 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ ω)
4241adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2𝑜𝑚)) → suc 𝑗 ∈ ω)
43 nnnninf 6785 . . . . . . . . . . . . 13 (suc 𝑗 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1𝑜, ∅)) ∈ ℕ)
4442, 43syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2𝑜𝑚)) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1𝑜, ∅)) ∈ ℕ)
4540, 44ffvelrnd 5419 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2𝑜𝑚)) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1𝑜, ∅))) ∈ 2𝑜)
46 elnn 4410 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1𝑜, ∅))) ∈ 2𝑜 ∧ 2𝑜 ∈ ω) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1𝑜, ∅))) ∈ ω)
4745, 22, 46sylancl 404 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2𝑜𝑚)) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1𝑜, ∅))) ∈ ω)
48 nndceq 6242 . . . . . . . . . 10 (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1𝑜, ∅))) ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
4947, 25, 48sylancl 404 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2𝑜𝑚)) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
50 eleq2 2151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = suc 𝑗 → (𝑖𝑘𝑖 ∈ suc 𝑗))
5150ifbid 3408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = suc 𝑗 → if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅) = if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1𝑜, ∅))
5251mpteq2dv 3921 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = suc 𝑗 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1𝑜, ∅)))
5352fveq2d 5293 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = suc 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1𝑜, ∅))))
5453eqeq1d 2096 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = suc 𝑗 → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
5554ralsng 3478 . . . . . . . . . . 11 (suc 𝑗 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
5642, 55syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2𝑜𝑚)) → (∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
5756dcbid 786 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2𝑜𝑚)) → (DECID𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
5849, 57mpbird 165 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2𝑜𝑚)) → DECID𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
59 dcan 880 . . . . . . . 8 (DECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 → (DECID𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜DECID (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)))
6058, 59mpan9 275 . . . . . . 7 (((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2𝑜𝑚)) ∧ DECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜) → DECID (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
61 ralunb 3179 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ↔ (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
6261dcbii 785 . . . . . . 7 (DECID𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜DECID (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
6360, 62sylibr 132 . . . . . 6 (((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2𝑜𝑚)) ∧ DECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜) → DECID𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
64 df-suc 4189 . . . . . . . 8 suc suc 𝑗 = (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})
6564raleqi 2566 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ↔ ∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
6665dcbii 785 . . . . . 6 (DECID𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜DECID𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
6763, 66sylibr 132 . . . . 5 (((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2𝑜𝑚)) ∧ DECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜) → DECID𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
6867exp31 356 . . . 4 (𝑗 ∈ ω → (𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) → (DECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜DECID𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)))
6968a2d 26 . . 3 (𝑗 ∈ ω → ((𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜) → (𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)))
704, 8, 12, 16, 39, 69finds 4405 . 2 (𝑁 ∈ ω → (𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
7170impcom 123 1 ((𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  DECID wdc 780   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  cun 2995  c0 3284  ifcif 3389  {csn 3441  cmpt 3891  suc csuc 4183  ωcom 4395  wf 4998  cfv 5002  (class class class)co 5634  1𝑜c1o 6156  2𝑜c2o 6157  𝑚 cmap 6385  xnninf 6768
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1o 6163  df-2o 6164  df-map 6387  df-nninf 6770
This theorem is referenced by:  nninfsellemcl  11560  nninfsellemsuc  11561
  Copyright terms: Public domain W3C validator