Theorem nninfsellemdc 13195

Description: Lemma for nninfself 13198. Showing that the selection function is well defined. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemdc	⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑄,𝑘   𝑖,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem nninfsellemdc

Dummy variables 𝑤 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 4319	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → suc 𝑤 = suc ∅)
2	1	raleqdv 2630	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
3	2	dcbid 823	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
4	3	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
5		suceq 4319	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → suc 𝑤 = suc 𝑗)
6	5	raleqdv 2630	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
7	6	dcbid 823	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
8	7	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
9		suceq 4319	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = suc 𝑗 → suc 𝑤 = suc suc 𝑗)
10	9	raleqdv 2630	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = suc 𝑗 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
11	10	dcbid 823	. . . 4 ⊢ (𝑤 = suc 𝑗 → (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
12	11	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = suc 𝑗 → ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
13		suceq 4319	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → suc 𝑤 = suc 𝑁)
14	13	raleqdv 2630	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
15	14	dcbid 823	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
16	15	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
17		elmapi 6557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → 𝑄:ℕ∞⟶2o)
18		peano1 4503	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ ω
19		nnnninf 7016	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
20	18, 19	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
21	17, 20	ffvelrnd 5549	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ 2o)
22		2onn 6410	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
23		elnn 4514	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ 2o ∧ 2o ∈ ω) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ ω)
24	21, 22, 23	sylancl 409	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ ω)
25		1onn 6409	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ ω
26		nndceq 6388	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
27	24, 25, 26	sylancl 409	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
28		suc0 4328	. . . . . . 7 ⊢ suc ∅ = {∅}
29	28	raleqi 2628	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ {∅} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
30		0ex 4050	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
31		eleq2 2201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑘 ↔ 𝑖 ∈ ∅))
32	31	ifbid 3488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = ∅ → if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))
33	32	mpteq2dv 4014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = ∅ → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)))
34	33	fveq2d 5418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ∅ → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))))
35	34	eqeq1d 2146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ∅ → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o))
36	30, 35	ralsn 3562	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ {∅} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
37	29, 36	bitri 183	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
38	37	dcbii 825	. . . 4 ⊢ (DECID ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
39	27, 38	sylibr 133	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
40	17	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → 𝑄:ℕ∞⟶2o)
41		peano2 4504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ ω)
42	41	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → suc 𝑗 ∈ ω)
43		nnnninf 7016	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (suc 𝑗 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
45	40, 44	ffvelrnd 5549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ 2o)
46		elnn 4514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ 2o ∧ 2o ∈ ω) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ ω)
47	45, 22, 46	sylancl 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ ω)
48		nndceq 6388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o)
49	47, 25, 48	sylancl 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o)
50		eleq2 2201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = suc 𝑗 → (𝑖 ∈ 𝑘 ↔ 𝑖 ∈ suc 𝑗))
51	50	ifbid 3488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = suc 𝑗 → if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))
52	51	mpteq2dv 4014	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = suc 𝑗 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅)))
53	52	fveq2d 5418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = suc 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))))
54	53	eqeq1d 2146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = suc 𝑗 → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
55	54	ralsng 3559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (suc 𝑗 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
56	42, 55	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → (∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
57	56	dcbid 823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → (DECID ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
58	49, 57	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → DECID ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
59		dcan 918	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → (DECID ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → DECID (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
60	58, 59	mpan9 279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) ∧ DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → DECID (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
61		ralunb 3252	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
62	61	dcbii 825	. . . . . . 7 ⊢ (DECID ∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
63	60, 62	sylibr 133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) ∧ DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → DECID ∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
64		df-suc 4288	. . . . . . . 8 ⊢ suc suc 𝑗 = (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})
65	64	raleqi 2628	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
66	65	dcbii 825	. . . . . 6 ⊢ (DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID ∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
67	63, 66	sylibr 133	. . . . 5 ⊢ (((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) ∧ DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
68	67	exp31 361	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ω → (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
69	68	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ω → ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
70	4, 8, 12, 16, 39, 69	finds 4509	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
71	70	impcom 124	1 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 819   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414   ∪ cun 3064  ∅c0 3358  ifcif 3469  {csn 3522   ↦ cmpt 3984  suc csuc 4282  ωcom 4499  ⟶wf 5114  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  1_oc1o 6299  2_oc2o 6300   ↑_𝑚 cmap 6535  ℕ_∞xnninf 6998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1o 6306  df-2o 6307  df-map 6537  df-nninf 7000

This theorem is referenced by:  nninfsellemcl  13196  nninfsellemsuc  13197