Theorem nninfsellemdc 16927

Description: Lemma for nninfself 16930. Showing that the selection function is well defined. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemdc	⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑄,𝑘   𝑖,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem nninfsellemdc

Dummy variables 𝑤 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 4528	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → suc 𝑤 = suc ∅)
2	1	raleqdv 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
3	2	dcbid 846	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
4	3	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
5		suceq 4528	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → suc 𝑤 = suc 𝑗)
6	5	raleqdv 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
7	6	dcbid 846	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
8	7	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
9		suceq 4528	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = suc 𝑗 → suc 𝑤 = suc suc 𝑗)
10	9	raleqdv 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = suc 𝑗 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
11	10	dcbid 846	. . . 4 ⊢ (𝑤 = suc 𝑗 → (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = suc 𝑗 → ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
13		suceq 4528	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → suc 𝑤 = suc 𝑁)
14	13	raleqdv 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
15	14	dcbid 846	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
16	15	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
17		elmapi 6917	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → 𝑄:ℕ∞⟶2o)
18		peano1 4721	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ ω
19		nnnninf 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
20	18, 19	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
21	17, 20	ffvelcdmd 5818	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ 2o)
22		2onn 6767	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
23		elnn 4733	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ 2o ∧ 2o ∈ ω) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ ω)
24	21, 22, 23	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ ω)
25		1onn 6766	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ ω
26		nndceq 6745	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
27	24, 25, 26	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
28		suc0 4537	. . . . . . 7 ⊢ suc ∅ = {∅}
29	28	raleqi 2747	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ {∅} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
30		0ex 4242	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
31		eleq2 2298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑘 ↔ 𝑖 ∈ ∅))
32	31	ifbid 3648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = ∅ → if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))
33	32	mpteq2dv 4206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = ∅ → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)))
34	33	fveq2d 5679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ∅ → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))))
35	34	eqeq1d 2243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ∅ → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o))
36	30, 35	ralsn 3737	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ {∅} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
37	29, 36	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
38	37	dcbii 848	. . . 4 ⊢ (DECID ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
39	27, 38	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
40	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → 𝑄:ℕ∞⟶2o)
41		peano2 4722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ ω)
42	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → suc 𝑗 ∈ ω)
43		nnnninf 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (suc 𝑗 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
45	40, 44	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ 2o)
46		elnn 4733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ 2o ∧ 2o ∈ ω) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ ω)
47	45, 22, 46	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ ω)
48		nndceq 6745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o)
49	47, 25, 48	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o)
50		eleq2 2298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = suc 𝑗 → (𝑖 ∈ 𝑘 ↔ 𝑖 ∈ suc 𝑗))
51	50	ifbid 3648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = suc 𝑗 → if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))
52	51	mpteq2dv 4206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = suc 𝑗 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅)))
53	52	fveq2d 5679	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = suc 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))))
54	53	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = suc 𝑗 → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
55	54	ralsng 3734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (suc 𝑗 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
56	42, 55	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → (∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
57	56	dcbid 846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → (DECID ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
58	49, 57	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → DECID ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
59		dcan2 943	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → (DECID ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → DECID (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
60	58, 59	mpan9 281	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) ∧ DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → DECID (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
61		ralunb 3404	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
62	61	dcbii 848	. . . . . . 7 ⊢ (DECID ∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
63	60, 62	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) ∧ DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → DECID ∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
64		df-suc 4497	. . . . . . . 8 ⊢ suc suc 𝑗 = (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})
65	64	raleqi 2747	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
66	65	dcbii 848	. . . . . 6 ⊢ (DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID ∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
67	63, 66	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) ∧ DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
68	67	exp31 364	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ω → (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
69	68	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ω → ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
70	4, 8, 12, 16, 39, 69	finds 4727	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
71	70	impcom 125	1 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522   ∪ cun 3212  ∅c0 3512  ifcif 3624  {csn 3694   ↦ cmpt 4176  suc csuc 4491  ωcom 4717  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  1_oc1o 6653  2_oc2o 6654   ↑_𝑚 cmap 6895  ℕ_∞xnninf 7423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1o 6660  df-2o 6661  df-map 6897  df-nninf 7424

This theorem is referenced by:  nninfsellemcl  16928  nninfsellemsuc  16929