Theorem nninfsellemdc 14844

Description: Lemma for nninfself 14847. Showing that the selection function is well defined. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemdc	⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑄,𝑘   𝑖,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem nninfsellemdc

Dummy variables 𝑤 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 4404	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → suc 𝑤 = suc ∅)
2	1	raleqdv 2679	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
3	2	dcbid 838	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
4	3	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
5		suceq 4404	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → suc 𝑤 = suc 𝑗)
6	5	raleqdv 2679	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
7	6	dcbid 838	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
8	7	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑗 → ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
9		suceq 4404	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = suc 𝑗 → suc 𝑤 = suc suc 𝑗)
10	9	raleqdv 2679	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = suc 𝑗 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
11	10	dcbid 838	. . . 4 ⊢ (𝑤 = suc 𝑗 → (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = suc 𝑗 → ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
13		suceq 4404	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → suc 𝑤 = suc 𝑁)
14	13	raleqdv 2679	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
15	14	dcbid 838	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
16	15	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
17		elmapi 6672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → 𝑄:ℕ∞⟶2o)
18		peano1 4595	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ ω
19		nnnninf 7126	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
20	18, 19	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
21	17, 20	ffvelcdmd 5654	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ 2o)
22		2onn 6524	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
23		elnn 4607	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ 2o ∧ 2o ∈ ω) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ ω)
24	21, 22, 23	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ ω)
25		1onn 6523	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ ω
26		nndceq 6502	. . . . 5 ⊢ (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
27	24, 25, 26	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
28		suc0 4413	. . . . . . 7 ⊢ suc ∅ = {∅}
29	28	raleqi 2677	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ {∅} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
30		0ex 4132	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
31		eleq2 2241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑘 ↔ 𝑖 ∈ ∅))
32	31	ifbid 3557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = ∅ → if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))
33	32	mpteq2dv 4096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = ∅ → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)))
34	33	fveq2d 5521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ∅ → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))))
35	34	eqeq1d 2186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ∅ → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o))
36	30, 35	ralsn 3637	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ {∅} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
37	29, 36	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
38	37	dcbii 840	. . . 4 ⊢ (DECID ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
39	27, 38	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
40	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → 𝑄:ℕ∞⟶2o)
41		peano2 4596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ ω)
42	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → suc 𝑗 ∈ ω)
43		nnnninf 7126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (suc 𝑗 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
45	40, 44	ffvelcdmd 5654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ 2o)
46		elnn 4607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ 2o ∧ 2o ∈ ω) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ ω)
47	45, 22, 46	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ ω)
48		nndceq 6502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o)
49	47, 25, 48	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o)
50		eleq2 2241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = suc 𝑗 → (𝑖 ∈ 𝑘 ↔ 𝑖 ∈ suc 𝑗))
51	50	ifbid 3557	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = suc 𝑗 → if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))
52	51	mpteq2dv 4096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = suc 𝑗 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅)))
53	52	fveq2d 5521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = suc 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))))
54	53	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = suc 𝑗 → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
55	54	ralsng 3634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (suc 𝑗 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
56	42, 55	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → (∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
57	56	dcbid 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → (DECID ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
58	49, 57	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) → DECID ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
59		dcan2 934	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → (DECID ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → DECID (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
60	58, 59	mpan9 281	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) ∧ DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → DECID (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
61		ralunb 3318	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
62	61	dcbii 840	. . . . . . 7 ⊢ (DECID ∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
63	60, 62	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) ∧ DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → DECID ∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
64		df-suc 4373	. . . . . . . 8 ⊢ suc suc 𝑗 = (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})
65	64	raleqi 2677	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
66	65	dcbii 840	. . . . . 6 ⊢ (DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ DECID ∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
67	63, 66	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞)) ∧ DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
68	67	exp31 364	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ω → (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
69	68	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ω → ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
70	4, 8, 12, 16, 39, 69	finds 4601	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
71	70	impcom 125	1 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   ∪ cun 3129  ∅c0 3424  ifcif 3536  {csn 3594   ↦ cmpt 4066  suc csuc 4367  ωcom 4591  ⟶wf 5214  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  1_oc1o 6412  2_oc2o 6413   ↑_𝑚 cmap 6650  ℕ_∞xnninf 7120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1o 6419  df-2o 6420  df-map 6652  df-nninf 7121

This theorem is referenced by:  nninfsellemcl  14845  nninfsellemsuc  14846