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Theorem nninfsellemdc 15213
Description: Lemma for nninfself 15216. Showing that the selection function is well defined. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninfsellemdc ((𝑄 ∈ (2o𝑚) ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑄,𝑘   𝑖,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem nninfsellemdc
Dummy variables 𝑤 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 4420 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → suc 𝑤 = suc ∅)
21raleqdv 2692 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
32dcbid 839 . . . 4 (𝑤 = ∅ → (DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1oDECID𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
43imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = ∅ → ((𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
5 suceq 4420 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑗 → suc 𝑤 = suc 𝑗)
65raleqdv 2692 . . . . 5 (𝑤 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
76dcbid 839 . . . 4 (𝑤 = 𝑗 → (DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1oDECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
87imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 𝑗 → ((𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
9 suceq 4420 . . . . . 6 (𝑤 = suc 𝑗 → suc 𝑤 = suc suc 𝑗)
109raleqdv 2692 . . . . 5 (𝑤 = suc 𝑗 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
1110dcbid 839 . . . 4 (𝑤 = suc 𝑗 → (DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1oDECID𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
1211imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = suc 𝑗 → ((𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
13 suceq 4420 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → suc 𝑤 = suc 𝑁)
1413raleqdv 2692 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
1514dcbid 839 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → (DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1oDECID𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
1615imbi2d 230 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑤(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
17 elmapi 6695 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ (2o𝑚) → 𝑄:ℕ⟶2o)
18 peano1 4611 . . . . . . . 8 ∅ ∈ ω
19 nnnninf 7153 . . . . . . . 8 (∅ ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
2018, 19mp1i 10 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ (2o𝑚) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
2117, 20ffvelcdmd 5672 . . . . . 6 (𝑄 ∈ (2o𝑚) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ 2o)
22 2onn 6545 . . . . . 6 2o ∈ ω
23 elnn 4623 . . . . . 6 (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ 2o ∧ 2o ∈ ω) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ ω)
2421, 22, 23sylancl 413 . . . . 5 (𝑄 ∈ (2o𝑚) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ ω)
25 1onn 6544 . . . . 5 1o ∈ ω
26 nndceq 6523 . . . . 5 (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
2724, 25, 26sylancl 413 . . . 4 (𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
28 suc0 4429 . . . . . . 7 suc ∅ = {∅}
2928raleqi 2690 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ {∅} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
30 0ex 4145 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
31 eleq2 2253 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = ∅ → (𝑖𝑘𝑖 ∈ ∅))
3231ifbid 3570 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = ∅ → if(𝑖𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))
3332mpteq2dv 4109 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ∅ → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)))
3433fveq2d 5538 . . . . . . . 8 (𝑘 = ∅ → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))))
3534eqeq1d 2198 . . . . . . 7 (𝑘 = ∅ → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o))
3630, 35ralsn 3650 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ {∅} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
3729, 36bitri 184 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
3837dcbii 841 . . . 4 (DECID𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1oDECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))) = 1o)
3927, 38sylibr 134 . . 3 (𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc ∅(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
4017adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) → 𝑄:ℕ⟶2o)
41 peano2 4612 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ ω)
4241adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) → suc 𝑗 ∈ ω)
43 nnnninf 7153 . . . . . . . . . . . . 13 (suc 𝑗 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
4442, 43syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
4540, 44ffvelcdmd 5672 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ 2o)
46 elnn 4623 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ 2o ∧ 2o ∈ ω) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ ω)
4745, 22, 46sylancl 413 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ ω)
48 nndceq 6523 . . . . . . . . . 10 (((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o)
4947, 25, 48sylancl 413 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) → DECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o)
50 eleq2 2253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = suc 𝑗 → (𝑖𝑘𝑖 ∈ suc 𝑗))
5150ifbid 3570 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = suc 𝑗 → if(𝑖𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))
5251mpteq2dv 4109 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = suc 𝑗 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅)))
5352fveq2d 5538 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = suc 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))))
5453eqeq1d 2198 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = suc 𝑗 → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
5554ralsng 3647 . . . . . . . . . . 11 (suc 𝑗 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
5642, 55syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) → (∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
5756dcbid 839 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) → (DECID𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1oDECID (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ suc 𝑗, 1o, ∅))) = 1o))
5849, 57mpbird 167 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) → DECID𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
59 dcan2 936 . . . . . . . 8 (DECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o → (DECID𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1oDECID (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
6058, 59mpan9 281 . . . . . . 7 (((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) ∧ DECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → DECID (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
61 ralunb 3331 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
6261dcbii 841 . . . . . . 7 (DECID𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1oDECID (∀𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝑗} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
6360, 62sylibr 134 . . . . . 6 (((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) ∧ DECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → DECID𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
64 df-suc 4389 . . . . . . . 8 suc suc 𝑗 = (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})
6564raleqi 2690 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
6665dcbii 841 . . . . . 6 (DECID𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1oDECID𝑘 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
6763, 66sylibr 134 . . . . 5 (((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑄 ∈ (2o𝑚)) ∧ DECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → DECID𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
6867exp31 364 . . . 4 (𝑗 ∈ ω → (𝑄 ∈ (2o𝑚) → (DECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1oDECID𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
6968a2d 26 . . 3 (𝑗 ∈ ω → ((𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → (𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc suc 𝑗(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)))
704, 8, 12, 16, 39, 69finds 4617 . 2 (𝑁 ∈ ω → (𝑄 ∈ (2o𝑚) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
7170impcom 125 1 ((𝑄 ∈ (2o𝑚) ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  cun 3142  c0 3437  ifcif 3549  {csn 3607  cmpt 4079  suc csuc 4383  ωcom 4607  wf 5231  cfv 5235  (class class class)co 5895  1oc1o 6433  2oc2o 6434  𝑚 cmap 6673  xnninf 7147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1o 6440  df-2o 6441  df-map 6675  df-nninf 7148
This theorem is referenced by:  nninfsellemcl  15214  nninfsellemsuc  15215
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