Theorem nnnninfeq2 7371

Description: Mapping of a natural number to an element of ℕ_∞. Similar to nnnninfeq 7370 but if we have information about a single 1_o digit, that gives information about all previous digits. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnnninfeq2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ∞)
nnnninfeq2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
nnnninfeq2.1	⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o)
nnnninfeq2.0	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
nnnninfeq2	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑖)

Proof of Theorem nnnninfeq2

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑓 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnninfeq2.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ∞)
2		nnnninfeq2.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
3		nnnninfeq2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o)
4	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o) → 𝑁 ∈ ω)
5		unieq 3907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → ∪ 𝑤 = ∪ ∅)
6	5	fveqeq2d 5656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑃‘∪ 𝑤) = 1o ↔ (𝑃‘∪ ∅) = 1o))
7	6	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) ↔ (𝜑 ∧ (𝑃‘∪ ∅) = 1o)))
8		raleq 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ (𝑃‘𝑥) = 1o))
9	7, 8	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ ∅) = 1o) → ∀𝑥 ∈ ∅ (𝑃‘𝑥) = 1o)))
10		unieq 3907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ∪ 𝑤 = ∪ 𝑘)
11	10	fveqeq2d 5656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝑃‘∪ 𝑤) = 1o ↔ (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o))
12	11	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) ↔ (𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o)))
13		raleq 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o))
14	12, 13	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)))
15		unieq 3907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → ∪ 𝑤 = ∪ suc 𝑘)
16	15	fveqeq2d 5656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → ((𝑃‘∪ 𝑤) = 1o ↔ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o))
17	16	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) ↔ (𝜑 ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o)))
18		raleq 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o ↔ ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o))
19	17, 18	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o)))
20		unieq 3907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ∪ 𝑤 = ∪ 𝑁)
21	20	fveqeq2d 5656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝑃‘∪ 𝑤) = 1o ↔ (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o))
22	21	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) ↔ (𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o)))
23		raleq 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o))
24	22, 23	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o)))
25		ral0 3598	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ (𝑃‘𝑥) = 1o
26	25	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ ∅) = 1o) → ∀𝑥 ∈ ∅ (𝑃‘𝑥) = 1o)
27		uni0 3925	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ ∅ = ∅
28		unieq 3907	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = ∅ → ∪ 𝑘 = ∪ ∅)
29		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = ∅ → 𝑘 = ∅)
30	27, 28, 29	3eqtr4a 2290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = ∅ → ∪ 𝑘 = 𝑘)
31	30	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = ∅ → (𝑃‘∪ 𝑘) = (𝑃‘𝑘))
32		nnord 4716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ω → Ord 𝑘)
33		ordtr 4481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Ord 𝑘 → Tr 𝑘)
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ω → Tr 𝑘)
35	34	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → Tr 𝑘)
36		unisucg 4517	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (Tr 𝑘 ↔ ∪ suc 𝑘 = 𝑘))
37	36	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (Tr 𝑘 ↔ ∪ suc 𝑘 = 𝑘))
38	35, 37	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∪ suc 𝑘 = 𝑘)
39	38	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (𝑃‘∪ suc 𝑘) = (𝑃‘𝑘))
40		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o)
41	39, 40	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (𝑃‘𝑘) = 1o)
42	31, 41	sylan9eqr 2286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ 𝑘 = ∅) → (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o)
43		nninff 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ∞ → 𝑃:ω⟶2o)
44	1, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ω⟶2o)
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → 𝑃:ω⟶2o)
46		nnpredcl 4727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ∪ 𝑘 ∈ ω)
47	46	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → ∪ 𝑘 ∈ ω)
48	45, 47	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → (𝑃‘∪ 𝑘) ∈ 2o)
49		el2oss1o 6654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘∪ 𝑘) ∈ 2o → (𝑃‘∪ 𝑘) ⊆ 1o)
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → (𝑃‘∪ 𝑘) ⊆ 1o)
51	50	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → (𝑃‘∪ 𝑘) ⊆ 1o)
52		simp-4r 544	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → 𝑘 ∈ ω)
53		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → ¬ 𝑘 = ∅)
54	53	neqned 2410	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → 𝑘 ≠ ∅)
55		nnsucpred 4721	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑘 ≠ ∅) → suc ∪ 𝑘 = 𝑘)
56	52, 54, 55	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → suc ∪ 𝑘 = 𝑘)
57	56	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → (𝑃‘suc ∪ 𝑘) = (𝑃‘𝑘))
58	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → (𝑃‘𝑘) = 1o)
59	57, 58	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → (𝑃‘suc ∪ 𝑘) = 1o)
60		suceq 4505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = ∪ 𝑘 → suc 𝑗 = suc ∪ 𝑘)
61	60	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = ∪ 𝑘 → (𝑃‘suc 𝑗) = (𝑃‘suc ∪ 𝑘))
62		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = ∪ 𝑘 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘∪ 𝑘))
63	61, 62	sseq12d 3259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = ∪ 𝑘 → ((𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘suc ∪ 𝑘) ⊆ (𝑃‘∪ 𝑘)))
64		fveq1 5647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑃 → (𝑓‘suc 𝑗) = (𝑃‘suc 𝑗))
65		fveq1 5647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑃 → (𝑓‘𝑗) = (𝑃‘𝑗))
66	64, 65	sseq12d 3259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = 𝑃 → ((𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗) ↔ (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗)))
67	66	ralbidv 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓 = 𝑃 → (∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗)))
68		df-nninf 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ℕ∞ = {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗)}
69	67, 68	elrab2 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ∞ ↔ (𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗)))
70	1, 69	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗)))
71	70	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗))
72	71	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗))
73	46	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∪ 𝑘 ∈ ω)
74	63, 72, 73	rspcdva 2916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (𝑃‘suc ∪ 𝑘) ⊆ (𝑃‘∪ 𝑘))
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → (𝑃‘suc ∪ 𝑘) ⊆ (𝑃‘∪ 𝑘))
76	59, 75	eqsstrrd 3265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → 1o ⊆ (𝑃‘∪ 𝑘))
77	51, 76	eqssd 3245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o)
78		nndceq0 4722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ω → DECID 𝑘 = ∅)
79		exmiddc 844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (DECID 𝑘 = ∅ → (𝑘 = ∅ ∨ ¬ 𝑘 = ∅))
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝑘 = ∅ ∨ ¬ 𝑘 = ∅))
81	80	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (𝑘 = ∅ ∨ ¬ 𝑘 = ∅))
82	42, 77, 81	mpjaodan 806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o)
83		simplr 529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o))
84	82, 83	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)
85		fveqeq2 5657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑥) = 1o ↔ (𝑃‘𝑘) = 1o))
86	85	ralunsn 3886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (∀𝑥 ∈ (𝑘 ∪ {𝑘})(𝑃‘𝑥) = 1o ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o ∧ (𝑃‘𝑘) = 1o)))
87	86	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (∀𝑥 ∈ (𝑘 ∪ {𝑘})(𝑃‘𝑥) = 1o ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o ∧ (𝑃‘𝑘) = 1o)))
88	84, 41, 87	mpbir2and 953	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ (𝑘 ∪ {𝑘})(𝑃‘𝑥) = 1o)
89		df-suc 4474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ suc 𝑘 = (𝑘 ∪ {𝑘})
90	89	raleqi 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑘 ∪ {𝑘})(𝑃‘𝑥) = 1o)
91	88, 90	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o)
92	91	exp31 364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → (((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o) → ((𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o)))
93	92	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝜑 → (((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o) → ((𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o))))
94	93	a2d 26	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝜑 → ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) → (𝜑 → ((𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o))))
95		impexp 263	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o) ↔ (𝜑 → ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)))
96		impexp 263	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o) ↔ (𝜑 → ((𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o)))
97	94, 95, 96	3imtr4g 205	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o) → ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o)))
98	9, 14, 19, 24, 26, 97	finds 4704	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o))
99	4, 98	mpcom 36	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o)
100	3, 99	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o)
101		nnnninfeq2.0	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = ∅)
102	1, 2, 100, 101	nnnninfeq 7370	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  ∀wral 2511   ∪ cun 3199   ⊆ wss 3201  ∅c0 3496  ifcif 3607  {csn 3673  ∪ cuni 3898   ↦ cmpt 4155  Tr wtr 4192  Ord word 4465  suc csuc 4468  ωcom 4694  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  1_oc1o 6618  2_oc2o 6619   ↑_𝑚 cmap 6860  ℕ_∞xnninf 7361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1o 6625  df-2o 6626  df-map 6862  df-nninf 7362

This theorem is referenced by:  nninfisollemeq  7374  nnnninfex  16731