Theorem nnnninfeq2 7130

Description: Mapping of a natural number to an element of ℕ_∞. Similar to nnnninfeq 7129 but if we have information about a single 1_o digit, that gives information about all previous digits. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnnninfeq2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ∞)
nnnninfeq2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
nnnninfeq2.1	⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o)
nnnninfeq2.0	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
nnnninfeq2	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑖)

Proof of Theorem nnnninfeq2

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑓 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnninfeq2.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ∞)
2		nnnninfeq2.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
3		nnnninfeq2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o)
4	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o) → 𝑁 ∈ ω)
5		unieq 3820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → ∪ 𝑤 = ∪ ∅)
6	5	fveqeq2d 5525	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑃‘∪ 𝑤) = 1o ↔ (𝑃‘∪ ∅) = 1o))
7	6	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) ↔ (𝜑 ∧ (𝑃‘∪ ∅) = 1o)))
8		raleq 2673	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ (𝑃‘𝑥) = 1o))
9	7, 8	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ ∅) = 1o) → ∀𝑥 ∈ ∅ (𝑃‘𝑥) = 1o)))
10		unieq 3820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ∪ 𝑤 = ∪ 𝑘)
11	10	fveqeq2d 5525	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝑃‘∪ 𝑤) = 1o ↔ (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o))
12	11	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) ↔ (𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o)))
13		raleq 2673	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o))
14	12, 13	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)))
15		unieq 3820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → ∪ 𝑤 = ∪ suc 𝑘)
16	15	fveqeq2d 5525	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → ((𝑃‘∪ 𝑤) = 1o ↔ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o))
17	16	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) ↔ (𝜑 ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o)))
18		raleq 2673	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o ↔ ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o))
19	17, 18	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o)))
20		unieq 3820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ∪ 𝑤 = ∪ 𝑁)
21	20	fveqeq2d 5525	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝑃‘∪ 𝑤) = 1o ↔ (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o))
22	21	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) ↔ (𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o)))
23		raleq 2673	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o))
24	22, 23	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o)))
25		ral0 3526	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ (𝑃‘𝑥) = 1o
26	25	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ ∅) = 1o) → ∀𝑥 ∈ ∅ (𝑃‘𝑥) = 1o)
27		uni0 3838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ ∅ = ∅
28		unieq 3820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = ∅ → ∪ 𝑘 = ∪ ∅)
29		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = ∅ → 𝑘 = ∅)
30	27, 28, 29	3eqtr4a 2236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = ∅ → ∪ 𝑘 = 𝑘)
31	30	fveq2d 5521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = ∅ → (𝑃‘∪ 𝑘) = (𝑃‘𝑘))
32		nnord 4613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ω → Ord 𝑘)
33		ordtr 4380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Ord 𝑘 → Tr 𝑘)
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ω → Tr 𝑘)
35	34	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → Tr 𝑘)
36		unisucg 4416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (Tr 𝑘 ↔ ∪ suc 𝑘 = 𝑘))
37	36	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (Tr 𝑘 ↔ ∪ suc 𝑘 = 𝑘))
38	35, 37	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∪ suc 𝑘 = 𝑘)
39	38	fveq2d 5521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (𝑃‘∪ suc 𝑘) = (𝑃‘𝑘))
40		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o)
41	39, 40	eqtr3d 2212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (𝑃‘𝑘) = 1o)
42	31, 41	sylan9eqr 2232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ 𝑘 = ∅) → (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o)
43		nninff 7124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ∞ → 𝑃:ω⟶2o)
44	1, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ω⟶2o)
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → 𝑃:ω⟶2o)
46		nnpredcl 4624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ∪ 𝑘 ∈ ω)
47	46	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → ∪ 𝑘 ∈ ω)
48	45, 47	ffvelcdmd 5655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → (𝑃‘∪ 𝑘) ∈ 2o)
49		el2oss1o 6447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘∪ 𝑘) ∈ 2o → (𝑃‘∪ 𝑘) ⊆ 1o)
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → (𝑃‘∪ 𝑘) ⊆ 1o)
51	50	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → (𝑃‘∪ 𝑘) ⊆ 1o)
52		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → 𝑘 ∈ ω)
53		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → ¬ 𝑘 = ∅)
54	53	neqned 2354	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → 𝑘 ≠ ∅)
55		nnsucpred 4618	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑘 ≠ ∅) → suc ∪ 𝑘 = 𝑘)
56	52, 54, 55	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → suc ∪ 𝑘 = 𝑘)
57	56	fveq2d 5521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → (𝑃‘suc ∪ 𝑘) = (𝑃‘𝑘))
58	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → (𝑃‘𝑘) = 1o)
59	57, 58	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → (𝑃‘suc ∪ 𝑘) = 1o)
60		suceq 4404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = ∪ 𝑘 → suc 𝑗 = suc ∪ 𝑘)
61	60	fveq2d 5521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = ∪ 𝑘 → (𝑃‘suc 𝑗) = (𝑃‘suc ∪ 𝑘))
62		fveq2 5517	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = ∪ 𝑘 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘∪ 𝑘))
63	61, 62	sseq12d 3188	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = ∪ 𝑘 → ((𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘suc ∪ 𝑘) ⊆ (𝑃‘∪ 𝑘)))
64		fveq1 5516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑃 → (𝑓‘suc 𝑗) = (𝑃‘suc 𝑗))
65		fveq1 5516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑃 → (𝑓‘𝑗) = (𝑃‘𝑗))
66	64, 65	sseq12d 3188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = 𝑃 → ((𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗) ↔ (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗)))
67	66	ralbidv 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓 = 𝑃 → (∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗)))
68		df-nninf 7122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ℕ∞ = {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗)}
69	67, 68	elrab2 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ∞ ↔ (𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗)))
70	1, 69	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗)))
71	70	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗))
72	71	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗))
73	46	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∪ 𝑘 ∈ ω)
74	63, 72, 73	rspcdva 2848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (𝑃‘suc ∪ 𝑘) ⊆ (𝑃‘∪ 𝑘))
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → (𝑃‘suc ∪ 𝑘) ⊆ (𝑃‘∪ 𝑘))
76	59, 75	eqsstrrd 3194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → 1o ⊆ (𝑃‘∪ 𝑘))
77	51, 76	eqssd 3174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o)
78		nndceq0 4619	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ω → DECID 𝑘 = ∅)
79		exmiddc 836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (DECID 𝑘 = ∅ → (𝑘 = ∅ ∨ ¬ 𝑘 = ∅))
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝑘 = ∅ ∨ ¬ 𝑘 = ∅))
81	80	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (𝑘 = ∅ ∨ ¬ 𝑘 = ∅))
82	42, 77, 81	mpjaodan 798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o)
83		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o))
84	82, 83	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)
85		fveqeq2 5526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑥) = 1o ↔ (𝑃‘𝑘) = 1o))
86	85	ralunsn 3799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (∀𝑥 ∈ (𝑘 ∪ {𝑘})(𝑃‘𝑥) = 1o ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o ∧ (𝑃‘𝑘) = 1o)))
87	86	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (∀𝑥 ∈ (𝑘 ∪ {𝑘})(𝑃‘𝑥) = 1o ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o ∧ (𝑃‘𝑘) = 1o)))
88	84, 41, 87	mpbir2and 944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ (𝑘 ∪ {𝑘})(𝑃‘𝑥) = 1o)
89		df-suc 4373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ suc 𝑘 = (𝑘 ∪ {𝑘})
90	89	raleqi 2677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑘 ∪ {𝑘})(𝑃‘𝑥) = 1o)
91	88, 90	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o)
92	91	exp31 364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → (((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o) → ((𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o)))
93	92	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝜑 → (((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o) → ((𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o))))
94	93	a2d 26	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝜑 → ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) → (𝜑 → ((𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o))))
95		impexp 263	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o) ↔ (𝜑 → ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)))
96		impexp 263	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o) ↔ (𝜑 → ((𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o)))
97	94, 95, 96	3imtr4g 205	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o) → ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o)))
98	9, 14, 19, 24, 26, 97	finds 4601	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o))
99	4, 98	mpcom 36	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o)
100	3, 99	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o)
101		nnnninfeq2.0	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = ∅)
102	1, 2, 100, 101	nnnninfeq 7129	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∀wral 2455   ∪ cun 3129   ⊆ wss 3131  ∅c0 3424  ifcif 3536  {csn 3594  ∪ cuni 3811   ↦ cmpt 4066  Tr wtr 4103  Ord word 4364  suc csuc 4367  ωcom 4591  ⟶wf 5214  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878  1_oc1o 6413  2_oc2o 6414   ↑_𝑚 cmap 6651  ℕ_∞xnninf 7121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1o 6420  df-2o 6421  df-map 6653  df-nninf 7122

This theorem is referenced by:  nninfisollemeq  7133