Theorem nnnninfeq2 7146

Description: Mapping of a natural number to an element of ℕ_∞. Similar to nnnninfeq 7145 but if we have information about a single 1_o digit, that gives information about all previous digits. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnnninfeq2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ∞)
nnnninfeq2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
nnnninfeq2.1	⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o)
nnnninfeq2.0	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
nnnninfeq2	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑖)

Proof of Theorem nnnninfeq2

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑓 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnninfeq2.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ∞)
2		nnnninfeq2.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
3		nnnninfeq2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o)
4	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o) → 𝑁 ∈ ω)
5		unieq 3833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → ∪ 𝑤 = ∪ ∅)
6	5	fveqeq2d 5538	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑃‘∪ 𝑤) = 1o ↔ (𝑃‘∪ ∅) = 1o))
7	6	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) ↔ (𝜑 ∧ (𝑃‘∪ ∅) = 1o)))
8		raleq 2686	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ (𝑃‘𝑥) = 1o))
9	7, 8	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ ∅) = 1o) → ∀𝑥 ∈ ∅ (𝑃‘𝑥) = 1o)))
10		unieq 3833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ∪ 𝑤 = ∪ 𝑘)
11	10	fveqeq2d 5538	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝑃‘∪ 𝑤) = 1o ↔ (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o))
12	11	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) ↔ (𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o)))
13		raleq 2686	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o))
14	12, 13	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)))
15		unieq 3833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → ∪ 𝑤 = ∪ suc 𝑘)
16	15	fveqeq2d 5538	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → ((𝑃‘∪ 𝑤) = 1o ↔ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o))
17	16	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) ↔ (𝜑 ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o)))
18		raleq 2686	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o ↔ ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o))
19	17, 18	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o)))
20		unieq 3833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ∪ 𝑤 = ∪ 𝑁)
21	20	fveqeq2d 5538	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝑃‘∪ 𝑤) = 1o ↔ (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o))
22	21	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) ↔ (𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o)))
23		raleq 2686	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o))
24	22, 23	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑤) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑃‘𝑥) = 1o) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o)))
25		ral0 3539	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ (𝑃‘𝑥) = 1o
26	25	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ ∅) = 1o) → ∀𝑥 ∈ ∅ (𝑃‘𝑥) = 1o)
27		uni0 3851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ ∅ = ∅
28		unieq 3833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = ∅ → ∪ 𝑘 = ∪ ∅)
29		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = ∅ → 𝑘 = ∅)
30	27, 28, 29	3eqtr4a 2248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = ∅ → ∪ 𝑘 = 𝑘)
31	30	fveq2d 5534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = ∅ → (𝑃‘∪ 𝑘) = (𝑃‘𝑘))
32		nnord 4626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ω → Ord 𝑘)
33		ordtr 4393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Ord 𝑘 → Tr 𝑘)
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ω → Tr 𝑘)
35	34	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → Tr 𝑘)
36		unisucg 4429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (Tr 𝑘 ↔ ∪ suc 𝑘 = 𝑘))
37	36	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (Tr 𝑘 ↔ ∪ suc 𝑘 = 𝑘))
38	35, 37	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∪ suc 𝑘 = 𝑘)
39	38	fveq2d 5534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (𝑃‘∪ suc 𝑘) = (𝑃‘𝑘))
40		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o)
41	39, 40	eqtr3d 2224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (𝑃‘𝑘) = 1o)
42	31, 41	sylan9eqr 2244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ 𝑘 = ∅) → (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o)
43		nninff 7140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ∞ → 𝑃:ω⟶2o)
44	1, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ω⟶2o)
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → 𝑃:ω⟶2o)
46		nnpredcl 4637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ∪ 𝑘 ∈ ω)
47	46	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → ∪ 𝑘 ∈ ω)
48	45, 47	ffvelcdmd 5668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → (𝑃‘∪ 𝑘) ∈ 2o)
49		el2oss1o 6462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘∪ 𝑘) ∈ 2o → (𝑃‘∪ 𝑘) ⊆ 1o)
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → (𝑃‘∪ 𝑘) ⊆ 1o)
51	50	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → (𝑃‘∪ 𝑘) ⊆ 1o)
52		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → 𝑘 ∈ ω)
53		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → ¬ 𝑘 = ∅)
54	53	neqned 2367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → 𝑘 ≠ ∅)
55		nnsucpred 4631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑘 ≠ ∅) → suc ∪ 𝑘 = 𝑘)
56	52, 54, 55	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → suc ∪ 𝑘 = 𝑘)
57	56	fveq2d 5534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → (𝑃‘suc ∪ 𝑘) = (𝑃‘𝑘))
58	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → (𝑃‘𝑘) = 1o)
59	57, 58	eqtrd 2222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → (𝑃‘suc ∪ 𝑘) = 1o)
60		suceq 4417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = ∪ 𝑘 → suc 𝑗 = suc ∪ 𝑘)
61	60	fveq2d 5534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = ∪ 𝑘 → (𝑃‘suc 𝑗) = (𝑃‘suc ∪ 𝑘))
62		fveq2 5530	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = ∪ 𝑘 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘∪ 𝑘))
63	61, 62	sseq12d 3201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = ∪ 𝑘 → ((𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘suc ∪ 𝑘) ⊆ (𝑃‘∪ 𝑘)))
64		fveq1 5529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑃 → (𝑓‘suc 𝑗) = (𝑃‘suc 𝑗))
65		fveq1 5529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑃 → (𝑓‘𝑗) = (𝑃‘𝑗))
66	64, 65	sseq12d 3201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = 𝑃 → ((𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗) ↔ (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗)))
67	66	ralbidv 2490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓 = 𝑃 → (∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗)))
68		df-nninf 7138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ℕ∞ = {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗)}
69	67, 68	elrab2 2911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ∞ ↔ (𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗)))
70	1, 69	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗)))
71	70	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗))
72	71	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∀𝑗 ∈ ω (𝑃‘suc 𝑗) ⊆ (𝑃‘𝑗))
73	46	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∪ 𝑘 ∈ ω)
74	63, 72, 73	rspcdva 2861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (𝑃‘suc ∪ 𝑘) ⊆ (𝑃‘∪ 𝑘))
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → (𝑃‘suc ∪ 𝑘) ⊆ (𝑃‘∪ 𝑘))
76	59, 75	eqsstrrd 3207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → 1o ⊆ (𝑃‘∪ 𝑘))
77	51, 76	eqssd 3187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) ∧ ¬ 𝑘 = ∅) → (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o)
78		nndceq0 4632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ω → DECID 𝑘 = ∅)
79		exmiddc 837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (DECID 𝑘 = ∅ → (𝑘 = ∅ ∨ ¬ 𝑘 = ∅))
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝑘 = ∅ ∨ ¬ 𝑘 = ∅))
81	80	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (𝑘 = ∅ ∨ ¬ 𝑘 = ∅))
82	42, 77, 81	mpjaodan 799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o)
83		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o))
84	82, 83	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)
85		fveqeq2 5539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑥) = 1o ↔ (𝑃‘𝑘) = 1o))
86	85	ralunsn 3812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (∀𝑥 ∈ (𝑘 ∪ {𝑘})(𝑃‘𝑥) = 1o ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o ∧ (𝑃‘𝑘) = 1o)))
87	86	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → (∀𝑥 ∈ (𝑘 ∪ {𝑘})(𝑃‘𝑥) = 1o ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o ∧ (𝑃‘𝑘) = 1o)))
88	84, 41, 87	mpbir2and 946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ (𝑘 ∪ {𝑘})(𝑃‘𝑥) = 1o)
89		df-suc 4386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ suc 𝑘 = (𝑘 ∪ {𝑘})
90	89	raleqi 2690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑘 ∪ {𝑘})(𝑃‘𝑥) = 1o)
91	88, 90	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o)
92	91	exp31 364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → (((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o) → ((𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o)))
93	92	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝜑 → (((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o) → ((𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o))))
94	93	a2d 26	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝜑 → ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)) → (𝜑 → ((𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o))))
95		impexp 263	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o) ↔ (𝜑 → ((𝑃‘∪ 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o)))
96		impexp 263	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o) ↔ (𝜑 → ((𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o)))
97	94, 95, 96	3imtr4g 205	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑘 (𝑃‘𝑥) = 1o) → ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ suc 𝑘) = 1o) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑘(𝑃‘𝑥) = 1o)))
98	9, 14, 19, 24, 26, 97	finds 4614	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o))
99	4, 98	mpcom 36	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃‘∪ 𝑁) = 1o) → ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o)
100	3, 99	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 (𝑃‘𝑥) = 1o)
101		nnnninfeq2.0	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = ∅)
102	1, 2, 100, 101	nnnninfeq 7145	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360  ∀wral 2468   ∪ cun 3142   ⊆ wss 3144  ∅c0 3437  ifcif 3549  {csn 3607  ∪ cuni 3824   ↦ cmpt 4079  Tr wtr 4116  Ord word 4377  suc csuc 4380  ωcom 4604  ⟶wf 5227  ‘cfv 5231  (class class class)co 5891  1_oc1o 6428  2_oc2o 6429   ↑_𝑚 cmap 6666  ℕ_∞xnninf 7137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1o 6435  df-2o 6436  df-map 6668  df-nninf 7138

This theorem is referenced by:  nninfisollemeq  7149